Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
518
Такім чынам, калі значэнні аргумента х выбіраць дастаткова блізкімі да 2, то»значэнні функцыі у = х2 будуць як заўгодна мала адрознівацца ад 4. Можна, напрыклад, дабіцца, каб выконваліся няроўнасці:
|хг4|< 0,001;
|х2 — 4 | < 0,0001 і г. д.
Лік 4 у такім выпадку натуральна назваць прэдзелам функцыі у — х пры х, які імкнецца a 2. Прыклад 2. Разгледзім табліцу значэнх2 — 9
няў функцыі у = паблізу пункта х = 3.
X U
X 2,94 2,96 2,98 3 3,02 3,04 3,06
X2 9 ^хЗ 5,94 5,96 5,98 функцыя не вызначана 6,02 6,04 6,06
Для х = 3 наша функцыя не вызначана: лічнік і назоўнік дробу ператвараюцца ў нуль. Калі ж значэнні х выбіраць дастаткова блізкімі да 3 (але нг роў нымі 3), то адпаведныя значэнні у будуць як заўгодна блізкія да 6.
He абмяжоўваючыся таблічнай ілюстрацыяй, дакажам гэты факт строга матэматычна, а іменна: пакажам, што для любога дадатнага ліку г, якім бы малым ён ні быў, можна ўказаць такі інтэрвал, які змяшчае пункт х = 3, што ўсюды ўнутры яго, за выключэннем самога пункта х — 3, будзе выконвацца няроўнасць
ІУ —6|<е. (])
Сапраўды, калі х ^ 3, то
Таму няроўнасць (1) зводзіцца да такой няроўнасці:
| х + 3 —6 | < г, або
| х — 3 | < s.
Апошняя няроўнасць эквівалентна двайной няроўнасці:
— е < х — 3 < е, адкуль атрымліваем:
3 — е<х<3|г.
Такім чынам, няроўнасць (1) выконваецца для ўсіх значэнняў х, змешчаных у інтэрвале ад 3 — £ да 3 + е, акрамя значэння х = 3.
Калі, напрыклад, мы хочам, каб значэнне іу адрознівалася ад 6 менш чым на е ='0,01, то павінны разглядаць значэнні х у інтэрвале ад 3 — 0,01 да 3 440,01, гэта значыць у інтэрвале (2,99; 3,01). Аналагічна пры е = 0,001 мы атрымалі б інтэрвал (3 — 0,001; 3|0,001), або (2,999; 3,001) і г. д.
Інтэрвал 3 — е < x < 3 + г можна было б пабудаваць і геаметрычна. Гэта пабудаванне зусім аналагічна таму, якое мы рабілі пры разглядзе прыкладу 1.
519
Таму мы абмяжуемся толькі тым, што прывядзём адпаведны рысунак (рыс. 302), прапаноўваючы вучням самастойна ў ім разабрацца.
Такім чынам, калі значэнні аргумента х выбіраць дастаткова блізкімі да 3, але н? роўнымі 3, то значэнні функцыі / (х) будуць як заўгодна мала адрознівацца ад 6. Можна, напрыклад, дабіцца, каб рознасць \ у— 61 была менш 0,1; 0,01;
0,001 і г. д. Нягледзячы на тое
што разглядаемая функцыя не вызначана пры х = 3, натуральна лічыць, што прэдзел яе пры х » 3 існуе і роўны 6.
Разгледзеўшы прыклады, мы прыходзім да наступнага азначэння прэдзелу функцыі.
Лік b называецца прэдзелам функцыі/(х) пры х, які імкнецца да а, калі для любога дадатнага ліку е можна ўказаць такі інтэрвал, які змяшчае пункт х — а, што ўсюды ўнутры яго, за выключэннем, быць можа, самога пункта х = а, будзе выконвацца няроўнасць
\t(x)~b\ < е.
Той факт, што прэдзел функцыі / (х) пры х, які імкнецца да а, роўны Ь, запісваецца такім чынам:
(чытаецца: прэдзел / (х) Напрыклад,
lim f(x) — b х*а
пры х, які імкнецца да а, роўны Ь).
lim х2 = 4; lim = 6.
х2 х~3*
Практыкаванні
Зыходзячы з азначэння прэдзелу, (№ 1653—1658):
даказаць наступныя суадносіны
1653. lim (Зх + 5) = 5. х0
1654. lim х = 2. х8
х20,25 ,
1655. lim тр— = I. 1 х —0,5
*—2
1656. lim * 1 =2.
^ifx1
у2__ у — A
1657. lim = 5.
х2 х + 2
1658*. lim 10* = 1. х0
1659. Чаму пры знаходжанні прэдзелаў некаторых дробаў (гл., напрыклад, практыкаванні 1655—1657) магчыма скарачэнне гэтых дробаў? Той жа выраз, на які мы скарачаем, можа ператварыцца ў нуль!
§ 212. Асноўныя тэарэмы аб прэдзелах функцый
Перш за ўсё заўважым, што не для ўсякай функцыі у = f (х) існуе прэдзел!іт/(х). Так, напрыклад, пры х*^значэнні функцыі у = tgx (рыс. 303) х*а
або неабмежавана растуць ^пры х < ^^, або неабмежавана ўбываюць
520
пры х > ^j. Таму
нельга ўказаць ніякага ліку
Ь,
да якога імкнуліся б зна
чэнні функныі.
Другі прыклад. Няхай
/W =
1 — х, калі х < 0,
0, калі х = 0, — 2 — х, калі х > 0.
Графік гэтай функцыі дадзен на рысунку 304< Калі значэнні аргумента х набліжаюцца да 0, застаючыся адмоўнымі, адпаведныя значэнні функцыі імкнуцца да 1. Калі значэнні аргумента х набліжаюцца да 0, застаючыся дадатнымі, адпаведныя значэнні функцыі імкнуцца да —2. У самім_ жа пункце х = 0 функцыя ператвараецца ў 0. Відавочна, што ўказаць адзін якінебудзь лік, да якога імкнуліся б усе значэнні у пры на
Гаворачы ў даленшым аб прэдзеле функцыі, мы заўседы будзем дапускаць, што гэты прэдзел існуе.
Дапушчэнне аб існаванні прэдзелу 1іт/(х) яшчэ не азначае, што гэты прэха
дзел супадае са значэннем функцыі / (х) у пункце х = а. Для прыкладу разгледзім функцыю, графік якой дадзен на рысунку 305. Відавочна, што прэдзел 1іт/(х) існуе і роўны 1. Але ў самым пункце х = 0 функцыя прымае значэнне, х»о
роўнае 2. Таму ў дадзеным выпадку
lim / (х) ^ / (0).
х>0
Калі функцыя у — f(x) задавальняе ўмове
lim / (х) = / (а), х^а
то яна называецца неперарыўнай у пункце х = а. Калі ж дадзевая ўмова не выконваецца, то функцыя / (х) называецца разрыўнай ў пункце х — а.
У
2
Рыс. 305.
521
Усе элементарныя функцыі (напрыклад, у = хп, y = sinx, у = tg х, y = tg8x4tgx і г. д.) неперарыўныя ў кожным пункце, у якім яны вызначаны.
Функцыя y = f(x) называецца неперарыднай у інтэрвале [a, Ь}, калі яна неперарыўная ў кожным пункце гэтага інтэрвалу Напрыклад, функцыя у = tg х
неперарыўная ў інтэрвале
4 ’
у , функцыі у = sm х і 0 = cos х — непе
рарыўныя ў любым інтэрвале і г. д.
Прывядзём без доказу асноўныя тэарэмы аб прэдзелах функцый. Гэтыя тэарэмы зусім аналагічныя тым, якія мы разглядалі (таксама без доказу) раней пры вывучэнні прэдзелаў лікавых паслядоўнасцей.
1. Прэдзел канстанты роўны самой гэтай канстанце:
lim с — с. ха
2. Пастаянны множнік можна выносіць за знак прэдзелу: lim [£/ (х)] = £ lim f (х)< х^а х^а
3. Прэдзел сумы (рознасці) функцыа роўны суме (рознасці) прэдзелаў гэтых функцый:
lim [/ (х) ± g (х)] = lim / (х) ± lim g (х). х*а х~а х^а
4. Прэдзел здабытку функцый роўны здабытку прэдзелаў гэтых функцый:
Um [f (х) • g (x)J = lim / (х) • lim g (x). x+a xa x^a
5. Прэдзел адносіны дзвюх функцый роўны адносіне прэдзелаў гэтых функцый, калі толькі прэдзел дзельніка не роўны нулю:
lim/W
lim —гр (lim S W 4= 0).
х~аёЮ hmg(x)
х^а
Разгледзім некалькі тыповых прыкладаў знзходжання прэдзглаў функцый.
Прыклад 1. Знайсці
7х —5
Па ўласцівасці прэдзелаў
lim (7х — 5) lim 7х—lim 5
1І1П 7*~5 = =
г^5 10+2х lim (10 42х) lim 10р lim 2х
*►5 х5 х —5
7 lim х — 5
х5 75 — 5 30 3
~ 10 4 2 lim х“10 425і20~ 2’
х5
Прыклад 2. Знайсці
Пры х > 3 лічнік і назоўнік дадзенага дробу імкнуцца да нуля. Таму непасрэднае прымяненне тэарэмы аб прэдзеле дзглі тут немагчыма. Аднак дадзгны дроб можна скараціць:
хг — 2х — 3 _ (х — 3) (х + 1) _ х+ 1
х2 — 5х j 6 (х — 3) (х — 2) ~ х — 2 ’
522
Пасля гэтага прэдзел можа быць лёгка знойдзен:
х22х3 х+1 3+1 ,
Х„3 х2 —5х + 6 жз х — 2 3 — 2
П р ы к л а л 3. Знайсці
х+ /х 11ГП ' хо х — У х
Гэты прэдзел лёгка знаходзіцца, калі папярэдне дадзены дроб скараціць на / х:
Um х0
х+/х _ /х + 1 = 0+ 1 х/7 7і0/7і оі
Звярніце ўвагу на наступную важную асаблівасць, характэрную для разгледжанага прыкладу. Калі мы гаворым аб прэдзеле Ііт/(х), то звычайна дапускаем, што функцыя f (х) вызначана в а ў с і х пунктах, дастаткова блізкіх • . X + / X
да пункта х — а. Аднак функцыя — вызпачана толькі для дадатных х — У х
значэнняў х. Таму, разглядаючы прэдзел гэтай функцыі, мы фактычна дапускаем, што х * 0, застаючыся ўвесь час дадатным. У падобных выпадках гавораць не проста аб прэдзеле, а аб аднастароннім прэдзеле. 3 аналагічнымі прыкладамі мы яшчэ. сустрэнемся пры выкананні практыкаванняў да гэтага параграфа.
П р ы к л а д 4. Знайсні
lim ——=.
хо /1 + х— 1
Лічнік і назоўнік гэтага дробу пры х = 0 ператвараюцца ў 0. Таму непасрэднае выкарыстанне тэарэмы аб прэдзеле дзелі тут немагчыма Акрамя таго, дадэены дроб нелыа скараціць, як мы рабілі гэта ў прыкладах 2 і 3. У дадзепым выпадку лічнік і назоўнік дробу трэба памножыць на выраз /1 _р ж _р ], супрэжаны назоўніку дробу. У рэзультаце атрымаем:
х (/1 + х + 1)____ х (/1 + х + 1) _ .
КГ+х1 (/ГТІ1)(/Г+*+1) 1 + хІ ”
Пасля гэтага дадзены прэдзел знаходзіцца лёгка:
lim * = lim (/Т+7 + 1) = 1 + 1 = 2.
х0 / 1 + X — 1 Х’О
Дапускаючы, што
lim /1 + х = ^ х0
мы тым самым выкарыстоўваем уласцівасць неперарыўнасці функцыі {/=/Т/х lim /Г+7 = /1+0 = 1.
х0
П р ы к л а д 5. Знайсці
Пры х > 4 лічнік і назоўнік дадзенага дробу імкнуцца да 0. Таму прымяніць тэарэму аб прэдзеле дробу нельга. Пераўтворым дроб, прадставіўшы наэоўнік у выглядзе здабытку:
/7 —2 _ /7 — 2 1
4 ~ (К х + г)^ х —2) ~ /7 + 2
523
Цяпер атрымліваем:
hm ——— = lim ——== —,
х4 x —4 x,4 ^ x^ 2 242 4
Практыкаванні
Знайсці прэдзелы (№ 1660—1675): 1660. lim (2x2 4 3x — 5).
1668. lim—. Xl 1 — Kx
1661/ lim (3x —x2).
&=* >5
X2 1
. x ,0 2x2 —X — Г
1663.4im^=^±|.
x,i x3 —4x43
1669. lim7. x16 / x — 4
1670. lim 2K*3* x^o 3 K x — 2x
X2
1664; lim
„x>2
4665. lim
3x2 4 5 x — 2 5x24 12x44 '
2x3 4 5x — 3
1671. lim r_______
x0 /x24 4 2
x —3
1672. lim , x3 12x 4 10 — 4
2
x2 — 6x — 7 ■ 24x
1673. lim Kx + 3—2
1666. lim=. x2 1 — J/x43
X I X — 1
1674. limSy. *
1667. iimX£±^j£^. ^О X
1675. lim
x*0
x
§ 213. Некаторыя трыганаметрычныя няроўнасці i ix выкарыстанне пры знаходжанні прэдзелаў
У гэтым параграфе мы дакажам некаторыя трыганаметрычныя няроўнасці, якія будуць адыгрываць важную ролю ў далейшым вывучэнні функцый.
1. Для любога вострага вугла х sinx < х < tgx. (1)
Доказ. Няхай на рысунку 306 ОА = ОВ=\, /_АОВ = х радыянам, BD і AC перпендыкулярны да ОА. Відавочна, што плошча трохвугольніка ОАВ меншая за плошчу кругавога сектара ОАВ, а плошча кругавога сектара ОАВ у сваю чаргу меншая за плошчу трохвугольніка ОАС. Але S&OAB = ^BD. OA^^BD
_ it • ОА2 х
S сект. ОАВ — —^— ■ х — “1
S л0АС= ~^ОААС = ~ AC.
Улічваючы, што BD = sinx, AC = tgx, атрымліваем: 1 . х 1 ,
Tsinx < Т<Т‘^' адкуль і вынікае няроўнасць (1).
Рыс. 306.
Рысунак 307 служыць графічнай ілюстрацыяй няроўнасці (1). У інтэрвале 0, — I графік функцыі у — х размешчан в ы ш э й графіка функцыі у = sin х, але ніжэй графіка функцыі y=tgx.
524
Спынімся больш падрабязна на няроўнасці sin х < х. Мы даказзлі яе ў да
КНІГІ ОНЛАЙН
