• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    Уласцівасць 1. Вобласцю вызначэння лагарыфмічнай функцыі служыць мноства ўсіх дадатных лікаў.
Сапраўды, няхай b ёсць адвольны дадатны лік. Пакажам, што выраз loga6 вызначаны. Як мы ведаем, logad ёсць не што іншае, як корань ураўнення
а* = 6.	(2)
Калі а і b — дадатныя лікі, прычым а^\, то такое ўраўненне па ўласцівасцях 2 і 5 паказальнай функцыі (гл. § 179) заўсёды мае 1 прытым толькі адзін корань. Гэтым коранем і з’яўляецца loga&. Значыць, loga6 у дадзеным выпадку вызначаны.
437
Пакажам цяпер, што калі 6 < 0, то выраз loga b не вызначаны. Сапраўды, калі б гэты выраз меў сэнс, то ён даваў бы корань ураўнення (2); у такім выпадку павінна была б выконвацца роўі.асць
„loga Ь A
a — b.
ІІа самай жа справе гэта роўнасць не выконваецца, паколькі левая яе частка ўяўляе сабой дадатны, а правая — адмоўны лік або нуль.
Такім чынам, выраз log„6(a>0, а^ 1) вызначаны для ўсіх дадатных значэнняў, але не вызначаны ні для якога адмоўнага значэння Ь, ні для 6 = 0. А гэта і азначае, што вобласцю вызначэння функцыі y = log„x з’яўляецца мноства ўсіх дадатных лікаў.
1я ўласцівасць лагарыфмічнай функцыі даказана. Геаметрычная інтэрпрэтацыя гэтай уласцівасці заключаецца ў тым, што графік функцыі у = logax цалкам размешчаны ў правай паўплоскасці, якая адпавядае толькі дадатным значэнням х (гл. рыс. 250 і 251).
Уласцівасць 2. Вобласцю змянення лагарыфмічнай функцыі служыць мноства ўсіх ліхаў.
Гэта аэначае, што выраз logax пры розных значэннях х можа прымаць любыя лікавыя значэнні.
Няхай b— адвольны сапраўдны лік. Пакажам, што існуе лік х, які задавальняе ўмове
loga x = b	(3)
Тым самым і будзе даказана ўласцівасць 2.
Суадносіна (3) азначае тое ж самае, што і суадносіна а” = х.
Лік а дадатыы. А ступень любога дадатнага ліку з адвольным паказчыкам заўсёды вызначана. Таму, выбраўшы ў якасці шукаемага зкачэння х лік а", мы і задаволім умову (3).
Уласцівасць 3. Пры а~> 1 лагарыфмічная функцыя y = !ogax з'яўляецца манатонна ўзрастаючай, а пры 0 < a < 1 — манатонна ўбываючай.
Няхай a > 1 і xs > хх. Дакажам, што logaxB> logaxx.
Для доказу дапусцім адваротнае: logex2 < loga хх або log,, х2 = = logo*i Пры a > 1 паказальная функцыя у = ах манатонна ўзрас,	,	.	loga ^ >oga
тае. Таму з умовы loga х2 < loga хх вынікае, што a <. a
Але a°SaX' =х2, а°ёаХ'=х1. Значыць, ха<х1. А гэта супярэчыць умове, згодна з якой х2 > хх. Да супярэчнасці прыводзіць і другое дапушчэнне: loga хх = loga х2. У гэтым выпадку павінна было б бьіць: alogfl ** = а 1О8а х' або хх = х2. Застаецца прызнаць, што logax2>logaxx,
438
Тым самым мы даказалі, што пры а> 1 функцыя у = log„x з’яўляецца манатонна ўзрастаючай.
Выпадак, калі а< 1, прапануем вучням разгледзець самастойпа.
3я ўласцівасць лагарыфмічнай функцыі дапускае простую геаметрычную інтэрпрэтацыю. Пры а> 1 графік функцыі y = \ogax з ростам х усё вышэй і вышэй падымаецца (гл. рыс. 250), а пры a < 1 ён з ростам х усё ніжэй і ніжэй апускаецца (гл. рыс. 251).
В ы н і к. Калі лагарыфмы двух лікаў па адной і той жа дадатнаа аснове, адрознай ад 1, роўны, то роўны і самыя гэтыя лікі.
Іншымі словамі, з умовы
logax = logat/ (а>0, a =# 1)
вынікае, што
х = у.
Сапраўды, калі б адзін з лікаў х і у быў бы больш другога, то з прычыны манатоннасці лагарыфмічнай функцыі адзін з лікаў logox і logay быў бы болыіі другога. Але гэта не так. Значыць, х=у.
Уласцівасць 4. Пры х~1 лагарыфмічная функцыя у = loga х прымае значэнне, роўнае нулю.
Графічна гэта азначае, што незалежна ад а крывая у = loga х перасякаецца з воссю х у пункце з абсцысай х = 1 (гл. рыс. 250 і 251).
Для доказу 4й уласцівасці дастаткова заўважыць, што пры любым дадатным a
cP = 1.
Таму loga 1 = 0.
Уласцівасць 5. Няхай a > /. Тадьі пры х~>1 функцыя у = logaх прымае дадатныя, а пры 0<х< 1 адмоўныя значэнні.
Калі ж 0<а< 1, то, наадварот, пры х> 1 функцыя у = logax прымае адмоўныя, а пры 0<х < 1 дадатныя значэнні.
Гэта ўласцівасць лагарыфмічнай функцыі таксама дапускае простую графічную інтэрпрэтацыю. Няхай, напрыклад, a > 1. Тады тая частка крывой у — logax, якая адпавядае значэнням х > 1, размяшчаецца вышэй восі х, тая ж частка гэтай крывой, якая адпавядае значэнням 0 < х< 1, знаходзіцца ніжэй восі х (гл. рыс. 250). Аналагічна можа быць інтэрпрэтаваны і выпадак, калі a < 1 (рыс. 251).
5я ўласцівасць лагарыфмічнай функцыі з’яўляецца простым вынікам 3й і 4й уласцівасцей. Для вызначэння разгледзім выпадак, калі a > 1. Тады па 3й уласцівасці функцыя y = logex будзе манатонна ўзрастаючай. Таму калі х > 1, to logflx>logal. Але па
439
4й уласцівасці loga 1 = 0. Значыць, пры х > 1 loga х > 0. Пры х< 1 l°gax1, то пры х* 0 значэнні функцыі y = logax неабмежавана ўбьіваюць (у > — оо^. Калі 0<_а< 1, то пры х ^О значэнні функцыі у =log х неабмежавана ўзрастаюць (у > ССJ.
Практыкаванні
1390.	Знайсці вобласці вызначэння наступных функцый: а) У	= log2 (1 + х);	Д) у = log7 |х|;
б) і/	= logL(x2+1);	е) у = !og3 (х2 + х — 2);
з
^) У	— 1°ёю (4 + х2);	ж) у = logo.s (5х — х2 — 6);
г) У	= log5 (— х);	з) у = log6 (х2 + х + 1).
1391.	Пры якіх значэннях х у інтэрвале 0 < х < 2к вызначаны выразы:
a)	log2(sinx);	в) log4(tgx);
б)	log3(cosx);	г) logs(ctgx)?
1392.	Што вы можаце сказаць аб найбольшых і найменшых значэннях функцый:
a) у = log2 х; б) і/ = | log2 х |?
1393.7 На аснове якой уласцівасці лагарыфмічнай функцыі можна сцвярджаць, што:
aU^10 5 > 1°§ю 4’ б) logo. I 5 < logo.i 4? 1394. Які лік большы:
a)	log2 5	або log2 6;	в) log і 2 або log і 4;
11	Т	т
б)	log5— або logs—;	. .	4	, .	5 ,
2	3	г) log і — або log і — ?
7 5	т 6
Д395А Рашыць адносна х няроўнасці:
a)	log2 х > log2 3;
б)	log3 х2 > logs 4;
в)	log і х > log i 2;
■з	T
r) log 1 (3x) < log 1 6; 2	2
Д) logio (X2 — 1) > log10 (4x + 4);
e) logo.i (1 —x2) > logo.i (2x + 2).
440
1396J Што можна сказаць пра лік а, калі:
a)	loga 7 > log а6; в) loga| < loga Ь
б)	loga50?
1397.	Што можна сказаць пра лік а, калі пры любых значэннях х
log„(x2+ 1)> logaX?
1398.	Паміж якімі паслядоўнымі цэлымі лікамі знаходзяцца лагарыфмы:
a) loga 5; б) log3 8; в) logj_ 7 ; г) logj_ 9 ?
3	2
1399.	Якія з дадзеных лікаў з’яўляюцца дадатнымі і якія ад
моўнымі:
a) log25;	б) log2|;
д) logfl;	е) logK3;
в) logj_5;	г) logj —;
2	3 2
ж) logA4;	3) logK 4?
з	Т
§ 183. Лагарыфмы здабытку і дзелі
Тэарэма 1. Лагарыфм здабытку двух дадатньіх лікаў роўны суме іх лагарыфмаў, дакладней, калі лікі а, х і у дадатныя і a + 1, то
loga (ху) = loga X + loga у.	(1)
Для доказу гэтай тоеснасці дастаткова пераканацца ў тым, што logo (ад) loga х + loga 0 _ /
a =а а .	(2)
(Калі ступені аднаго і таго ж дадатнага ліку, адрознага ад 1, роўныя, то роўныя і паказчыкі гэтых ступеней.) Справядлівасць формулы (2) устанавіць вельмі проста, калі выкарыстаць азначэнне лагарыфма. Маем:
i°g„ (^) а а = ху,
alogax+logay =aloga*.alogag ^ху
Адсюль вынікае формула (2), а значыць, і формула (1).
П р ы к л а д ы.
1)	log315 = log3 (3 • 5) = logs 3 + log3 5=1 + log35;
2)	Iog10 2 + logi0 5 = log10 (2 • 5) = login Ю = 1.
441
Калі лікі х і р адмоўныя, то формула (1) траціць сэнс. Напрыклад, нельга пісаць
log2  = log2 (— 8) + log2 (— 4),
паколькі выразы log2 (— 8) і log2 (— 4) наогул не вызначаны (лагарыфмічная функцыя у = log2 х вызначана толькі для дадатных значэнняў аргумента х).
Тэарэма 1 справядлівая не толькі для двух, але і для адвольнага ліку сумножнікаў, гэта значыць для любога натуральнага k і любых дадатных лікаў хХ1 х2, .... xk:
logjxj • х2 • х3 • . . . ■ xj = loga Хі + + loga x2 + loga x3 + . . . + loge xk.
Тэарэма 2. Лагарыфм дзелі двух дадатных лікаў роўны рознасці лагарыфмаў дзялімага і дзельніка.
Іншымі словамі, калі лікі а, х \ у дадатныя і a=# 1, то
loga( 1  Іоба * “ tog„ у.	(3)
\Ў )
Доказ. Формула (3), відавочна, раўназначна наступнай формуле:
loga —+ logat/ = 10gax,	(4)
У
якая атрымліваецца з (3), калі выраз logay перанесці з правай часткі ў левую. Таму для доказу формулы (3) дастаткова ўстанавіць формулу (4). А гэта формула лёгка выводзіцца з формулы (1):
—	) =logax.
У	/
toga— + log°y = ,oga У
Прыклады.
1)	l°g3= log3 25 — logs 16;
2)	log21000  log2125 = log2^| = log2 8 = 3.
Вынік з тэарэмы 2. Паколькі loga 1=0, to
toga = toga 1 — loga b = — loga b.
Такім чынам,
toga4 = — toga b.
0
442
Лагарыфмы двух узаемна адваротныл лікаў па адной і той жа аснове адрозніваюцца адзін ад другога толькі знакам.
П р ы к л а д ы.
logs 9 = — logs logs  logs 125
і Г. д.
Практыкаванні
1400. Вылічыць:
1)	log10 2 + log10 5;
4
2)	log2 3 + log2 —;
u
7
3)	log37 —log3—;
4)	log10 40 + loglo 25;
5)	log10 0,18 — log10180;
6)	logj2 4 f log12 36;
7)	log5100 —log5 4;
8)	loge4 + log69;
W^ + fei
10) logo,i 50 — logo,i 0,5
<4401. Ведаючы, што log10 2 s^0,3010; log10 3^0,4771; logio® ^ 0,6990, знайсці лагарыфмы наступных лікаў па аснове 10:
1402.	Знайсці log102 і log105, калі вядома, што здабытак гэтых лагарыфмаў роўны 0,2104.
1403.	Знайсці log2tg
    

    


   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты