Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
8) Відавочна, што паміж любымі двума суседнімі нулямі функцыя /(х) захоўвае свой знак пастаянным*. Так, пры — 3 < х < — 1 яна набывае абэ толькі дадатныя, або толькі адмоўныя значэнні. Каб высветліць, якія іменна (па знаку) значэнні набывае наша функцыя пры — 3<х< —1, дастатковз вызначыць яе знак у якімнебудзь адным пункце гэтага інтэрвалу. ’у дадзеным выпадку зручна выбраць х = — ) 5 — пункт лакальнага мінімуму. У ім, як ба ло паказана вышэй, функцыя набывае значэнне, роўнае—16. Таму ўсюды ў інтэрвале — 3 < х < — 1 наша функцыя набывае адмоўныя значэнні.
Аналагічна можна ўстанавіць (зрабіце гэта самастойна!), што пры — 1<х< 1 наша функцыя набывае дадатныя значэнні, а пры 1 < х < 3 — адмоўныя значэнні Што датычыйца значэнняў функцыі пры | х | > 3, то ўсе яны будуць дадатнымі
9) Пры неабмежаваным узрастанні х (х ^ оо) і неабмежаваным убыванні значэнні функцыі //= х4 10х2 49 неабмежавана ўзрастаюць (,/ оо). іэты факт з’яўляецца відавочным, паколькі з ростам х велічыня х' расце больш хутка, чым 10х2. Магчыма і такое тлумачэнне:
х4 — 10х2 4 9 = (х2 — 1) (х2 —9).
Калі х ооабо х^ оо, то кожны з сумножнікаў х21 і х2—9 неабмежавана расце. Іаму неабмежавана расце і іх здабытак.
10) Цяпер няцяжка вызначыць вобласць змянення даследуемай функцыі. Мінімальнае_значэнне, роўнае — 16, функцыя набывае ў двух пунктах: х = —Х~5 ’ х = ^ 5. Максімальнага значэння яна не мае: пры неабмежаваным росце х (па абсалютнан велічыні) неабмежавана растуць і значэнні функцыі TaMv вобласць змянення функцыі у = х< — 10х2 49 вызначаецца няроўнасцю —16
I рафік функцыі у = х' — 10х2 4 9 дадзены на рысунку 324, в
Практыкаваяні
Даследаваць дадзгныя функцыі і 1924. у = х'— 2х2 — 3.
1925. У =^(х* 13х2 4 36).
1926. у = х3 — 9х.
1927. г/ = х3 — Зх2 4 2.
пабудаваць іх графікі:
1928. у = ~ х 4 sin х.
1929. у = Y 3 cos х — 2х.
1930*. y=sin2 х 4 2 cos х j L,
* Гэта «відавочнае» сцвгрджанне можа быць даказана і зусім стоога доказ выходзіць за межы нашай праграмы.
Аднак
567
§ 240. Прымяненне вытворнай да графічнага рашэння ўраўненняў
Пытанне аб прымяненні вытворнай да графічнага рашэння ўраўненняў мы
разгледзім на прыкладзе ўраўнення sin х = х.
Для рашэння гэтага ўраўнення на адным і тым жа чарцяжы пабудуем графікі функцый у = sin х і у ~ х (рыс. 325). Гэтыя графікі перасякаюцца ў пункце з абсцысай х = 0. Таму х = 0 ёсць корань дадзенага ўраўнення.
Ці можам мы быць упэўнены, што іншых кораняў гэтага ўраўнення не існуе? Магчыма, паблізу пункта х = 0 ёсць яшчэ якінебудзь пункт перасячэння графі
каў, які мы проста не заўважаем? Нельга ж, напрыклад, пры выбраным на рысунку 325 маштабе графіч
Рыс. 325.
вугла х cosx < 1. Таму
на пераканацца, што 0,01 — не корань ураўнення sin х = х. Апрача таго, калі мы паглядзім у трыганаметрычныя табліцы, то заўважым, што sin 0,01 «0,01; sin 0,02 as 0,02; sin 0,03 as 0,03... . Так што пакуль у нас няма ніякіх падстаў лічыць, што х = 0 — адзіны корань ураўнення sin х = х.
Каб разабрацца ў дадзеным пытанні, заўважым, што (sin х)'= cos х, W'= 1. Для любога вострага
л
на ўчастку 0 < х < — скорасць змянення функцыі
у = х больш скорасці змянення функцыі у = sin х. Алз ў такім выпадку пры 0 < х < _|_ функцыя у = х будзе заўсёды «апераджаць» функцыю у = sin х. Значыць, ніякі лік з інтэрвалу 0 < х < Д не можа служыць коранем ураў
нення sin х — х. Тым больш не можа быць коранем ураўнення і х > у, паколькі sinx < 1. Такім чынам, дадзенае ўраўненне не мае дадатных кораняў.
Калі б існаваў адмоўны корань гэтага ўраўнення — а, то мы мелі б sin (—а)= = — а, адкуль sin a = а. Але гэта азначала б, што ўраўненне sin х = х мае дадатны ’корань х = а. Атрымана супярэчнасць. Значыць, ураўненне sin х = х не можа мець адмоўных кораняў. Застаецца прызнаць, што лік х = 0 з’яўляецца адзіным коранем гэтага ўраўнення.
Практыкаванні
1931. Даказань, што адзіным коранем ураўнення cos х =^х з’яўляецца
Рашыць графічна ўраўненні: 1932. sin х = — х — п.
3 1933. cos х = х— я.
§ 241. Гістарычныя заўвагі
Той раздзел матэматыкі, які вывучае вытворныя функцый і іх ужыванне, называецца дыферэчцыяльным злічэннем. Гэта злічэнне ўзнікла з рашэння задач на правядзенне датычных да крывых, на вылічэнне скорасці руху, на адшуканне найбольшых і найменшых значэнняў функцый.
Асобныя рэзультаты ў дыферэнцыяльным злічэнні былі атрыманы ўжо дауно. Аднак дя канца XVII стагоддзя не ўдавалася вылучыць асноўныя паняцці, якія
568
ляжалі ў аснове дадзенага пытання. Таму, хаця падстаза для стварэння новага злічэння была падрыхтавана, злічэння па сутнасці яшчэ не было.
У сістэматычнай форме дыферэнцыяльнае злічэнне ўпершыню было выкладзена парознаму і незалгжна адзін ад другога Ньютанам і Лейбніцам. Ныотан выклаў свае погляды на новае злічэнне ў працы «Метад флюксій і бесканечных радоў». Гэты трактат быў складзены каля 1671 г„ але выйшаў у свет толькі ў 1736 г. — ужо пасля смерці аўтара. Першая друкаваная работа Лейбніца па дыферэнцыяльнаму злічэнню належыць да 1684 г.
Аўтарам першага курса па дыферэнцыяльнаму злічэнню быў прадстаўнік школы Лейбніца французскі матэматык Лапіталь (1661 — 1704) Гэты курс пад назвай «Аналіз бесканечна малых» выйшаў у свет у 1696 г.
Сучаснай трактоўцы дыферэнцыяльнага злічэння паклаў пачатак К а ш ы.
Тэрмін «вытворная» быў уведзены французскім матэматыкам Лагранжам
Задачы на паўтарэнне
1934. Знайсці значэнпі вытворнай ад функцыі у = — х4 — 4х® + 16 у пунктах х = 0 і х = 2.
1935. Знайсці значэнні вытворнай ад функцыі і/ = (Зх 4 5) (2х2 — 1) v bvhk тах х = — 1 і х = 0. / J ?
1936. Знайсці значэнні другой вытворнай ад функцыі р = 5 sin х — 3 cos х у пунктах * = 3 і * =
1937. Пункт рухаецца згодна з заковам s(f) = t3 (s — шлях у метрах t — час у секундах). У які момант часу яго імгненная скорасць роўна сярэдняй ско расці руху ў інтэрвале ад tx = 13 сек да /2 = 46 сек?
1938. Пункт рухаецца згодна з законам s (/) = 15 — (5 — /) (3 — /) да таго часу, пакуль яго скорасць не ператворыцца ў нуль. Які шлях пройдзе поы гэТЫМ пункт? Н
1939. Адзін пункт рухаецца згодна з законам Sj (/) = 13/ 4/2 а другі — згодна з законам s2 (/) = З/2 + t, дзе s2 і s2 — даўжыні шляхоў у метрах I час у секундах. Знайсці скорасці рухаў пунктаў у той момант, калі шляхі іх роуныя
1940. Знайсці ўраўненне датычнай да крывой у = Зх3 + 2х + 5 v пункве перасячэння гэтай крывой з воссю ардынат. J J
1941. Знайсці ўраўненне датычнай да крывой і/= 8х3 — 1 у пункце пеоася чэння гэтай крывой з воссю абсцыс. J F
1942. Які вугал утвараецца пры перасячэнні прэмой х = A я 8 сінусоідай у = sin х?
1943. Якія вуглы ўтвараюцца пры перасячэнні прамой р = — 3 касінусоідай р = cos х ?
1944. Знайсці каардынаты вяршынь парабал:
а) 3№ — 6х + 7 = 0;
б) 2х2 + 8х — 3 = 0.
(х 3
—
3 х
12
I знайсці той член, які змяшчае х4.
1946. Даказаць тоеснасць 1 + С^ + С2п + ... + С" = 2«. (У к а з а н н е.
У формуле бінома Ньютана лічыць, што а = 5=1.)
1947. Колькі рацыянальных членаў змяшчае раскладанне ()У~ 2|“ У З)100?
Даследаваць функцыі і пабудаваць іх графікі (1948—1955):
1948. »/ = — х4 — ух2 + 9. 1949. у = 2х2хі^ 1.
569
1950. у — х — х3.
1951. у = х + sin х.
1952. у = sin2
1953*. у = 0,5х2 + cos х.
1954. у = sin х (1 4 cos х).
1955*. (/ = 4 cos2x — 4/ 3 sin х + 5.
1956. Вядома, шго трываласць бэлькі з прамавугольным сячэннем прама прапарцыянальна шырыні і квадрату даўжыні сячэння. Знайсці размеры сячэння бэлькі найбольшай трываласці, якую можна выпілаваць з круглага бервяна, што мае дыяметр d сантыметраў.
Знайсці вытворныя наступных функцый (№ 1957—1963):
1957. у = a
э 2х 4 5
1958. ^ = / 3 — х.
1959. у = (х 3)’ + (х_ ў
I960, у = sin2 2х + cos ^.
1961. у = (х2 4 1) cos х — (х2 — 1) sin х.
1962. у = —.
tg X + ctg X
1963. у = sin4 х 4 cos1 х.
1964. Даказаць, што крывыя р = cos2 х 4sin 2х і у = — 5х2 4 2х 4 1 датыкаюцца адна да другой у пункце х = 0.
1965. У шар радыуса г упісаць цыліндр найбольшага аб’ёму. Чаму. роўны гэты аб’ём?
1966*. Даказаць, што бінаміяльныя каэфіцыенты — лікі цэлыя.
Р а з д з е л XI
КАМПЛЕКСНЫЯ ЛІКІ
§ 242. Лікавыя палі
Паняцце ліку прайшло доўгі шлях гістарычнага развіцця. У раздзеле II мы расказалі аб тым, як ад найпрасцейшых натуральных лікаў чалавек прыйшоў да больш складаных, сапраўдных лікаў. Цяпер мы хочам вярнуцца да разгляду гэтага пытання. Але пры гэтым нам давядзецца некалькі адступіць ад гэтага парадку, у якім гістарычна развівалася паняцце ліку.
Адным з найпрасцейшых лікавых мностваў з’яўляецца мноства натуральных лікаў
1, 2, 3, 4, 5, ...
У ім заўсёды выканальны два асноўныя алгебраічныя дзеянні: складанне і множанне. Гэта азначае, што якімі б ні былі натуральныя лікі т і п, сума іх т+п, а таксама здабытак тп з’яўляюцца абавязкова натуральнымі лікамі. Пры гэтым выканальны наступныя пяць законаў:
1) камутатыўны закон складання т~\п—п}т\
2) асацыятыўны закон складання
(т+п) +^=m+ (n+k);
3) камутатыўны закон множання тп=пт;
4) асацыятыўны закон множання
(тп) k=m (nk);
5) дыстрыбутыўны закон множання адносна складання (т]п) k—mk^nk.
Што датычыцца адымання і дзялення, то гэтыя два дзеянні над натуральнымі лікамі выканальны не заўсёды. Так, ні адну
571
з рознасцей 3—5 і 2—2, а таксама ні адну з дзелей 3:5 і 7:4 нельга выразіць ніякімі натуральнымі лікамі.
Каб дзеянне адымання было выканальным заўсёды, мноства натуральных лікаў трэба пашырыць шляхам далучэння да яго ўсіх адмоўных цэлых лікаў і нуля. У выніку такога пашырэння мы прыходзім да мноства ўсіх цэлых лікаў:
_3( _2, 1, 0, 1, 2, 3 ...
Лікавае мноства, у якім заўсёды выконваецца складанне і множанне, падпарадкаванае прыведзеным вышэй пяці законам, называецца кольцам. Такім чынам, мносшва ўсіх цэлых лікаў утварае кольца.
Пашырыўшы мноства ўсіх натуральных лікаў да мноства ўсіх цэлых лікаў, мы дабіліся тым самым, што дзеянне адымання стала выканальным заўсёды. Але дзяленне паранейшаму засталося, наогул кажучы, невыканальным. Каб ліквідаваць гэты недахо'п, трэба мноства ўсіх цэлых лікаў таксама пашырыць. Зрабіць гэта можна шляхам далучэння да яго ўсіх звычайных дрот .
баў, гэта значыць лікаў выгляду —, дзе т I п — адвольныя цэлыя лікі і «У=0. У выніку такога расшырэння мы атрьшліваем мноства ўсіх рацыянальных лікаў. Як было паказана ў другім раздзеле, у гэтым лікавым мностве заўсёды выканальны дзеянні складання, множання, адымання і дзялення (акрамя дзялення на нуль), прычым першыя два з іх падпарадкаваны пяці асноўным законам складання і множання.
КНІГІ ОНЛАЙН
