Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
f (х) = (х2)' 4 (2х)' — (5)' = 2х 4 2 0 = 2х 4 2. Аналагічна
(_ Зх2 + 5х + 7/ = (_ 3х2Г + (5ху + (7)' =
= — 3 • 2х 4 5 • 1 4 0 = — 6х 4г 5.
542
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый:
1756. (Вусна.)
a) у = 1 —х;
б) у = х — х2;
в) у = 2х + х2 —7;
г) у = 1 — Зх | 6х2;
1757. у = (х 1) (х + 2).
1758. у = (х — I)2.
1759. 'у= (2х— і)2.
1760. (/= (3 — 2х) (х — 6).
1761 у = 3х — 5(1 — х) (1
1762. z/ = (x — I)2 —(х + 1)
д) у = 6 — Зх2;
е) У = х^— х2;
ж) у = х (1 — х);
з) У = (х ^ 1) (* — 0
2х).
§ 225. Дыферэнцыраванне здабытку дзвюх функцый
Няхай функцыя w (х) ёсць здабытак дзвюх функцый u (х) і v (х): w(x) — u (х) • v (х).
Тое ж самае мы будзем запісваць карацей:
W = U • V.
Дапусцім, што функцыі u і v дыферэнцыруемы. Ці будзе дыферэнцыруемым іх здабытак? Маем:
A w = w (х 4 Д х) — w (х) = й (х + Д х) v (х + Д х) — u (х) v (х).
Але u (х + Д х) — u (х) = Д u, v (х + Д х) — v (х) = Д V.
Адсюль й (х + Ь х) — u + b й, v (х + Д х) = о + Д v.
Значыць,
Д w = (u 4 Дй)(» + Д ti) uv = u • v } й ■ Д u + A u • у ф Д « • ^v — uv =
= «Av + vAu|AuAv.
Таму Д w Av. Au.Au, —; = U —; h V —т т Д V. Д х △ х Д х Д х
Пры Д х * 0 атрымліваем:
й * й;
V + V,
Д й
Дх
Д v
Дх
v'.
Пакажам, што пры Д х ^ 0 A v » 0. Сапраўды,
A v = —— • Д х у' • 0 = 0.
Д х
543
Такім чынам,
A w lim —т= uv' + u'v + м' • 0 = uo' 4 u'v.
Ьх0
Значыць, у разглядаемым выпадку вытворная здабытку існуе і роўна: (uv)' = u'v + uv'.
Вытворная здабытку дзвюх функцый роўна здабытку вытворнай ад першай функцыі на другую функцыю плюс здабытак першай функцыі на вытворную ад другой функцыі.
П р ы к л а д ы.
1) Знайсці вытворную функцыі у = (х4а) (хф Ь).
Па правілу дыферэнцыравання здабытку:
У' = (* + а)' (*+&) + (* + а) (х + b)' = I ■ (х + Ь) +
4 (х 4 я) • 1 = 2х 4 « 4 ^
2) Знайсці вытворную функцыі у = (х 4 1) (х2 — 3). Маем:
/ = (* + 1)' • (х2 _ 3) + (X + 1) • (х2 3)' = (1 + 0) (х» 3) +
+ (х + 1) (2х + 0) = Зх2 + 2х — 3.
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый (№ 1763— 1771):
1763. У = (х2+ 1)(3 —5х2).
1764. у = 5х2 (х — х2).
1765. г/ = (х2 + х + 1) (х3 х 4 1).
1766. у = (1 — Зх + 7х2) (— 5х2 — 1).
1767. у = х*.
1768. у = х2(1—х^.
1769. у = (2х — З)4.
1770. у = (х2 + ах)2.
1771. у = (х? — а) (х3 + Ь).
1772. Паказаць, што тэарэма аб вынясенні пастаяннага множніка за знак вытворнай (§ 223) з’яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб дыфэрэнцыраванні здабытку.
1773. Даказаць тоеснасць
(й ■ v ■ w)' = u'vw 4 uv'w 4 uvw'.
Выкарыстоўваючы яе, знайсці вытворную функцыі
0 = (х + а) (х + 6) (х + «)■
§ 226. Вытворная дробу
Няхай u і v — некаторыя функцыі аргумента х. Як, ведаючы вытворныя гэтых функцый й і v , знансці вытворную іх адносіны — у тых пунктах, у якіх v не ператвараецца ў 0? Ды і наогул ці існуе гэта вытворная?
Каб рашыць гэту задачу, зробім наступныя вылічэнні:
u (х 4 Д х) й(х) _ й { Su й
v (х } S х) v(x) о 4* ^ ° °
uv\vSu — uv — uSv vSu — uSv
v (o 4 A v) u2 4 o • A D
544
Таму
u (х + A Jt) _ u (x)
a (x + A x) v (x) _ 1________A u . v_u ' A V
Ax o’ + o • A ti [ Ax Ax
Паколькі функцыі u i v дыфгрэнцыруемы, існуюць прэдзелы:
lim —; = V .
AX0 Ax
Акрамя таго,
lim [o2 + o ■ Ao]
A x0
= lim
A X>0
v2+v— A x
Ax = v2 + vv' • 0 = u2.
Таму існуе i прэдзел
u (x + A x) u
o(x + Ax) ~ ( u Y
J™,n роўны u'v— uv’
Такім чынам, калі функцыі u I v дыферэнцыруемы, mo ў тых пунктах, у якіх v адрозна ад нуля, адносіна ^ таксама дыферэнцыруема I
[ »Y u v “ av
\Т / v2
Прыклады.
п / I + XV _ (1 + х)'(1х)(1 + х)(1х)^
‘ЦК7/~ (1 —X)2
! , (1 _х) _ (1 + х) (_ 1) 2 .
(1 — х)2 (1 — х)2 ’
я П (I)'*1 (х)' = Ох1 ■ 1 _ 1
' \ X I X2 X2 ” X2’
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый:
1774. У = ІХ 1 + *' 1778. У = 5
бх — 4
1775. 2х — 3 1779. 5
У — 5 —4х У 6 — X
1776. X 1780. У = — 7
У — X2 — 1 ■ 3—Юх'
1777. 2х2 1781. ах\ b
у = 1 —7х У сх —{ d
18 Я. С. Качаткоў, К. С, Качаткова
545
§ 227. Вытворная ступекнай функцыі
У папярэдніх параграфах мы ўжо разглядалі некаторыя прыклады на знаходжанне вытворнай ад ступеннай функцыі у — хп пры натуральным п. Так, напрыклад, мы даказалі, што (х)' = 1, (х2)' = 2х. Выкарыстоўваючы тэарэму аб вытворнай здабытку дзвюх функцый, лёгка атрымань вытворвыя і любых іншых натуральных ступеней х. Напрыклад,
(х3)' = (%2 . х)' = (х2)' ■ х + х2 • (х)' = 2х ■ х + х2 • 1 = Зх2;
(х4)' = (х3 • х)' = (х3)' • х + х3 ■ (х)' = Зх2 • х + х3 • 1 = 4№;
(x*)' = (х4 • х)’ = (х,У • х + х4 • (х)' = 4х® • х | х4 • 1 = 5х4 і г. д.
Няцяжка заўважыць агульнае правіла для знаходжання вытворнай ад функцыі у = хп пры любым натуральным п.
Каб знайсці вытворную функцыі у = хп, трэба паказчык п узяць каэфіцыентам, а ў самога х паказчык панізіць на адзінку, гэта значыць
(хп)' = пхп~\ (1)
Напрыклад,
(х10)' = 10х9; (х46)' = 45х44.
Разважанні, якія мы праводзілі тут у пацверджанне справядлівасці формулы (1), з’яўляюцца толькі наводзячымі; за строгі доказ гэтай формулы іх прыняць, вядома, нельга. Да формула (1) мы яшчэ вернемся ў § 262, дзе і дадзім яе строгі доказ.
Атрыманае намі правіла знаходжання вытворнай ад ступеннай функцыі справядліва не толькі для натуральных, але і для любых паказчыкаў, гэта значынь для любога сапраўднага ліку а:
(хв)' = ахв—1 (х>0).
Доказ гэтай формулы выходзіць за межы школьнай праграмы і таму тут не даецца.
Прыклады.
1) Няхай у = ў. Тады
546
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый: 1782. (В у с н а.)
а) у = х\ д) у = X / х;
б) 1/ = 5 ^ ^ У = Т^
1783. y = Y хў х. 1786. У =
1784. у = Y Зх Y 5х; 1787. У =
1785. 1 1788. У =
У ~ 3 / Y х
1 х/іх ' 5х2 х 1
X
7 — Зх + х4 xY X
1789. Чаму, прыводзячы агульную формулу (ха)' = а х* \ звычайна агаворваюць, што х > 0?
§ 228. Вытворная мнагачлена
Мнагачлгн ступені п мае выгляд:
Pn (х) = о„хл + ajx"1 + а2хп~2 + ... + ал_г х + ап,
дзг ап — свабодны член, a0, ао ..., an_j — каэфіцыенты пры хп, хп~1, ..., х (адпаведна), прычым о0 4= 0. Такі выраз можна разглядаць як суму (n + 1) функцый a„xn, а1хп~1, а2х"—г оп—іХ, ап. Таму вытворная мнагачлена роўна суме вытворных гэтых функцый:
Р'п W = (“»*")' + (аі*"1)' + (а2хл2)' + • • • + (a^x)' + (ал)'.
Вытворная ад ап, як вытворная ад канстанты, роўна нулю. Астатнія вытворныя лёгка знайсці, выкарыстоўваючы тог, што пастаянны множнік можна выносіць за знак вытворнай і пры любым натуральным k (хку = k • х*—1. Такім чынам, атрымліваем:
(о0хл)' = а0 (xnY = аопхп~\
(аіхп~1)' = Оі (х”1)' = а1(п — 1) хл—2;
(а„_і х)' = ал_і (х)' = а„_ў (ол)' = о.
Адсюль
(аохл + ОіХл! + а2хл~2 + ... + а„_і х + ап)' = = аопхл—1 + Яі (л — 1) хл—2 + ... + о„_і.
П р ы к л а д ы.
1) (Зх2 — 5х — 7)' = 3 • 2х — 5 = 6х — 5;
2) (Юх’ — 4х3 + х)' = 10 • 6х5 — 4 • Зхг + 1 = 60х5 — 12х2 + 1.
18*
547
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый: 1790. у = 2х6 — х.
1791. у = Ы — 6хв — 4х3 + 5х2 + 17.
1792. у = — х3 — Зх2 + 6х — 100.
1793. у = 5 —6x4 17х4.
1794. у = (х3 — 1 — 2х) (х2 — 5).
1795. у = (х7 + х)2.
1796. у = (2х —6х5)3
§ 229. Дыферэнцыраванне трыганаметрычных функцый
Тэарэма 1. Вытворная сінуса роўна косінусу:
(sin х)' = cos х.
Д о к а з. Няхай аргумент х атрымаў прырашчэнне Д х. Тады функцыя у = sin х атрымае прырашчэнне:
Д у = sin (х 4 Д х) — sin х.
[Іератворым гэты выраз, выкарыстоўваючы формулу для сінуса сумы двух вуглоў:
Д у = sin х • cos (Д х) 4 cos х • sin (Д х) — sin х =
= cos х • sin (Д х) — sin X (1 — cos Д х).
/ Д
Улічваючы, што 1 — cos Д х = 2 sin21 — I, атрымліваем:
Д у = cos х • sin Д х — 2 sin х • sin2
Адсюль
Д w sin Д х _ .
~ = cos X • —2 Sin X •
Д х Д х
sin2
Д х
(1)
Мы ведаем (раздзел IX, § 214), што lim
sin Д х
Д х
= 1. Зыходзячы з гэтага,
знойдзем прэдзел выразу
\ 2 / Д х
4. Абазначым — праз г. Тады Д х = 2z і таму Д х2
sin2
Дх
\ 2 Д х
sin2z 2г
Значыць,
sin2 I lim —
дхо Дх
sin2Z 1 .. sinz .. . 1 , A „
= lim —r— = = lim lim sin z = 7 10 =0. z^0 2z 2 20 z 2^0 2
548
Цяпер з (1) атрымліваем:
л л sn Т
(sin х)' = lim — = cos х lim sln — — 2 sin x lim —Д— = дхoAx A*0 Ax AX.0 a *
= cos x • 1 — 2 sin x • 0 = cos x.
Тэарэма даказана.
Тэарэма 2. Вытворная косінуса роўна сінусу, узятаму з процілеглым знакам:
(cos х)' = — sin х.
Д о к а з. Няхай аргумент х атрымаў прырашчэнне А х. Тады функцыя y = cosx атрымае прырашчэнне:
Д у = cos (х 4 Д х) — cos х.
Пгратворым гэты выраз, скарыстоўваючы формулу для косінуса сумы двух вуглоў:
Д у = cos (х + Д х) — cos х = cos х • cos Д х —
— sin X • sin Д X — COS X = — sin X • sin Д X — cos X (1 — cos A x) =
Адсюль
Ay Д x
але
= — sin x sin Д x — 2 cos x sin3
— sin X
sin Д x A x
. 2 /
lim a x.o
sin A x
Ax
1,
Таму
(cos x)' = lim =» — sin x • 1 — 2 cos x • 0 = — sin л дхоД*
Тэарэма даказана.
Прыклады.
1) Знайсці вытворную функцыі у = a sin х + b cos х.
Маем:
у' •= (a sin х + & cos х)' = a (sin х)' + b (cos х)' = a cos х — b sin X.
2) Знайсці вытворную функцыі у = х sin х.
Па правілу дыфгрэнцыравання здабытку дзвюх функцый атрымліваем:
у' = (х sin х)' = х' sin X + х (sin х)' = sin X + х cos X.
Скарыстоўваючы правіла дыферэнцыравання дробу, лёгка знайсці вытворныя функцый tgx пры х ^^+ nit 1 ctgx пры х =/> nit. Сапраўды, sin х \ __________________________(sin х)' cos х — sin х (cos х)' _ cos X /___________________________cos2 X
(tgx)' = (
cos X • cos X — sin X (— sin x) COS2 X + sin2 X 1
COS2 X COS2 X cos2 X ’
549
(cos x)' sin X — COS x (sin x)' sin2 X
— sin X • sin X — COS % • COS X _ sin3 X + COS2 X 1
sin2 x sin2 x sin2 X '
Такім чынам, (tex)'=7i (x4 + ”)
(с‘ел)'=Ж (х^п’сх
Практыкаванні
1797. Напісаць ураўнснне датычнай да сінусоіды y = sinx у пункце з абсцысай:
а) х = 0; б) х = ^; в) х = | ; г) х = ^; д) х = к
1798. Напісаць ураўненне датычнай да касінусоіды y = cosx у пункце з абсцысай:
а)х = 0; б)х=у; в)х=ул; г) х=^; д) х = я.
Знайсці вытворныя наступных функцый:
1799 у = 3 sin х + 2 cosx. 1810. y = (1 — 2 sin x) (1 — 3 cos x).
1800. у = 4 sin х — 5 cos х. 1811. y = sin 2x.
1801. у = — sin х + 7 cos х. 1812. y = cos 2x.
1813. y = (a \ bx) sin x + (c\dx) cos x.
1802. у = — 6 sin х — 9 cos х. 1854. sin X
КНІГІ ОНЛАЙН
