КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Выкарыстоўваючы табліцу тангенсаў, можна знайсці і набліжанае значэнне гэтага кораня з дакладнасйю да 0,01. Для гэтага разгледзім значэнне х = 1,25, якое з’яўляецца сярэднім значэннем лікаў 1,2 і 1,3 Пры х = 1,25
tg±~ 0,7215,
2 — х = 0,7500.
Паколькі tgy<2x, то х0 > 1,25 (гл. рыс. 244). Такім чынам, 1,25 < х0 < 1,30.
Цяпер выпрабуем значэнне х = 1,28, блізкае да сярэдняга значэння лікаў 1,25 і 1,30. Пры х= 1,28
tg^ 0,7445,
2 — х = 0,7200.
Цяпер ужо tg^ >2 —х. Значыць (гл. рыс. 244), х0 < 1,28.
Аналагічна, разглядаючы значэнне х=1,26, мы атрымалі б tg ^ < 2 — х і таму х0 > 1,26. Значыць, 1,26 < х0 < 1,28.
Таму з дакладнасцю да 0,01
х0^ 1,27.
Калі б трэба было вызначыць, якое гэта набліжанае значэнне (з недахопам ці з лішкам), то нам прыйшлося б параўнаць значэнні tg і 2— х у пункце х= 1,27.
Прапануем вучням зрабіць гэта самастойна.
Практыкаванні
1318.	Знайсці найменшы дадатны корань ураўнення tg^x^J =2х2
з дакладнасцю да 0,01.
1319.	Знайсці корань ураўнення
sin 2х = 1 — 4х
з дакладнасцю да 0,01.
413
Задачы на паўтарэнне
1320.	Колькі сапраўдных кораняў мае кожнае з дадзеных ураўненняў:
a)	sin х — 2х; в) tg ах = іх + с (Ь ^= 0); і
х 1
б)	sin х = —2—•	г) cos
1321.	Ці можа тангенс сумы двух вуглоў быць роўным суме тангенсаў гэтых вуглоў? Калі можа, то ў якім выпадку?
1322.	Вылічыць sin(ajP) icos(a —₽), калі вядома, што sina = = і——, cos р = —~—, прычым вуглы a і р заканчваюцца ў адной і той жа чвэрці.
2 Zab
1323.	Вылічыць sin 2a і cos 2a, калі cos a = a^b" (вядома> што a > 6 > 0 i вугал a заканчваецца не ў 1й чвэрці).
1324.	Знайсці sin4x, калі вядома, што tgx = 3.
Даказаць тоеснасці (№ 1325—1327):
1325.	sin 200° • sin 310° + cos 340° • cos 50°=^.
1326.	16sin 10° • cos 30° + sin 50° • sin 70° = 1.
1327.	cos^ + cos =4_
Спрасціць выразы (№ 1328, 1329):
|328. . ”‘^
sin p • cos a — cos p • sin a
1329.	/l+sin(p/lsint|>	пры: a) 0</ + tf), /2 = /osinl ш HH
4
І3 = 7osin(o>/ + cf + ул
Даказаць, што ў любы момант часу / Л + Л+ /3 = 0.
1336.	Як звязаны паміж сабой вуглы a і р, калі ] sin a | = | sin ₽ |?
1337.	Спрасціць выраз ^sin2 a + cos 2a + 1 i праверыць справядлівасць атрыманых рэзультатаў пры a = 0 і a = л.
Рашыць ураўненні (№ 1338—1351):
1338.	2sin х • sin 2х + cos Зх = 0.
1339.	I cos2 х — sin2 х I = —
cos 2x
1340.	sin X + COS X = j.
1 — sin 2x
1341.	5 (sin x + cos x)2 — 13 (sin x + cos x) + 8 = 0.
1342.	cos3x — sin x = cosx—sin3x.
1343.	tg x — tg 2x — tg 3x + tg 4x = 0.
1344.	y (sin4 x + cos4 x) + sin x • cos x + sin2 x • cos2 x = 0.
1345.	sin 2x + cos 2x + sin x • cos x + 1 = 0.
1346.	sin (cos x) = cos (sin x).
1347.	cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2.
1348.	cos2x + tgx = 1.
3
1349.	cos3 x • sin 3x + sin3 x • cos 3x = y.
1350.	sin x • sin 3x = 0,5.
1351.	sinx + cosx + 2sinx • cosx =—1.
415
Рашыць сістэмы ўраўненняў:
1352.
1353.
1354.
sin X + sin у = 1,
Х + У = І'
sin х + sin у = /2 ,
2
sin х sin у =
COS X cos y
4 /3+1
4
1355.
1356.
1357.
3 sin xsin ц = —, J 4
tg х tg у = 3.
tgx+tgy=p'3 (1/ 3 2), тг
% ~\~ У ~
4
sin x _ '"з' sin y ’
COS X _	1
cos y	т/у
§ 173. 3 гісторыі трыгамаметрыі
Слова «трыганаметрыя» грэчаскага паходжання. У перакладза на беларускую мову яно азначае «вымярэнне трохвугольнікаў». Дк і ўсе іншыя раздзелы матэматыкі, якія зарадзіліся ў глыбокай старажытнасці, трыганаметрыя ўзнікла ў выніку спроб рашыць тыя задачы, з якімі чалавеку даводзілася сутыкацца на практыцы. Сярод такіх задач трэба перш за ўсё назваць задачы землямерання і астраноміі.
У тым, што трыганаметрыя адносіцца да старажытных навук, нас пераконвае хоць бы такі факт. Для іірадказання моманту наступлення сонечнага або мееячнага зацьмення неабходна зрабіць разлікі, якія патрабуюць прыцягнення трыганаметрыі. Вельмі дакладна прадказвалі зацьменні яшчэ старажытнававілонскія вучоныя. Відаць, яны ўжо валодалі элементарнымі трыганаметрычнымі паняццямі.
Першыя даставерна засведчаныя трыганаметрычныя табліцы былі складзены ў другім стагоддзі да н. э. Іх аўтарам быў грэчаскі астраном Г і п а р х. Табліцы гэтыя да нас не дайшлі, алг ва ўдасканаленым выглядзе яны былі ўйлючапы ў «Альмагест» («Вялікае пабудаванне») александрыйскага астранома П т ал е м е я 4 абліцы Пталемея падобныя да табліц сінусаў ад 0° да 90°, складзеных праз ксжныя чвэрць градуса. У «Альмагесце», у прыватнасці, ёсць формулы для сінуса і косінуса сумы двух вуглоў, змяшчаюцца таксама элгменты сферычнай трыганаметрыі *.
У сярэднія вякі найбольшыя поспехі ў развіцці трыганаметрыі былі дасягнуты вучонымі Сярэдняй Азіі і Закаўказзя. У гэты час да трыганаметрыі пачы наюць адносіцца як да самастойнай гавукі, не звязваючы яе, як раней, з астраноміяй. Вялікая ўвага ўдзяляецца задачы рашэння трохвугольнікаў. Адным з самых прыкметных твораў па трыганаметрыі гэтага перыяду з’яўляецца «Трактат аб чатырохвугольніку» Насір Эдзіна (ХІП стагоддзе). У гэтым трактаце ўвгдзгн рад новых трыганаметрычных паняццяў, пановаму даказаны некаторыя ўжо вядомыя рэзультаты. Асноўныя работы па трыганаметрыі ў Еўропе былі выкананы амаль на два стагоддзі пазней. Тут трэба перш за ўсё адзначыць нямгцкага вучонага Рэгіямантана (XV стагоддзг). Яго галоўны твор «Пяць кніг аб рознага роду трохвугольніках» змяшчае дастаткова поўнае выкладанне
* Сфгрычная трыганаметрыя разглядае вуглы і іншыя фігуры не на плоскасці, а на сферы.
416
асноў трыганаметрыі. Ад нашых цяперашніх падручнікаў па трыганаметрыі гэты твор адрозніваецца ў асноўным толькі адсутнасцю зручных сучасных абазначэнняў. Усе тэарэмы сфармуляваны на словах. Пасля паяўлгння «Пяці кніг» Рэгіямантана трыганаметрыя канчаткова вылучылася ў самастойную навуку, якая не залежыць ад астраноміі. Рэгіямантанам складзены таксама даволі падрабязныя трыганаметрычныя табліцы.
Развіццё алгебраічнай сімволікі і ўвядзенне ў матэматыку адмоўных лікаў дазволіла разглядаць адмоўныя вуглы; з’явілася магчымасць разглядаць трыганаметрычныя функцыі лікавага аргумента. Развіццё матэматыкі дазволіла вылічваць значэнні трыганаметрычных функцый любога ліку з любсй наперад зададзенай дакладнасцю,
Істотны ўклад у развіццё трыганаметрыі ўнёс Э й л е р. Ім дадзена сучаснае азначэнне трыганаметрычных функцый і ўказана на цесную сувязь гэтых функцый з паказальнымі функцыямі (гл. раздз. VIII).
У цяперашні час трыганаметрычныя функцыі ляжаць у аснове спецыяльнага матэматычнага апарата, так званага гарманічнага аналізу, пры дапамозе якога вывучаюцца рознага роду перыядычныя працэсы: вагальныя рухі, распаўсюджапне хваль, некаторыя атмасферныя з’явы і інш.
14 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
Р а з д з е л VIII
ПАКАЗАЛЬНАЯ I ЛАГАРЫФМІЧНАЯ ФУНКЦЫІ
\§ 174. Ступень дадатнага ліку з дадатным рацыянальным паказчыкам
У раздзеле IV было дадзена азначэнне ступені дадатнага ліку a з рацыянальным паказчыкам г. Напомнім гэта азначэнне.
Калі лік г натуральны, то аг ёсць здабытак г лікаў, кожны з якіх роўны а:
ar = a ■ a ■ ... ■ a.	(1)
г	т
Калі лік г дробавы і дадатны, гэта значыць г = —, дзе т і п — натуральныя лікі, то т п /
аг = ап = 1/ ат.	(2)
Формулы (1) і (2) вызначаюць ступені любога дадатнага ліку a з любым дадатным рацыянальным паказчыкам г. Калі ж паказчык г з’яўляецца рацыянальным і адмоўным, то выраз аг вызначаецца як вёлічыня, адваротная а~г:
(3) a г
Тут ужо лік —г дадатны.
Нарэшце, калі г = 0, то аг роўна 1:
а«=1.	(4)
Формулы (1), (2), (3) і (4) вызначаюць ступень дадатнага ліку a для любога рацыянальнага паказчыка г.
Для далейшага нам патрэбны будуць наступныя дзве тэарэмы.
Тэарэма 1. Калі лік а больш 1, то з дзвюх ступеней гэтага ліку з дадатнымі рацыянальнымі паказчыкамі большая тая, паказчык якоа большы.
418
Доказ. Няхай a > 1 і — п
ныя лікі. Пакажам, што т а"
Сапраўды,
— П, ап — у ат;
. Р
> дзе т, п, р \ q — натураль
р
>aq.
аі =^.
Прывядзём гэтыя корані да кораняў з аднолькавымі паказчыкамі yf ат — п^amq\	у^ ар = у арп.
Паколькі ^ > ^—, to tnq >пр. Паколькі a > 1, то адсюль вынікае,
што атч > апр, а таму і amq > апр, або
tn р a" > а$.
Аналагічна можа быць даказана і другая тэарэма.
Тэарэма 2. Калі лік а больш нуля, але менш 1, то з дзвюх ступеней гэтага ліку з дадатнымі рацыянальнымі паказчыкамі большая тая, паказчык якой меншы.
Доказ гэтай тэарэмы прапануем вучням правесці самастойна.
/ 1	1 \*5
Прыклады. 1) 1,4 < 1,5. Таму 3ІЛ < З1'5; I ] > — L \ 3 /	\ 3 /
/ К \°.51	/ л \0,52
2) 0,51 < 0,52. Таму к^ < ^; /211 > 1	,	—
Практыкаванні
1358. Які лік большы:
Ступень дадатнага ліку з дадатным ірацыянальным паказчыкам
^ 175'
У папярэднім параграфе мы напомнілі, як вызначаецца ступень аг любога дадатнага ліку а з любым рацыянальным паказчыкам г. Цяпер нам трэба вызначыць ступень ах дадатнага ліку a з дадатным ірацыянальным паказчыкам х. Мы пачнём з раз
14*
419
гляду наступнага прыватнага прыкладу: як трэба разумець выраз 3} 2 ?
Выпішам дзесятковыя набліжэнні ліку /2з недахопам:
1; 1,4; 1,41; 1,414; . . .;	(1)
з лішкам:
2; 1,5; 1,42; 1,415;	(2)
Усе члены гэтых паслядоўнасцей уяўляюць сабой рацыянальныя	лікі.	А	ступень	дадатнага	ліку	з рацыянальным	паказчыкам
намі	ўжо	вызначана.	Таму мы	можам разгледзець	паслядоўнасці:
З1; З1’4;	З1’41;	З1’414; . .. ;	(3)
З2; З15;	З142;	З1415; ....	(4)
Як вядома,
1 < /2 < 2		
1,4 <	/2<	: і,5
1,41 <	V2<	; і,42
1,414 <	:/2<	 1,415
Таму, маючы на ўвазе тэарэму 1 з папярэдняга параграфа, натуральна лічыць, што лік х = 3^2, які нас цікавіць, задавальняе няроўнасцям:
З1 < х < З2 3*4<х<315 з141 < х < З142 З1’414 <х< З1415
Можна даказаць, што існуе і прытым толькі адзін лік а, які задавальняе кожнай з гэтых няроўнасцей*. Па азначэнню гэты лік а і прымаецца за З1 Ч
Разгледзім яшчэ адзін прыклад: як трэба разумець выраз / 1 W^?
/
* Доказ гэтага факта выходзіць за межы нашай праграмы і таму тут не прыводзіцца.