• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    Разгледзім некалькі больш складаных прыкладаў на знаходжанне вобласці вызначэння функцыі.
 0, атрымліваем х > 2. Такім чынам, пры х > 2 лічнік дадатны, пры х < 2 ён, відавочна, адмоўны. Гэта ад
491
значана на рысунку 270. Заштрыхаваная частка верхняй лікавай прамой адпавядае той вобласці, у якой лічнік дадатны, а незаштрыхаваная — той вобласці, у якой ён адмоўны. Аналагічна даследуецца назоўнік 3 — 6х. Маем:
3 — 6х > 0; 6х < 3;
3 > 6х;	х < —.
Заштрыхаваная частка другой лікавай прамой на рысунку 270 адпавядае вобласці, у якой назоўнік 3 —6х дадатны, а незаштрыхаваная — вобласці, у якой ён адмоўны.
/ДШМ8 2
2
Рыс. 270.
—I,W/ХЖ
1	0	1
1	0	1
Рыс. 271,
На рысунку 270 бачна, што абодва выразы (лічнік і назоўнік) маюць аднолькавыя знакі толькі пры y < х < 2. Таму ў гэтай 2х_________________4
вобласці дроб у—дадатны. Пры х = 2 ён ператвараецца ў 0. Значыць, вобласцю вызначэння дадзенай функцыі з’яўляецца сукупнасць сапраўдных лікаў, якія задавальняюць няроўнасці
Прыклад 3. Знайсці вобласць вызначэння функцыі , / 2х 1 \
Дзесятковыя лагарыфмы вызначаны толькі для дадатных лікаў. Таму вобласць вызначэння дадзенай функцыі можна разглядаць як сукупнасць усіх значэнняў х, якія задавальняюць няроўнасці
2х
х + I
1 >0.
Выканаўшы адыманне ў левай частцы гэтай няроўнасці, атрымаем:
х— 1
Лічнік гэтага дробу дадатны пры х > 1 і адмоўны пры х < 1, а назоўнік дадатны пры х > — 1 і адмоўны пры х < — 1 (рыс. 271).
492
Таму дроб дадатны пры х< —1 і пры х> 1. Усе гэтыя значэнні х можна запісаць у выглядзе адной няроўнасці | х | > 1.
Прыклад 4. Знайсці вобласць вызначэння функцыі
8ІЙХ —COSX '
Папершае, tgх не вызначаны для х =	+ пп. Падругое, да
дзены дроб не вызначаны для тых значэнняў х, пры якіх назоўнік ператвараецца ў нуль. Гэтыя значэнні знаходзяцца з ураўнення sinx—cosx = 0. Гэта аднароднае трыганаметрычнае ўраўненне. Дзелячы абедзве яго часткі на cosx (дакажыце, што гэта дзяленне магчыма!), атрымаем:
tgx = 1, адкуль
х = т + « к.
4
Такім чынам, вобласцю вызначэння дадзенай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, акрамя у + n it і^фЬ, дзе п і k — адвольныя цэлыя лікі.
Цяпер мы разгледзім некалькі прыкладаў на знаходжанне вобласці змянення функцыі.
Прыклад 5. Як вядома, лінейная функцыя у = ax\b пры а ^ 0 можа прымаць любыя сапраўдныя значэнні. Таму вобласцю змянення гэтай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў.
Прыклад 6. Знайсці вобласць змянення функцыі
у = х2 — 4х + 7.
Пераўтворым квадратны трохчлен х2 — 4х + 7, вылучыўшы з яго поўны квадрат: у — х2 — 4х 4 4 4 3 = (х — 2)2 4 3.
Выраз (х ^ 2)а прымае, відавочна, усе неадмоўныя значэнні. Таму вобласцю змянення дадзенай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх лікаў, большых або роўных 3. Гэту вобласць можна задаць пры дапамозе няроўнасці у > 3.
Прыклад 7. Знайсці вобласць змянення функцыі y = sin х + cos х.
Паказаўшы дадзеную функцыю ў выглядзе
у = /Isin (*+4г j
(успомніце, як гэта робіцца!), няцяжка зразумець, што вобласць яе змянення вызначаецца няроўнасцю
/2<у Xj вынікае, што
Ж) > /(*і)
Пры гэтым
a < Х(<і, a < х8 < і.
Іншымі словамі, функцыя называецца манатонна ўзрастаючай у некаторым інтэрвале, калі з двух адвольных значэнняў аргумента, узятых з гэтага інтэрвалу, болыйаму адпавядае болыйае значэнне функцыі.
Напрыклад, функцыя у = sin х (гл. рыс. 268) з’яўляецца ўзраста„	.	*	3	5
ючан у інтэрвалах
і г. д. Функцыя у = 2Х (гл. рыс. 267) з’яўляецца ўзрастаючай на ўсёй лікавай прамой. Функцыя у = I у I нідзе не ўзрастае (рыс. 272).
Калі функцыя у = f(x) манатонна ўзрастае ў інтэрвале a < х < 6, то графік яе ў гэтым інтэрвале з ростам х падымаецца ўсё вышэй і вышэй. Гэта, безумоўна, не азначае, што графік «уходзіць» уверх як заўгодна высока. Напрыклад, графік функцыі у =— пры дадатных значэннях х (гл. рыс. 273) падымаецца з ростам аргумента ўсё вышэй і вышэй. Тым не менш ён ніколі не пяройдзе і нават не дойдзе да восі абсцыс.
495
Функцыя у = / (х) называецца манатонна ўбываючай (або проста ўбываючай) у інтэрвале a < х < 6, калі з умовы х2 > хх вынікае, што f (х2) < f (x^. Пры гэтым a < хг < 6, а^х^Ь.
Іншымі словамі, функцыя называецца манатонна ўбываючай у некаторым інтэрвале, калі з двух адвольных значэнняў аргумента, узятых з гэтага інтэрвалу, большаму адпавядае меншае значэнне функцыі.
Напрыклад, функцыя і/ = sin х мана
Рыс. 272.
тонна ўбывае ў інтэрвалах
3 Сх<2 11 . тя 1Г
5
2
7	9
2 “’ 2
Функцыя у = убывае на ўсёй лікавай прамой. Функцыя у = 2* нідзе не ўбывае.
Калі функцыя f(x) манатонна ўбывае ў інтэрвале a < х < 6, то графік яе ў гэтым інтэрвале з ростам х апускаецца ўсё ніжэй і ніжэй. Гэта таксама не азначае, што графік «уходзіць» як заўгодна далёка ўніз. Вучням прапануецца самастойна пабудаваць адпаведны рысунак.
Функцыі, якія ў інтэрвале a < х < 6 толькі ўзрастаюць або толькі ўбываюць, называюцца манатоннымі ў гэтым інтэрвале.
Да гэтага часу мы гаварылі аб інтэрвале a < х < ' вал уключае ў сябе крайнія пункты х ^ а і х — b
ваецца замкнёным інтэрвалам. Але ў некаторых выпадках гаварыць аб замкнёным інтэрвале нядобра. Нязручна, напрыклад, гаварыць аб паводзінах функцыі
у = tg х у інтэрвале< х <
Ь. Такі інтэрі таму назы
< тр Бо пры х
2
і X =
= у гэта функцыя наогул не вызначана. Таму замест інтэрва
2
^ лепш гава
рыць аб інтэрвалеу < х
< ^. Такі інтэрвал не змяшчае крайніх пунктаў х =~ і х =
= g 1 таму называецца адкрытым інтэрвалам.
496
У далейшым нам прыйдзецца гаварыць як аб адкрытых, так і аб замкнёных інтэрвалах. Аднак у кожным з гэтых выпадкаў будзе ясна, аб якім інтэрвале ідзе гутарка, і таму мы будзем гаварыць проста аб інтэрвалах. Адзначым толькі, што замкнёны інтэрвал a < х < & звычайна запісваецца ў выглядзе [a, b], а адкрыты інтэрвал a < х < 6 — у выглядзе (а, Ь).
Практыкаванні
Вызначыць участкі ўзрастання і ўчасткі ўбывання дадзеных функцый; пабудаваць графікі гэтых функцый (№ 1570—1585):
1570. 1571.	у = х2 + Зх— 108. у = — х2 4 Зх + 4.		1578. у = cosx|.		
			1579.	х2 — 4	
				у —	х — 2 ’
1572.	У = \^	+ 3х—10|.	1580.	У =	sin 2х.
1573.	У = \~	х2 + Зх+ 4|.	1581.	У =	X cosr
1574.	у = sin		1582.	У =	1g (1 + х).
1575.	у = cos	V	1583.	У =	1g (1 — *)•
1576.	!/ = tg|		1584.	У =	5x44 х
1577.	!/ = ctg	\ ^/	1585.	У =	х 4 1 х— Г
1586.	Вызначыць участкі ўзрастання і ўчасткі а)(/ = 2’« б) і/= A				ўбывання функцый: >
1587. Даказаць, што сума дзвюх функцый, манатонна ўзрастаючых у некаторым інтэрвале, ёсць функцыя манатонна ўзрастаючая ў дадзеным інтэрвале.
1588. Ці будзе рознасць дзвюх манатонна ўзрастаючых функцый манатонна ўзрастаючай функцыяй?
§ 205. Экстрэмальныя значэнні функцыі
У гэтым параграфе мы вывучьш некаторыя пытанні паводзін функцыі y — f(x) у інтэрвале [а, Ь]. Пры гэтым, безумоўна, мы будзем меркаваць, што функцыя f(x) вызначана ў кожным пункце гэтага інтэрвалу.
497
Найболыйае з усіх тых значэнняу, якія прымае функцыя у = f (х) у інтэрвале [a, Ь\, называецца яе абсалютным максімумам, а найменшае — абсалютным мінімумам у дадзеным інтэр
вале.
Напрыклад, для функцыі у = f (х), графічна паказанай на рысунку 274, абсалютным мінімумам у інтэрвале [0,7] з’яўляецца значэнне /(0) = 1, а абсалютным максімумам — значэнне /(6) =5.
Поруч з абсалютным максімумам і абсалютньы мінімумам у матэматыцы часта гавораць аб лакальных (гэта значыць м я с ц о в ы х) максімумах і мінімумах.
Пункт х = с, які ляжыць унутры інтэрвалу [a, b], называецца пунктам лакальнага максімуму функцыі у = f (х), калі для ўсіх значэнняў х, дастаткова блізкіх да с,
f(x)



   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты