Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
дх0 д* Дх0
Вытворная функцыі f(x) = x роўна 1.
Прыклад 3. Знайсні вытворную функцыі /(х) = х3,
Маем:
f (х) = х2, / (х + Д х) = (х + Д х)2.
Таму
by = f (х\ b х) — f (х) = (х + b х)2 — х2 —
= [х2 + 2х • Д х + (Д х)2] — х2 = 2х • Д х + (Д х)2. Значыць,
= 2х + Д х. Д х
Значыць,
у' = lim A — = lim (2х + Д х) = lim 2х + lim (Д х) = 2х + 0 =2х.
Дх>0 ЬХ д х>0 Д х»0 Д х*0
Вытворная функцыі f (х) = х2 роўна 2х.
У адрозненне ад першых двух прыкладаў тут вытворная залежыць ад х.
Значэнне вытворнай ад функцыі f (х) пры х = а абазначаюць /' (а). Напрыклад, калі / (х) = х2, to f (х) = 2х і таму
f (0) = 2 • 0 = 0,
Г(1) = 2 1 = 2.
Практыкаванні
1744. Знайсці вытворныя наступных функцый:
а) 1/ = х + 1;
б) (/ = 2х2;
$ у= I* + і)2;
Д) {/ = 1 — х2; г) р = 2 /7 е) р = х3.
1745. Пры награванні цела тэмпература яго Т змяняецца з цягам часу t па закону Ть0,4і2 (Т — тэмпература ў градусах, 7 —час у секундах). Знайсці:
а) сярэднюю скорасць змянення тэмпературы цела за прамежак часў ад /! = 4 сек да /2 = 8 сек;
6} імгненную скорасць змянення тэмпературы цела ў момант / = 5 сек.
1746. Ток / ампер змяняецца з цягам часу / па закону /= 0,5/2, дзе / — лік секунд. Знайсці скорасць змянення току ў канцы пятай секунды.
§ 220. Дыферэнцыруемыя функцыі
Вытворная функцыі у = f (х) у пункце х вызначаецца як прэдзел
/'(х)=1іт дхо Ьх
Але прэдзелы існуюць не заўсёды. Зусім гэтак жа не заўсёды існуюць і вытворныя. У якасці прыкладу разгледзім наступную функцыю:
/W = |x|.
637
Пакажам, што вытворная f' (0) ад гэтай функцыі пры х = 0 нг вызначана. праўды, па азначэнню вытворнай
П, = ІІ, Ж󳹄 в„ |О±1«НЧОІ= !Im J1JI
Д X 0 j X Д Х*0 X д х»0 ^ ^
Са
(1)
Калі А х імкнецца да нуля, застаючыся дадатным, to | A х| = А х і
lim д х*о
|Ь1 Д х
тады
(А х>0)
= 1.
Калі ж Д х імкнецца да нуля, застаючыся адмоўным, то | Д х | = — Д х
|^х| 1
lim Ц— = — 1. д х—о Ах
і тады
(A х<0)
Калі б прэдзел у формуле (1) існаваў, то ён не залежаў бы ад таго, як Д х імкнецца да нуля. На самай справе гэта не так. Але адсюль можна зрабіць толькі той вызад, што прэдзел у (1) не існуе.
Такім чынам, для функцыі / (х) = | х | вытворная ў пункце х = 0 не вызначана. Лёгка паказаць, што ва ўсіх астатніх пунктах вытворная функцыі f (х) = = | х | icttye і роўна
f « = {
1, калі х > 0;
1, калі х < 0.
Прапануем вучням самастойна пераканацца ў гэтым.
Аперацыя знаходжання вытворнай ад дадзенай функцыі называецца дыферэнцыраваннем гэтай функцыі. Функцыя, якая мае вытворную ў пункце х = а, называецца дыферэнцыруемай у гэтым пункце. Калі функцыя дыферэнцыруема ў кожным пункце некаторага інтэрвалу, то гавораць, што яна дыферэнцыруема ў гэтым інтэрвале. Напрыклад, функцыя і/= | х | дыферэнцыруема ў кожным інтэрвале, які не змяшчае пункта х = 0; функцыя у — х дыферэнцыруема ўсюды.
Можна даказаць, што функцыя, разрыўная ў пункце х = а (гл. раздзел IX, § 212), не з'яўляецца дыферэнцыруемай у гэтым пункце. Такім чынам, дыферэнцыруемымі могуць быць толькі неперарыўныя функцыі. Аднак не трэба думаць, што любая неперарыўная ў пункце х — а функцыя з'яўляецца дыферэнцыруемай у гэтым пункце. Напрыклад, функцыя у — \х\ неперарыўная ў пункце х = 0, але, як паказана вышэй, не дыферэнцыруема ў гэтым пункце. Існуюць і больш пераканаўчыя прыклады: функцыя можа быць усюды неперарыўная, але нідзе не дыферэнцыруема. Аднак разгляд такіх функцый выходзіць далёка за межы нашай праграмы.
Практыкаванне
1747. Ці з’яўлягоцца функцыі /(х) = |х|2 і / (х) = | х |3 дыферэнцыруемымі ў пункце х = 0?
§ 221. Датычная да крывой
Да гэтага часу мы мелі справу толькі з датычнай да акружнасці. Датычнай да акружнасці ў зададзеным пункце ЛІ мы называлі прамую, што мае з акружнасцю адзін і толькі адзін агульны пункт — пункт М. Такое азначэнне прымяніма не для ўсякай крывой. Напрыклад, натуральна лічыць, што прамая АВ датыкаецца да крывой MNP у пункце А1 (рыс. 310), хаця мае з гэтай крывой не адзін, а два агульныя пункты М і Р. Прамая CD, наадварот, мае толькі адзін агульны пунктзкрывой MNP— пункт N. Аднак лічыць яе датычнай да крывой MNP у пункце N было б зусім ненатуралыіа.
538
Каб вызначыць датычную да адвольнай крывой у пункце М (рыс. 311), возьмем на гэтай крывой яшчэ адзін пункт Мх і правядзём сякучую MMV Калі пункт Мх перамяшчаць па дадзенай крывой, неабмежавана набліжаючы яго да пункта М, то сякучая будзе ўвесь час паварочвацца вакол пункта М, займаючы паслядоўна становішчы MMV ММ2, ММ3 і г. д. Гранічнае становішча сякучай MN 1 дае нам датычную да крывой у пункце М.
Датычнай да крывой у пункце М называецца гранічнае становішча сякучай ММУ калі пункт Mv рухаючыся па крывой, неабмежавана набліжаецца да пункта М.
Няцяжка зразумець, што для акружнасці гэта азначэнне эквівалентна таму, якім мы карысталіся да гэтага часу ў геаметрыі (гл. рыс. 312).
Пункт Mv рухаючыся па крывой, можа неабмежавана набліжацца да пункта Л1 з розных бакоў. Напрыклад, на рысунку 313 пункт М' набліжаецца да пункта М не зверху, як на рысунку 311, а знізу. У гэтым выпадку мы маем справу з іншымі сякучымі: ММ', ММ", ММ'" і г. д., але іх гранічнае становішча тое ж самае — MN.
Аднак не выключана і такая магчымасць (гл. рыс. 314): у выніку набліжэння пункта М, да пункта М справа сякучыя MMV ММ^ ММ3 імкнуцца
заняць адно гранічнае становішча — MN, а ў выніку вабліжэння пункта М' да пункта Л4 злева сякучыя ММ', ММ", ММ'" імкнуцца заняць іншае гранічнае становішча — МР. У падобных выпадках гавораць, што крывая не мае датычнай
у дадзеным пункце.
639
Практыкаванні
1748. Што з’яўляецца датычнай да прамой у любым яе пункце?
1749. Ці мае графік функцыі t/ — | х | датычную ў пункце з абсцысай:
a) — 1; б) 0; в) + 1?
1750. Ці існуе датычная да графіка функцыі у = | sin х | у пункце х = ?
1751. Добра вядома, як вызначаецца вугал паміж дзвюма прамымі. А як бы вы вызначылі вугал паміж дзвюма крывымі, якія перасякаюцца,
у пункце іх перасячэння (гл. рыс. 315)? рыс 315.
§ 222. Геаметрычнае тлумачэнне вытворнай
Няхай крывая KL, дадзеная на рысунку 316, ёсць графік функцыі у= Цх). Адзначым на ёй два пункты: М з каардынатамі (х, у) \ Mt з каардынатамі (х + Д х, г/ + Д у). Правядзём прамую МР, паралельну'ю восі абсцыс. У трохвугольніку ММ^ МР = Д х, МіР — ^у. Таму адносіна —д* роўна тангенсу
вугла а, утворанага сякучай MMl з воссю абсцыс. стаецца нерухомым, а Мг неабмежавана набліжаецца та М. Сякучая ММХ увесь гэты час мяняе свой напрамак. Разам з гэтым змяняецца і вугал а. Але ў любы момант часу
Пры Д х * 0 пункт М за ўздоўж крывой да пунк
У прэдзеле хорда ММ1 зойме становішча
датычнай MN, утвараючы з воссю абсцыс некаторы вугал ^. Відавочна, што пры гэтым р = Іігп а, і
Д х>0
tg 3 = lim tg a.
д x0
Але tga=^
b Ax
Значыць,
tg ? = Hm
ДхO
540
Такім чынам, вытворная функцыі / (х) у пункце х роўна тангенсу вугла нахілу датычнай да графіка гэтай функцыі ў пункце з абсцысай х.
Атрыманая суадносіна паміж значэннем вытворнай ад функцыі (f) х у адвольным пункце х і вуглавым каэфіцыентам датычнай да крывой у = f (х) у гэтым пункце дазваляе даволі проста саставіць ураўненне датычнай. Растлумачым гэта на наступным прыкладзе.
Няхай трэба знайсці ўраўненне датычнай да парабалы у = х2 у пункце М з абсцысай х=2 (рыс. 317). Шукаемая датычная мае ўраўненне у = kx\Ь. Вуглавы каэфіцыент k роўны значэнню вытворнай ад функцыі у = х2 у пункце х = 2. Паколькі у = х2, то у' = 2х. Таму 6 = 4. Значыць, датычная мае ўраўненне у — 4х\Ь. Невядомы каэфіцыент b можна знайсці з умовы, што датычная праходзіць праз пункт М парабалы у — х2 з абсцысай х = 2 (гэта значыць, праз пункт дотыку). Ардыната гэтага пункта роўна 4. Падстаўляючы ва ўраўненне у = 4х } b х = 2, g = 4, атрымаем 4 = 846, адкуль b = — 4. Такім чынам, шукаемая датычная мае ўраўненне у — 4х — 4.
Практыкаванні
1752. Напісаць ураўненне датычнай да парабалы р = х2 у пункце з абсцысай: а) — 1; б) 0; в) 4 1.
1753. Пад якім вуглом прамая х = 3 перасякаецца з парабалай у = х2?
1754. У яніх пунктах прамая у = х перасякаецца з парабалай у = х2? Якія вуглы ўтвараюцца пры перасячэнні?
§ 223. Вынясенне пастаяннага множніка за знак вытворнай
Няхай g (х) = af (х), дзе a — некаторы лік, a f (х) — адвольная дыферэнцыруемая функцыя. Пакажам, што функцыя g (х) таксама дыферэнцыруема і
g' (х) = af (х). (1)
Сапраўды,
g (х 4 Д х) — g (х) а/ (х 4 Д х) — af (х) = f (х + Ь х) — f (х) Д X Д х Д х '
Паколькі функцыя f (х) дыферэнцыруема, то прэдзел адносіны
—— —— ПрЬІ Д х> о існуе і роўны f (х). Таму
lim .glx + MngW
Дх0 Д*
таксама існуе і роўны af (х). Суадносіна (1) даказана.
Пастаянную велічыню можна выносіць за знак вытворнай.
Прыклады.
(Зх)' = 3 • (х)' = 3 • 1 = 3;
(— 5х2)' = — 5 • (х2)' = — 5 • 2х = — 10л
Практыкаванне
1755. (Вусна.) Знайсці вытворныя наступных функцый:
а) У = — х;
х
б) у = ^;
в) у = ^
г) у =/5" х;
541
д) I/ = — ж) у = /з X2'
е) ^ = 4 х2; з) у 5 ~ 1 х3.
2 2/2
§ 224. Вытворная сумы функцый
Т э а р э м а. Калі функцыі u (х) і v (х) дыферэнцыруемы, то іх сума w(x) = u (х) + v (х) таксама дыферэнцыруема, прычым
W' (X) = U’ (X) + V’ (X).
(Вытворная ад сумы дзвюх функцый роўна суме вытворных ад гэтых функцый.)
Д о к а з. Маем:
Asi(x) = ®(х f Д x)to(x) = [u (х +Ах) +ti(x+ 4 х)] —
— [“ (х) + V (х)] = [U (х + Д х) — u (х)І + [u (х 4 Л X) — t) (x)J.
Таму
Паколькі функцыі u (х) і v (х) дыферэнцыруемы, то існуюць прэдзелы:
« (х + Д х) — u (х) , . .
hm ——!—^—■■ = й' (х);
ДХ0
u(x + A х) — v(x)
Inn — Т2— = V' (X). д хоа х
Значыць, Існуе і прэдзел lim —j= оу (х),
Дх0 дх
прычым
w’ (х) — й' (х) + V' (х).
Мы атрымалі формулу для вытворнай сумы дзвюх функцый. Аналагічна можна атрымаць і формулу для вытворнай рознасці дзвюх функцый:
[« (х) — V (х)]’ = й' (х) — V' (х).
Між іншым, яе можна вывесці з формулы для вытворнай ад сумы, калі вы раз й (х) — о (х) разглядаць як суму « (х) + [—у (х)| і выкарыстаць тэарэму аб вынясенні пастаяннага множніка за, знак вытворнай. Прапануем вучням сама стойна разабрацца ў гэтым.
Адзначым, што даказаная вышэй тэарэма правільная для любога ліку складаемых:
(«! 4 «г + ■ • • + unY ~ ut + й3 4~ • ■ ■ + “л
П р ы к л а д ы. Няхай / (х) = х2 4 2х — 5. Тады
КНІГІ ОНЛАЙН
