КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

§ 101. Перыядычнасць функцый tg^ і ctg?
Мы ведаем, што тангенс вугла ф роўны ардынаце адпаведнага п^нкта В ца восі тангенсаў (рыс. 153). Пры павароце вектара ОА, які ўтварае з воссю абсцыс вугал ф, на 180° супраць гадзіннікавай стрэлкі вектар зменіць свой напрамак на процілеглы, але адпаведны пункт В на восі тангенсаў застанецца ранейшым. Таму не зменіцца і тангенс вутла. Такім чынам, пры люТ бым ф
1§(ф+180°)=І£ф.
Рыс і5з	Гэта азначае, што функцыя tgф з’яў
ляецца перыядычнай з перыядам 180°. Але ці будзе вугал у 180° н а й м е нш ы м дадатным перыядам гэтай функцыі?
Дапусцім, што найменшы дадатны перыяд функцыі tgф роўны Т. Тады для ўсіх дапушчальных значэнняў ф павінна быць
tg(ф+Л=tgф.
У прыватнасці, пры ф—0 атрымаем:
tg7=tgO°=O.
Але тангенс дадатнага вугла роўны нулю толькі тады, калі сінус гэтага вугла роўны нулю, гэта значыць 7=180°, 360°, 540° і г. д. Такім чынам, ніякі дадатны вугал, меншы за 180°, не можа быць перыядам функцыі tg ф. Застаецца прызнаць, што перыядам (гэта значыць найменшым дадатным перыядам) функцыі tg? з'яўляецца вугал у 180?.
Аналагічна можна даказаць, што перыядам функцыі ctg$ таксама з'яўляецца вугал у 180°. Прапануем вучням пераканацца ў гэтым самастойна.
236
Практыкаванні
670.	Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб вуглы, якія ў іх уваходзяць, былі дадатнымі і не перавышалі 180 :
a) tg205°;	б) tg(185°);
в) ctg 300°;	г) ctg(210°).
671.	Дадзеныя выразы пераўтварыць так, каб вуглы, ^кія ў іх уваходзяць, па абсалютнай велічыні не перавышалі 90 :
a) tg 375°; б) ctg(93°); в) ctg 530°.
672.	Даказаць, што вугал у 120° з’яўляецца адным з перыядаў функцыі y = ctg3x
'673. Даказаць, што любы перыяд Т функцыі y = ctgx з’яўляецца коранем ураўнення
ctg ^’+yj = °
Ці будзе правільным адваротнае сцверджанне?
§ 102. Аб перыядычных функцыях
Калі функцыя f(x) перыядычная з перыядам Т, то па значэннях гэтай функцыі на любым адрэзку даўжыні Т можна аднавіць яе значэнні на ўсёй лікавай прамой.
Сапраўды, няхай перыядычная функцыя f(x) зададзена ў іптэрвале (а, а+Т), дзе Т — перыяд гэтай функцыі (рыс. 154): Пакажам, як можна вызначыць значэнні гэтай функцыі ў інтэрвале (а+Т, а+2Т). Для любога пункта b з гэтага інтэрвалу можна знайсці пункт Ь' з інтэрвалу (а, а+Т), які знаходзіцца ад b на адлегласці Т. 3 прычыны перыядычнасці функцыі f(x) f(b)=f(b').
Такім чынам, па зададзеных значэннях функцыі fix) у інтэрвале (а, а\Т) можна аднавіць значэнні гэтай функцыі ў інтэрвале (а+Г, а)2Т). Затым, зыходзячы са зн.ачэння функцыі f(x) у інтэрвале (а + Т, а + 2Т), можна аднавіць яе значэнні ў інтэрвале
237
(а+27, а+37). Пасля гэтага такім жа чынам можна знайсці значэнні функцыі f(x) у інтэрвале (а+37, 0+47) і г. д. Аналагічна можна вызначыць значэнні функцыі f(x) і ва ўсіх пунктах лікавай прамой, якія ляжаць улева ад адрэзка (а, йф7).
Такім чынам, задаванне перыядычнай з перыядам Т функцыі f(x) на любым інтэрвале даўжыні Т дае магчымасць поўнасцю ахарактарызаваць яе на ўсёй лікавай прамой. Таму для даследавання функцыі f(x), перыядычнай з перыядам Т, дастаткова вывучыць яе паводзіны ^голькі на якімнебудзь інтэрвале даўжыні Т. Напрыклад, для даследавання функцый y = sin ф і f/=cos ф дастаткова разгледзець іх толькі пры 0°^ф^360°. Для даследавання функцыі y=tgф можна было б абмежавацца інтэрвалам 0о^ф^180о. Але пры ф—90° tgф не вызначаны. Таму ў дадзеным выпадку мэтазгодна выбраць якінебудзь іншы інтэрвал, у кожным пункце якога функцыя ^/=tgф была б вызначана. Мы аддадзім перавагу інтэрвалу —90°<ф<90°. Аднак у прынцыпе можна было б выбраць, зразумела, і інтэрвал 0°^ф^І80°. Для вывучэння функцыі y=ctgф мэтазгодна выбраць інтэрвал 0°<ф<_'180°.
Пракгпыкаванні
674.	Як дабудаваць графік функцыі, перыядычнай з перыядам Т, калі ён зададзены толькі ў інтэрвале О^х^Г?
675.	Ці можа перыядычная з перыядам Т функцыя f(x) задавальняць умове
/(27) =2/(7)?
Калі можа, то ў якім выпадку? Адказ растлумачыць прыкладамі.
§ 103. Змяненне функцый sin^ і cos^
Выкарыстоўваючы трыганаметрычны круг, высветлім, як пры змяненні аргумента ф змяняюцца функцыі sin ф і cos ф.
Няхай вугал ф неперарыўна ўзрастае ад 0° да 90°. Тады ардыната адпаведнага вектара (рыс. 155, а) будзе неперарыўна ўзрастаць ад 0 да 1. Значыць, пры павелічэнні вугла ад 0° да 90° сінус яго ўзрастае ад 0 да 1.
Рыс. 155.
238
Калі вугал ф неперарыўна ўзрастае ад 90° да 180°, то ардыната адпаведнага вектара будзе неперарыўна памяншацца ад 1 да 0 (рыс. 155,6). Значыць, пры павелічэнні вугла <р ад 90° да 180° сінус яго памяншаецца ад 1 да 0.
Такім жа чынам можна ўстанавіць, што пры ўзрастанні вугла <р ад 180° да 270° сінус яго памяншаецца ад 0 да — 1 (рыс. 155, в), а пры ўзрастанні вугла ф ад 270° да 360° сінус яго павялічваецца ад —1 да 0 (рыс. 155, г).
Схематычна паводзіны функцыі sin ф пры змяненні вугла ў інтэрвале ад 0° да 360° паказаны суцэльнай лініяй на рысунку 156. Пункцірная лінія схематычна паказвае змяненне функцыі sin ф у іншых інтэрвалах. Яна атрымана пры дапамозе перыядычнага прадаўжэння суцэльнай лініі ўлева і ўправа.
Калі вугал ф заканчваецца ў 1й або ў 2й чвэрці (рыс. 155, a і 155, б),то ардыната адпаведнага вектара дадатная. Тамусінусы вуглоў, якія заканчваюцца ў 1й і 2й чвэрцях, дадатныя. Калі ж вугал ф заканчваецца ў 3й або ў 4й чвэрці (рыс. 155, в і 155, а), то ардыната адпаведнага вектара адмоўная. Таму і сінусы такіх вуглоў адмоўныя. Да тых жа вывадаў, зразумела, можна было б прыйсці і з разгляду схемы паводзін функцыі sin ф (гл. рыс. 156).
3 адзначаных вышэй уласцівасцей трэба асабліва падкрэсліць наступную ўласцівасць вострых вуглоў: чым большы востры вугал, тым болыйы яго сінус. Так, sin 55° > sin 54°; sin 13°56' > sin 13°54' і г. д. Гэта сцверджанне, правільнае для вострых вуглоў, не распаўсюджваецца на адвольныя вуглы. Напрыклад, вугал у 180° большы за вугал у 0°. Аднак sin 180° = = sin 0° = 0.
Аналагічна таму, як мы вывучылі функцыю sin ф, можа быць разгледжана і функцыя cos ф. Мы прапануем вучням правесці гэты разгляд самастойна. Пры гэтым могуць быць скарыстапы тыя ж самыя рысункі 155, а, 155,5, 155, в і 155, г. Прывядзём толькі канчатковы вынік.
Пры павелічэнні вугла ад 0° да 90° косінус яго памяншаецца ад 1 да 0; пры павелічэнні вугла ад 90° да 180° косінус яго памяншаецца ад 0 да — 1; пры павелічэнні вугла ад 180° да 270° косінус яго павялічваецца ад —1 да 0; пры павелічэнні вугла ад 270° да 360° косінус яго павялічваецца ад 0 да 1.
Схематычна паводзіны функцыі у = соэф пры змяненні эргумента ф у інтэрвале ад 0° да 360° паказваюцца суцэльнай лініяй
239
на рысунку 157. Пункцірная лінія схематычна паказвае змяненне функцыі costp у Іншых інтэрвалах. Такая карціна абумоўлена перыядычнасцю косінуса. Як відаць з рысункаў 155 і 157, косінусы вуглоў, якія заканчваюцца ў 1й або 4й чвэрці, дадатныя; косінусы вуглоў, якія заканчваюцца ў 2й або 3й чвэрці, адмоўныя.
Рыс. 157.
ірэба асабліва падкрэсліць наступную ўласцівасць косінусаў вострых вуглоў: чым болыйы востры вугал, тым меншы яго косінус. Так, cos 55° < cos 54°; cos 13°56' < cos 13°54' і г. д. Гэта сцверджанне, правільнае для вострых вуглоў, не распаўсюджваецца на адвольныя вуглы. Напрыклад, вугал у 270° большд за вугал у 180°. Разам з тым, cos 270° > cos 180° (0>1).
Практыкаванні
676.	Вызначыць знакі наступных выразаў:
1)	sin 153°;	2)	sin	273°;	3)	sin 301°;
4)	sin (—402°);	5)	cos	73°;	6)	sin 910°;
7)	cos(—1230°);	8)	cos	140°;	9)	sin 1000°cos 1000°.
677.	Даказаць няроўнасці:
1)	sin 6Г>	>sin 60°;	2)	sin 92°<	;sin91°;
3)	sin 196°;	>sin 201°;	4)	sin 353°<	cos 150°:
7)	cos 190°«	 0; б) sin tp cos у < 0?
240
680.	У якіх чвэрцях можа заканчвацца вугал ф, калі: a) соэ2ф>0, эіп2ф<0; б) соз2ф<0, sin 2ф>0?
681.	У якіх чвэрцях можа заканчвацца вугал а, калі:
a)	|sin а| =—sin а;
б)	|cosa| = cosa;
в)	|sin(—а)| = —sin а?
682.	Размясціць у парадку ўзрастання велічыні:
а)	sin(—55°);	sin 600°;	sin 1295°;
б)	cos 654°;	cos(—67°);	cos 295°.
683.	Як змяняецца sin 2ф пры змяненні вугла ф:
а)	ад 0° да 45°;
б)	ад 90° да 135°;
в)	ад 135° да 180°;
г)	ад 5760° да 5805°?
3690°^' ^К змяняецца cos ^ ПРЫ змяненн> вугла ф ад 3660°
да
§ 104. Змяненне функцый tgy і ctgsp
Як было адзначана ў § 102, для поўнага даследавання функЦьп tg <р дастаткова вывучыць яе толькі ў інтэрвале ад —90° да
Пры ф = ±90° tgф не вызначаны. Але калі вугал ф, застаючыся ў межах ад —90° да 90°, хоць нямнога адрозніваецца ад ±90°, то выраз tg ф ужо вызначаны. Паглядзім, як жа паводзіць сябе функцыя tgф, калі яе аргумент ф блізкі да ±90°.
Па меры таго як вугал ф набліжаецца да 90°, застаючыся менш 90°, ардыната адпаведнага пункта на восі тангенсаў
(рыс. 158) неабмежавана ўзрастае. Які б вялікі лік N мы ні ўзялі, заўсёды можна знайсці такі вугал ф0 (рыс, 159), што для
241
ўсіх вуглоў ср, большых за фо, будзе: tgcp>JV. Гэта ўласцівасць тангенса ўмоўна запісваецца так:
lim tg ф—|оо  90°
(? < 90°)
(чытаецца: прэдзел тангенса ф, калі ф імкнецца да 90°, застаючыся пры гэтым менш 90°, роўны плюс бесканечнасці).
Па меры таго як вугал ф набліжаецца да —90°, застаючыся пры гэтым больш —90°, ардыната адпаведнага пункта на восі тангенсаў, будучы адмоўнай, неабмежавана ўзрастае па абсалютнай велічыні (рыс. 160). Які б вялікі лік N мы ні ўзялі, заўсёды можна знайсці такі вугал фо (рыс. 161), што для ўсіх вуг
лоў ф, меншых чым фо, але большых —90°, будзе №ф|>А\ прычым tgф 90°)
(чытаецца: прэдзел тангенса ф, калі ф імкнецца да —90°, застаючыся пры гэтым больш —90°, роўны мінус бесканечнасці).
Мы даследавалі паводзіны функцыі tg ф паблізу канечных пунктаў інтэрвалу (—90°, 90°). Даследаваць tg ф унутры гэтага інтэрвалу вельмі про7 ста. Як ужо гаварылася ў § 96, tg ф можа прымаць любыя лікавыя значэнні. 3 рысунка 162 лёгка зразумець, што, чым большае значэнне аргумента Ф у інтэрвале (—90°, 90°), тым большай будзе ардыната адпаведнага пункта на восі тангенсаў. Значыць, з двух адвольных вуглоў гэтага інтэрвалу большаму адпавядае большы тангенс.