Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Найпрасцейшым паказальным ураўненнем з’яўляецца ўраўненне ах = Ь, (1)
дзе a і b— дадзеныя дадатныя лікі (а^ 1), а х— невядомая велічыня. Такое ўраўненне мае адзіны корань x = logaA Больш складаныя паказальныя ўраўненні часта зводзяцца або да алгебраічных ураўненняў, або да ўраўненняў выгляду (1).
Разгледзім асноўныя спосабы рашэння паказальных ураўненняў на прыватных прыкладах.
I. Рашыць ураўненне
5Л“6 = 5і52<
Рашэнне падобных ураўненняў заснавана на наступнай уласцівасці ступеней: калі дзве ступені аднаго і таго ж дадатнага ліку, адрознага ад 1, роўныя, то роўныя і іх паказчыкі. У дадзеным выпадку гэта ўласцівасць ступеней дае:
х6= 15 — 2х, адкуль х — 7.
Праверка. Пры х = 7 5'8 = 5, 5152' = 5. Значыць,
х = 7 — корань дадзенага ўраўненыя.
Адказ. х = 7.
Аналагічна рашаецца ўраўненне
Сапраўды, / 1 49v = (72)х = 72j; у = (7 у2 = 7*2.
Таму 72* = 7~х'2, адкуль 2х = — х2, або хг = 0, х2 = — 2. Праверка паказвае, што абодва гэтыя значэнні задавальняюць дадзенаму ўраўненню.
Адказ. х1 = 0;х2 = —2.
467
Па гэтаму ж прынцыпу можна рашаць і паказальнае ўраўненне а* = Ь, калі толькі b ёсць цэлая ступень ліку а. Напрыклад, калі 3v = 27, то, запісаўшы 27 у выглядзе 27 = З3, атрымліваем 3* = З3, адкуль х = 3.
II. Часам шляхам увядзення новай невядомай велічыні паказальнае ўраўненне зводзіцца да алгебраічнага ўраўнення. Няхай, напрыклад, трэба рашыць ураўненне
44 2"6 = 0.
Абазначым 2" праз у. Тады 4" = (22)" = 22" = (2")2 = у2. Таму дадзенае ўраўненне зводзіцца да квадратнага ўраўнення
У2 + У~ 6 = 0,
з якога атрымліваем уг = 2, уг = — 3. Але у = 2'. Значыць, калі толькі дадзенае ўраўненне мае корані, то яны павінны задавальняць або ўраўненню 2" = 2, або ўраўненню 2" = —3. Першае з гэтых ураўненняў мае корань х = 1; другое ж ураўненне кораняў не мае, паколькі выраз 2х не можа прымаць адмоўных значэнняў. Такім чынам, мы атрымалі х = 1.
Праверка. Пры х = 1
4* + 2* — 6 = 4і + 2‘ — 6 = 0.
Значыць, х = 1 — корань дадзенага ўраўнення.
Адказ. х = 1.
III. Рашыць ураўненне 2" = 3".
Падзяліўшы абедзве часткі дадзенага ўраўнення на дзяленне магчыма, паколькі пры любым х 3" > 0),
3v (такое атрымаем
£ 1° з'/
2
3
= 1. Але 1 =
. Таму х = 0. Праверка паказвае, што
гэта сапраўды корань дадзенага ўраўнення.
Адказ. х = 0.
Аналагічна рашаецца ўраўненне 52 v = 73v.
Сапраўды, 52'= (5f = 25"; ?3" = (73)" = 343". Таму дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе
25" = 343".
Адсюль, гэтак жа як і ў папярэднім выпадку, атрымліваем х = 0.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні (№
1449. а) 5"= 125;
1449—1454):
г)
б) 4" = 64;
в) 3' = Ы:
Д)
е)
!5'=|;
2"+3 = 32;
8" = 16;
468
/343;
/3^ = 36.
Г) 2*’6х2.5 = 16 |/2;
д) а(*2) (х3) = I (Д > 0);
е) 5254 • 5’ ... •52ж = 0,0428.
ж) 9* = 27; і) /7* =
з) /3^=/9; к)/2*
^ ” (/= (4)*'
OW ОЧ4Н
1451. а) З' + З^1 = 108;
б) 7* — 7V~1 = 6;
в) б^1 — 5*1 = 24;
г) З11 + З'2 + З*3 = 13;
д) 7Х+2 + 4 • 7*1 = 347;
е) 5Г+’ + 3 J^1 — 6 • 5 Г + 10 '1452. a) 25х = 23*3;
ЙГЯіГ
г) 2V 5* = 0,1 • (іо*1)5;
д) У/4^= У/(0,5)2^ ;
е) (0,25)’ Д;
ж) /27^1 = /Э2^;
з) у^о^ = /а*2 (а > 0);
і) 4У*+І = 64 ■ 2^*+';
к) 1б/(0,25Г7 = 2М1 .
1453."а) 52г — 5^ — 600 = 0;
" " 'б) 9^ — 3^ —6 = 0;
в) 4* + 2*+х = 80;
г) З^ + Э^1 —810 = 0;
д) 32/х — 4 • 32/Г+ 3 = 0;
469
2 5
еН+ з»_ і Зхі
з) 9*+ 6* = 4*.
$454?, a) 11* = 17*;
/ 1 V* б>9л=Ы ; в) 13* = 19“*;
Г) 5гх _ 7* — 52* • 17 + 7* • 17 = 0; д) 3 • 2* = 2 • 3*;
е) 7 ■ 2* = 5 ■ 3*;
ж) ах = Ьх (а > 0, 6 > 0).
Рашыць сістэмы ўраўненняў:
1455.
3 • 2* +2 • Зу = (5* —5* = 100;
з I 5*1 + 5*1 = 20.
2* —3* =
4
( 2* • 3* = 648;
I 3* • 2* = 432.
1459.
ti_ г/і___ /49 = /343;
Зу = 9«*у.
1457.
2* + 3* = 8^;
§ 197. Асноўныя спосабы рашэння лагарыфмічных ураўненняў
Лагарыфмічнымі ўраўненнямі называюцца ўраўненні, якія змяшчаюць невядомыя велічыні пад знакам лагарыфма.
Да такіх адносяцца, напрыклад, ураўненні
log2 х = 5, logv(x— 1) = 0
і г. д. Гэтак жа як і паказальныя, лагарыфмічныя ўраўненні з’яўляюцца трансцэндэнтнымі.
Найпрасцейшым лагарыфмічным ураўненнем з’яўляецца ўраўненне
logax = 6, (1)
дзе a і b — дадзеныя лікі, а х — невядомая велічыня.
470
Калі a — дадатны і не роўны адзінцы лік, то такоэ ўраўненне мае адзіны корань
х = аь.
Рашэнне больш складаных лагарыфмічных ураўненняў, як правіла, зводзіцца або да рашэння алгебраічных ураўненяяў, або да рашэння ўраўненняў выгляду (1), Растлумачым гэта на некаторых прыватных прыкладах.
I. Рашыць ураўненне
log,, (х2 — Зх + 6) = 2.
Па азначэнню лагарыфма з гэтага ўраўнення вынікае, што
х2 = х2 — Зх + 6, адкуль
х = 2.
Праверка. Пры х = 2
log,, (х2 — Зх + 6) = log2 (4 — 6 + 6) = log2 4 = 2.
Значыць, х = 2 — корань дадзенага ўраўнення.
А д к а з. х = 2.
П. Рашыць ураўненне
1g (х2— 17) = Ig(x + 3).
Рашэнне падобных ураўненняў заснавана на наступнай уласцівасці лагарыфмаў: калі лагарыфмы двух лікаў па адной і той жа аснове роўныя, то роўныя і самыя гэтыя лікі. 3 гэтай уласцівасці лагарыфмаў вынікае, што калі толькі дадзенае ўраўненне мае корані, то яны павінны задавальняць ураўненню
х2 — 17 = х + 3, адкуль
х^ = 5, х2 = — 4.
Праверка. Пры х = 5
1g (х2—17) = 1g 8; lg(x + 3)=lg8.
Значыць, х = 5 — корань дадзенага ўраўнення. Пры х = —4 левая і правая часткі дадзенага ўраўнгння нг вызначаны, паколькі х2 — 17 = — 1<0 і х + 3 = — 1 < 0. Значыць, х = — 4 не ёсць корань гэтага ўраўнення.
Адказ. х = 5.
Разгледзім яшчэ адно ўраўненне:
2Ig(x—l) = ^lgx5 —lg/T (2)
471
Выканаем наступныя пераўтварэнні:
21g(xl) = lg(xl)2,
5_
1 _ А ± х2
— Igx5 —1g/х = Igx2 — Igx2 =lg—p^lgx2.
Такім чынам, зыходзячы з ураўнення (2), мы прыйшлі да ўраўнення
1g (х — I)2 = 1g х2. (3)
3 яго вынікае, што (х — I)2 = х2, або х = ў, Але пры х = у левая частка ўраўнення (2) не вызначана ^х—1=^ <^\
значыць, дадзенае ўраўненне не мае кораняў.
Заўважым, аднак, што для ўраўнення (3) лік — з’яўляецца коранем. Такім чынам, ураўненні (2) і (3) не эквівалентны адно другому. Гэта лішні раз гаворыць аб тым, што пры рашэнні лагарыфмічных ураўненняў неабходна рабіць праверку атрыманых значэнняў. Сярод іх часта аказваюцца «пабочныя» корані.
III. Некаторыя лагарыфмічныя ўраўненні зводзяцца да алгебраічных ураўненняў пры дапамозе ўвядзення новай невядомай велічыні. Калі, напрыклад, ва ўраўненні
log; х — 31og3 х — 10 = 0
log3x абазначыць праз у, то яно звядзецца да квадратнага ўраўнення
у2 —Зу — 10 = 0,
адкуль ух = — 2, у2 = 5. Успамінаючы, што у = log3x, атрымліваем: калі log3 х = — 2, то * = <р калі ж log3x = 5, то х = 243. Праверкай лёгка ўстанавіць, што абодва гэтыя значэнні х задавальняюць дадзенаму ўраўненню.
Адказ. Xj = <р х2 = 243.
IV. Некаторыя ўраўненні рашаюцца шляхам пачленнага лагарыфмавання. Няхай, напрыклад, дадзена ўраўненне
xIg ^1 = 100.
472
Пралагарыфмуем гэта ўраўненне пачленна: ]g(x,^1) = lg 100, (Igx—1) Igx = 2.
Абазначаючы 1g х літарай у, мы прыходзім да квадратнага ўраўнення:
^у2 = 0,
якое мае корані ух = — \, у2 = 2. Успамінаючы, што у = Igx, атрымліваем: або 1g х =—1, і тады х = 0,1; або Igx = 2, і тады х = 100.
Праверка. Пры х = 0,1
^1 = 0 д іі = 0,Н = Х = 100
Значыць, х = 0,1—корань дадзенага ўраўнення. Пры х= 100 х1^1 = ЮО21 = 100,
так што х= 100 — таксама корань ураўнення
А д к а з. хх = 0,1; х2 = 100.
V. Пры рашэнні некаторых лагарыфмічных ураўненняў аказваецца карысным прымяніць формулу пераходу ад адной асновы лагарыфма да другой.
°Sa ~ logc a
Рэшым, напрыклад, ураўненне log2x + log3x = 1. Для гэтага ад лагарыфмаў па асновах 2 і 3 пяройдзем да лагарыфмаў па аснове 10.
і 1g х . lg х
Тады дадзенае ўраўненне прыме выгляд: lg , >g і lg2 ф lg3
адкуль
Ig2 + lg3 Ig2lg3 g Ig2lg3 ” lg6 ’
Таму
lg 2 ■ lg 3 lg3 lg3
x=10 'еб = (Ю^^еб = 2’8e.
473
Пры неабходнасці гэта значэнне х можна вызначыць пры дапамозе табліц лагарыфмаў.
Праверка. Пры знойдзеным значэнні х
log2x =
1g х lg2
lg2
1 lg2 Ig3 lg3 lg2 ’ lg6 lg6 ’
Аналагічна, i lg2
Таму
. , , 1g 3 , 1g 2 1g 3 + g 2 g 6
Iog2x + logsx = e = 1.
Igo. Ig6 lg6 lg6
Значыць, знойдзенае значэнне x з’яўляецца коранем дадзенага ўраўнення.
ig з
Адказ. х = 2'е6.
Разгледзім яшчэ адно ўраўненне:
log2 х + log,. 2 = 2. Паколькі
log, 2 = ,
log2x
to, абазначаючы log2x праз y, атрымаем y + — = 2, адкуль y —\. Значыць, log2 x = 1 i x = 2. Праверка паказвае, што x = 2 ёсць корань дадзенага ўраўнення.
Адказ. х = 2.
Практыкаванні
Рашыць дадзеныя ўраўненні (№ 1460—1465):
1460йа} 1g (1g х) = 0;
б) log2[tog3(log4x)] = 0;
в) log,^ (х2 — 5х 4 7) = 1;
_г ) log, 2 — log,. 3 = 4;
д) lgx = 3 —lg5;
474
ж) 100lg <*+20> = 10 000.
П4бК\а) lgx = lg2;
" 'б) Igx = —1g 2;
в) log2 (х — 1) = log2 (х2 — х — 16);
г) 21g /х = lg(15 —2х);
д) 21g х = — 1g (6 — х2);
е)
21g х lg (5х — 4)
7 х ж) 21og3x = ^logjg.
1462. a) lg (0,5 + x) = lg 2 — lg x;
6) 0,51g (2x — 1) = 1 — lg J/ x^9;
b) lg (x + 6) — 2 = ^ lg (2x — 3) — lg 25.
1463. a) 1 lg2x = 1llgx;
6) 5 —Igx + 1 + Igx “ !’ 1 4
B) 541g(x+ 1) + 1 + lg(x+ 1) = 3;
r) 0,1 lg4 x — lg2 x 4 0,9 = 0.
1464. a) x* = x;
6) x,0V~2= 125;
b) 531g*= 12,5x;
r) x'^+*= 1000;
Д) x= IO1"0251»";
e) 0,lx,g*2 = 100.
1465. a) log9x + logv2 3=1;
6) log2x ■ log3x = log23;
b) log3x + log6x = lg 15;
r) log5x + logv5 = 2,5;
д) Iog3v 3 = (log3 3x)2;
e) log16 x + log4 x + log2 x = 7.
475
Рашыць сістэмы ўраўненняў (№ 1466—1469):
1466.
1 lgx + 21gy = — 3, 1 lg х3 — 1g y2 = 9.
( x + y = 34,
I log2 x + log2 y = 6.
5X — 36y = 0, 6* — 25y = 0. xy = 40, х*у = 4.
§ 198. Прыклады графічнага рашэння паказальных і лагарыфмічных ураўненняў
Прыклад 1. Рашыць ураўненне
2* = 2х.
На адным і тым жа чарцяжы (рыс. 260) пабудуем графікі дзвюх функцый у = 2Х і у = 2х. Гэтыя графікі перасякаюцца ў двух пўнктах: А з абсцысай 1 і В з абсцысай 2. Таму дадзенае ўраўненне мае два корані:
х = 1 і х = 2.
Рыс. 260.
Прыклад 2. Рашыць ураўненне Igx = х.
Графікі функцый у = 1g х і у = х (рыс. 261) не перасякаюцца адзін з другім. Таму дадзенае ўраўненне не мае кораняў.
Мы разгледзелі найпрасцейшыя прыклады. Ураўненні, якія атрымліваюцца пры рашэнні практычных задач, звычайна значна адрозніваюцца ад такіх «вучэбных» задач. Для іх рашэння разам з графічнай ілюстрацыяй даводзіцца звяртацца і да табліц. Разгледзім, напрыклад, такое ўраўненне:
КНІГІ ОНЛАЙН
