КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

420
Па аналогіі з першым прыкладам разгледзім паслядоўнасці
/ 1
Натуральна лічыць, што лік у = —	, які нас цікавіць, за
давальняе няроўнасцям (гл. тэарэму 2 з папярэдняга параграфа):
Можна даказаць, што існуе і прытым толькі адзін лік ?, які задавальняе кожнай з гэтых няроўнасцей. Па азначэнйЮ гэты
—
Разгледжанне дадзеных двух прыкладаў прыводзіць нас да наступнага азначэння.
Азначэнне. Калі а> 1, то ступенню гэтага ліку з дадатным ірацыянальным паказчыкам х называецца лік, які больш усіх ступеней ліку а з паказчыкамі, роўнымі дзесятковым набліжэнням ліку х з недахопам, але менш усіх ступеней ліку а з паказчыкамі, роўнымі дзесятковым набліжэнням ліку х з лішкам.
Калі 0<а<1, то ступенню гэтага ліку з дадатным ірацыянальным паказчыкам х называецца лік, які больш усіх ступеней ліку а з паказчыкамі, роўнымі дзесятковым набліжэнням ліку х з лішкам, але менш усіх ступеней ліку а з паказчыкамі, роўнымі дзесятковым набліжэнням ліку х з недахопам.
Да гэтага застаецца дадаць, што для любога ірацыянальнага ліку х
Гг= 1.
421
§ 176. Ступень дадатнага ліку з адмоўным ірацыянальным паказчыкам
Калі а>0 і х — дадатны ірацыянальны лік, то, па азначэнню,
Напрыклад, /г	1
~ / 1 \Л' ,
Каб уведзенае азначэнне было карэктным, неабходна паказаць, што дроб 4 у правай частцы роўнасці (1) мае сэнс пры любых дадатных а \ х. Для гэтага трэба даказаць, што ах ^ 0.
Сапраўды, па азначэнню ступені з дадатным ірацыянальным паказчыкам
ах' < ах < ах",
дзе адзін з лікаў х' і х" ёсць дзесятковае набліжэнне ліку х з недахопам, а другі— адпаведнае дзесятковае набліжэнне гэтага ліку з лішкам. Лікі х' і х" рацыянальныя і дадатныя. Таму ах' > 0 і ах" > 0. Але лік, заключаны паміж двума дадатнымі лікамі, сам павінен быць дадатным. Таму ах > 0.
Такім чынам, мы вызначылі ступень дадатнага ліку з любым сапраўдным паказчыкам. Ступень адмоўнага ліку з сапраўдным паказчыкам, наогул кажучы, не вызначана.
§ 177. Асноўныя ўласцівасці ступеней дадатных лікаў з сапраўднымі паказчыкамі
Ступені дадатных лікаў маюць наступныя асноўныя ўласцівасці:
1)	ах ■ аУ = ах+У; ^ ^Г = аХ~У’ 3) ^Х = аХ bX’’
4) 4	5> ^у = аху
\ ь) ьх
Гэтыя ўласцівасці былі часткова даказаны намі ў раздзеле IV для рацыянальных паказчыкаў. На самай жа справе яны правільныя і для ірацыянальных паказчыкаў. На доказе гэтага факта мы не будзем спыняцца.
422
Прыклады.
2)	Г(IV2 V/8 = ( —V/16 = ( —(3~‘)~4 = з4 = 81;
L\ 3 / ]	\ 3 /	\ 3 /
3)	—7= = 5	= 5 .
5/2
Практыкаванні
Даказаць тоеснасці (№ 1359, 1360):
1359.	±f L^'^"^’)
Ь/ \ 8 /
і	п27/Г	/з"
1360.	^^г—(62») .
Спрасціць выразы:
'1361. [(^3/3 ]’2/з .	1362.	[(/ЗуМ 26 •
§ 178. Паказальная функцыя 1 яе графік
Паказальнай функцыяй называецца функцыя выгляду
У = ах,
дзе a — некаторы фіксіраваны дадатны лік.
Прыкладам паказальных функцый мэгуць служыць функцыі
У=2Д у= fM ; у = (0,1)*
У прыродзе назіраецца цэлы рад з’яў, якія матэматычна можна апісаць пры дапамозе паказальных функцый. Напрыклад, распад радыю набліжана можна апісаць суадносінай
m(t)=m(0) • (0,9996/,
дзе т (0) — першапачатковая колькасць радыю ў грамах, a m(t) — тая колькасць радыю, якая застанецца праз t год пасля пачатку распаду. Па паказальнаму закону змяняецца таксама атмасферны ціск са змяненнем вышыні.
У азначэнні паказальнай функцыі у = ах гаворыцца, што лік a дадатны. Тлумачыцца гэта тым, што ступень адмоўнага ліку з адвольным паказчыкам, наогул кажучы, не вызначана.
423
Сярод усіх дадатных значэнняў а трэба асобна вылучыць
а= 1. Пры такім а функцыя у = ах мае выгляд у= 1 (рыс. 245). Такая функцыя не выклікае асобага інтарэсу. Таму ў далейшым, чгаворачы аб паказальнай функцыі у = ах, мы заўсёды будзем дапускаць, што а>0 і а^І.
Пяройдзем да пабудавання графіка
U	паказальнай функцыі. У якасці пры
у=1	кладу на адным чарцяжы пабудуем
 графікі функцый у = 2Х і і/=10', а на другім — графікі функцый  /IV
°	* У = \ I і у = | — . Для гэтага
\2 )	\
Рыс. 245.	папярэдне складзём табліцы значэн
няў гэтых функцый. Для функцый
У ~ 2Х ' У = ( — \ У якасці значэнняў х выберам
— 3, —2, —1,0, 1, 2 і 3.
X	— 3	— 2	— 1	0	1	2	3	• • •
у = 2х	8	1 4	1 2	1	2	4	8	• • •
	8	4	2	1	1 2	1 4	1 8	• • •
Для функцый у= 10г і у= j мэтазгодна выбраць іншыя значэнні х, паколькі пры х = + 2, +3 дадзеныя функцыі прымаюць або вельмі вялікія, або вельмі малыя значэнні. Напрыклад, Ю3 = 1000, I —I = ———. Такія значэнні у цяжка зафіксіраваць на графіку, Таму ў дадзеным выпадку ў якасці значэнняў х зручней выбраць, напрыклад, такія лікі:
— 1,
1,	1,0,1, 1, ІЦ.
4	4	4	4	4	4
Адпаведныя значэнні у можна вылічыць паслядоўна: 10» = 1;
ют = /10 = //І0 ^ /ЗД622 X 1,8; 2	1
ю4 = 102 =/10^3,2;
424
10 4 = /103 = К/1000 ^/31,6227 ^5,6;
10' = 10;
104	=it ~0’6
Ю4
і г. д.
У выніку атрымліваецца наступная табліца набліжаных значэн
1
10
няў функцый у = 10* і у =
X	— 1	3 “ 4	_ 2 4	1 4	0	1 4	2 4	3 4	1	
V = 10*	0,1	0,2	0,3	0,6	1,0	1,8	3,2	5,6	10	.. .
/1 / ч = — \ю/	10	5,6	3,2	1,8	1,0	0,6	0,3	0,2	0,1	...
Выкарыстоўваючы складзеныя табліцы, можна ў агульных рысах уявіць сабе паводзіны разглядаемых функцый. Дакладныя графікі функцый у ~ 2Х і г/= 10* дадзены на рысунку 246,
1
10
а функцьш у = I—
— на рысунку 247.
425
Практыкаванні
1363.	Выкарыстоўваючы графік функцыі у = 2Г, знайсці
/2, j з 2 , 2( 2 ■
Пры якіх значэннях аргумента гэта функцыя прымае значэнні, роўныя 0,5; 0,9; 1,0; 1,8; 2,7?
" ■	/ 1 V
1364.	Выкарыстоўваючы графік функцыі z/ = I 1 , знайсці
5	, ____ / 1 \ 0, то, як было даказана ў § 176, а*>0.
426
Калі ж х < 0, to
ах = ——, а~х
дзе — х ужо больш нуля. Таму ах > 0. Але тады і
ах = — > 0.
а~х
Нарэшце, пры х = 0
ох = 1.
2я ўласцівасць паказальнай функцыі мае простае графічнае тлумачэнне. Яно заключаецца ў тым, што графік гэтай функцыі (гл. рыс. 246 і 247) размяшчаецца цалкам вышэй восі абсцыс.
Уласцівасць 3. Калі а>1, то пры х >0 ах >1, а пры х <, 0 ах <1.
Калі ж a <.1, то, наадварот, пры х >0 ах <.1, а пры х <.0 ах > 1.
Гэта ўласцівасць паказальнай функцыі дапускае простую геаметрычную інтэрпрэтацыю. Пры a > 1 (рыс. 246) крывыя у = ах размяшчаюцца вышэй прамой у — \ пры х >0 і ніжэй прамой у = 1 пры х < 0. Калі ж a < 1 (рыс. 247), то, наадварот, крывыя у = ах размяшчаюцца ніжэй прамой у = 1 пры х > 0 і вышэй гэтай прамой пры х < 0.
Прывядзём строгі доказ 3й уласцівасці. Няхай a > 1 і х — адвольны дадатны лік. Пакажам, што
a* > 1.
пг
I	\	~іг п /
Калі лік х рацыянальны х = — , to a v = a = у ат. Па\ п J
колькі a> 1, to і a'n > 1. Але корань з ліку, большага адзінкі, відавочна, таксама большы 1.
Калі х ірацыянальны, то існуюць дадатныя рацыянальныя лікі х' і х", якія служаць дзесяткойымі набліжэннямі ліку х:
х' < X < х".
Але тады па азначэнню ступені з ірацыянальным паказчыкам ах' <ах < ах".
Як паказана вышэй, лік ах’ больш адзінкі. Таму і лік ах, большы чым ах', таксама павінен быць больш 1.
Такім чынам, мы паказалі, што пры a > 1 і адвольным дадатным х
a* > 1.
Калі б лік х быў адмоўны, то мы мелі б r 1 ах = ——, а~х
427
дзе лік — х быў бы ўжо дадатным Таму а~*>1. Значыць,
а~х
Такім чынам, пры a > 1 і адвольным адмоўным х
af < 1
Выпадак, калі 0<а<1, лёгка зводзіцца да ўжо разгледжанага выпадку. Вучням прапануецца пераканацца ў гэтым самастойна.
Уласцівасць 4. Калі х = 0, то незалежна ад a ах = 1.
Гэта вынікае з азначэння нулявой ступені: нулявая ступень любога ліку, адрознага ад нуля, роўна 1. Графічна гэта ўласцівасць выражаецца ў тым, што пры любым а крывая у = ах (гл. рыс. 246 і 247) перасякае вось у у пункце з ардынатай 1.
Уласцівасць 5. Пры а> 1 паказальная функцыя у = ах з’яўляецца манатонна ўзрастаючай, а пры a < 1 — манатонна ўбываючай.
Гэта ўласцівасць таксама дапускае простую геаметрычную інтэрпрэтацыю.
Пры a > 1 (рыс. 246) крывая у = ах з ростам х падымаецца ўсё вышэй і вышэй, а пры а< 1 (рыс. 247) апускаецца ўсё ніжэй і ніжэй.
Прывядзём строгі доказ 5й уласцівасці.
Няхай а>1 і х2>хг Пакажам, што ах‘ > ах' .
Паколькі х2 > хь то х2 = хх + d, дзе d — некаторы дадатны лік. Таму
аХг — ах' = ax'+d — ах‘ = ах' (а1 — 1).
Па 2й уласцівасці паказальнай функцыі ах' > 0. Паколькі d > 0, то па 3й уласцівасці паказальнай функцыі ad>l. Абодва сумножнікі ў здабытку ах' (ad—\) дадатныя, таму і сам гэты здабытак дадатны. Значыць, аХг — ах' > 0, або аХа > аХі , што і трэба Сыло даказаць,
Такім чынам, пры a > 1 функцыя у = ах з’яўляецца манатонна ўзрастаючай. Аналагічна даказваецца, што пры a < 1 функцыя у = ах з’яўляецца манатонна ўбываючай,
В ы н і к. Калі дзве ступені аднаго і таго ж дадатнага ліку, адрознага ад 1, роўны, то роўны і іх паказчыкі.
Іншымі словамі, калі
аь —ас (а > 0 і a ^ 1), то
b = с.
428
Сапраўды, калі б лікі b і с былі не роўныя, то з прычыны манатоннасці функцыі у = ах большаму з іх адпавядала б пры a > 1 большае, а пры a < 1 меншае значэнне гэтай функцыі. Такім чынам, было б або аь > ас, або ab < ас. I адно і другое супярэчыць умове аь = ас. Застаецца прызнаць, што b = с.
Уласцівасць 6. Калі а> 1, то пры неабліежаваным узрастанні аргумента х (х+со) значэнні функцыі у = ах таксама неабмежавана растуць (у>со). Пры неабмежаваным убыванні аргумента х(х+"&>) значэнні функцыі манатонна імкнуцца да нуля, застаючыся пры гэтым дадатнымі (у >0; у> 0).
Прымаючы пад увагу даказаную вышэй манатоннасць функцыі у = ах, можна сказаць, што ў разглядаемым выпадку функцыя у = ах манатонна ўзрастае ад 0 да co.