Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
1803. y = sin2 X X
1804. y = cos2 X. 1815. y = sin2 X + cos2 X.
1805. y = sin X COS X. 1816. y = Y x sin X.
1806 y — x2 sin X. 1817 3 cos x
y = —7—■
V X
1807. У = X2 COS X.
1818. y = sin X 4 — .
1808* . y = cos2 ^. ’ 2 4 /
1809. y = (5x 4~ sin x) (x2 — cos x). 1819. y = cos ^X yj.
§ 230. Дыферэнцыраванне функцыі f(ax + b)
У матэматыцы часта прыходзінца мець справу з выразамі выгляду f(ax\b), дзг / (х) — некаторая зададзеная функцыя. Так, пры вывучэнні гарманічных ваганняў разглядаюцца функцыі тыпу sin (ш х + 5). Пры рашэнні розных задач часта сустракаюцца выразы выгляду 1g (ах + Ь), (х + а)п і г. д. Вялікі інтарэс уяўляе пытанііе аб дыферэнцыраванні падобных функцый.
Няхай f (х) — некаторая функцыя, для якой мы можам зпайсці вытворную. Як у такім выпадку знайсці вытворную функцыі <р (х), якая выражаецца праз f (х) наступным чынам:
¥ (х) = f(ax + b)?
550
Згодна з азначэннем вытворнай
, ла = lim LW_MzzlW = |im f[a(x\~ Ax) + b]f(ax + b)
Дх0 А% Д х0 A *
= Нт f[(ax\b) + a ^ A x]f(ax + b)
Д х0 ^ *
Абазначыўшы ax \ b праз у, атрымаем:
Y Дх0 Л*
Памножым лічнік і назоўнік гэтага выразу на лік а:
, . . । ■ f (У + a х) — f (у)
? W = 11 А «А ~ • а
д х0 a х
Абазначыўшы цяпер аАх праз h, атрымаем:
(Х) = Нт ш^ш
h
• а.
(Паколькі Д х * 0, to і ft = а Д х * 0.)
Але
Л .oL h
Таму
?' W = af (У)
Успамінаючы, што у = ах \ Ь, атрымліваем канчатковаі
f W = af (ах + Ь).
Такім чынам,
[/(м + W = af (ax + ft). (1)
Лік a ёсць вытворная функцыі ах\Ь. Таму роўнасць (1) можна сфармуляваць такім чынам.
Для знаходжання вытворнай выразу f(ax^b) дастаткова прадыферэнцыраваць яго па правілу дыферэнцыравання выразу f(x) (з заменай у канчатковым выразе х ш ax + b) і рэзультат памножыць на вытворную вьіразу ax + b (гэта значыць на лік а).
Прыклады.
1) [(2х + I)1»]' = 10 (2х + 1)’ ■ (2х + 1)' = 10 (2х + 1)’ • 2 = 20 (2х + 1)’;
2) (sin Зх)' = cos Зх • (Зх)' = 3 cos 3 х;
Практыкаванні
Знайсці вытворныя наступных функцый:
1820. у = (2х ( З)6. 1823. у = sin 4х.
1821. у = (х + 7)«. 1824. у = sin ^.
1822. у = {\ — 5х)7. 1825. у = cos 6х.
551
1826. у = sin (2х — 3). 1830. у = 3х sin 2х.
1827. / 7С 1 1831. у = 3(х5)3 + 2(1 х)4
у = COS 1 — Х\. 1832. у — Зх sin 2х + 2х cos Зх.
1828. у= A sin (ы х + то
, (ах2 \ a _
У' = I — / = Т <х ) = у '2х = азс'
у” = (ах)' = а.
Другая вытворная у" функцыі у, таксама як і першая яе вытворная у', дапускае простую фізічную інтэрпрэтацыю. Будучы вытворнай ад першай вытворнай у', яна характарызуе скорасць змянення гэтай вытворнай. Першая ж вытворная у' характарызуе скорасць змянення функцыі у. Такім чынам, у" характарызуе «скорасць змянення скорасці змянення» функцыі у. 3 падобным паняццем мы ўжо сустракаліся ў фізіцы. Вывучаючы роўнапаскораны рух, мы ўводзілі паняцце п а с к арэння як змянення скорасці руху ў адзінку часу. Гэта паняцце якраз і характарызуе скорасць змянення скорасці руху. Таму, скарыстоўваючы мову механікі, можна сказаць, што другая вытворная у” функцыі у ёсць паскарэнне, з якім функцыя у = f (х) змяняе свае значэнні пры змяненні значэнняў аргумента х.
Трэцяя вытворная функцыі у = f (х) ёсць вытворная ад другой вытворнай гэтай функцыі. Яна абазначаецца у'" або f" (х); у'" = (у")'; f"' (х) = [f" (х)]'. Аналагічна чацвёртая вытворная функцыі у = f (х) (абазначаецца у^ або /,v (х)) ёснь вытворная ад яе трэцяй вытворнай і г. д.
пя вытворная функцыі f (х) інакш называецца вытворнай пга парадку (абазначаецца fn (х)). Напрыклад, трэцяя вытворная інакш называецца вытворнай трэцяга парадку, чацвёртая вытворная — вытворнай чацвёртага парадку і г. д.
П р ы к л а д ы.
1) Для функцыі р = х2 | х + 1 маем:
у' = 2х + 1;
у" = 2;
У'" = 0;
i/iv =о.
552
Відавочна, што ўсе вытворныя дадзенай функцыі, пачынаючы з трэцяй, роўны нулю.
2) Для функцыі у = sin х:
у' = cos х;
у" = — sin х;
у'" = — cos х;
j/iv = — (— sin х) = sin х;
yV = cos х і г. Д.
Практыкаванні
1836. Знайсці паскарэнне цела, якое рухаецца па закону s (t) = 2Z3+5Z2+4Z (s —шлях y метрах, Z — час y мінутах), y момант часу:
a) Z = 40 сек', 6) Z = 1 гадз.
1837. Знайсці паскарэнне цела, якое рухаецца па закону з = У t (s—шлях у метрах, Z — час у мінутах), у адвольны момант часу Z.
Для дадзеных функцый знайсці вытворныя ўсіх парадкаў:
1838. у = (х + 2)3. 1841. # = Xs + 4х® — 7№.
1839. у = (2х — I)3. 1842. у = cos х.
1840. у = х2 — х — 1. 1843. у = (1 + х)10°.
1844. Даказаць, што для функцыі у = a sinx + b cos x справядліва суадно
сіна yiv = у.
1845. Колькі разоў трэба прадыферэнцыраваць функцыю (/ = (х’ + I)100, каб у выніку атрымаўся мнагачлен 50й ступені?
1846*. Знайсці вытворную 100га парадку ад функцыі
у = sin х • cos2 х.
§ 232. Выражэнне каэфіцыентаў мнагачлена праз значэнні яго вытворных
Няхай
Р W = Яо + O1X + а2х2 + а3<’ + а^* + • • • + anxn. (1)
Тады
Р' (х) = 1 • Оі + 2аах + Зо3х2 + 4а4х3 +... | nanxn~b, (2)
Р" (х) = 2 • 1 • а2 | 3 • 2а3х + 4 • Зо4х2 + •.. + «(« — 1) апхп~2; (3)
Р'" (х) = 3 • 2 • 1 • о3 4 4 • 3 • 2о4х + ... + « (га — 1) (п — 2) апхп~3 (4)
і г. д.
Дапускаючы ў формулах (1), (2), (3) і (4) х = 0, атрымліваем: Р(0) = ^ Р' (0) = 1 ■ av Р" (0) = 1 2о2,
Р'" (0) = 1 • 2 • За3> адкуль
а0 = Р (0),
Р" (0) °2 ~ 1 . 2 ’
Р'" (0) °3 — 1 . 2 ■ 3’
553
Працягваючы гэты працэс далей, мы атрымалі б:
„ _ flv (0)
4 1 • 2 ■ 3 • 4’
а PV (°) 5 1 • 2 • 3 • 4 • 5
і г. д. Відавочна, што для любога натуральнага k
Р^ (0)
~ 1 • 2 ■ 3 • • • 6' <5)
дзг Р^ (0) — значэнне & й вытворнай мнагачлзна Р (х) пры х = 0.
Здабытак 1 • 2 • 3... & прынята абэзначаць сімвалзм k'. (чытаецца: ка фактарыял). Таму формулу (5) можна перапісаць у выглядзе
Гэта фррмула будзе правільная і пры 4 = 0, калі пад выразам Р^ (х) (нулявой вытворнай функцыі Р (х)) падразумяваць проста функцыю Р (х) і лічыць, што 01 = 1.
Формула (6) выражае каэфіцыент мнагачлана Р (х) пры х^ праз значзнне feй вытворнай гэтага мнагачлена ў нулі.
Растлумачым гэту формулу на некаторых прыкладах.
Прыклад 1. Знайсці каэфіцыент мнагачлгна (х 4 I)10 пры №.
Маем:
Р (X) = (х 4 I)1»;
Р' (х) = 10 (х + 1)’;
Р" (х) = 10 • 9 (х 4 1)’;
Р"' (х) = 10 • 9 • 8 (х + 1)?
Таму Р" (0) = 10 ■ 9 • 8 • I7 = 720. Па формулг (6) атрымаем:
^"(0) 720
3! 123
Такім чынам, каэфіцыент мнагачлена (х + I)10 пры х’ роўны 120. Прыклад 2. Знайсці каэфіцыент мнагачлгна (Зх — 1)’ пры х2. Маем:
Р (х) = (Зх — I)»;
Р' (х) = 9 (Зх — I)8 • 3 = 27 (Зх — I)8;
Р" (х) = 278 (Зх — I)7 3 = 648 (Зх I)7.
Таму шукаемы каэфіцыент роўны:
Р" (0) _ 648 • (1)7 _ _
2! 1 • 2 d
Практыкаванні
У задачах № 1847—1851 знайсці каэфіцыенты дадзеных мнагачленаў пры дадзеных ступенях х:
1847. Р (х) = (х 4 2)10 пры х3.
1848. Р (х) = (1 — х)40 пры х2.
1849. Р (х) = (2 — х)25 пры х3.
1850. Р (х) = (хф а)9 пры х4.
1851. Р (х) = (х 4 1)" пры х5.
1852. Вызначыць ступень мнагачлгна Р (х) = (х 4 2)л, калі яго каэфіцыент пры х! роўны 24.
554
§ 233. Формула бінома Ньютана
Да гэтага часу нам былі вядомы формулы для другой і трэцяй ступені двухчлена а\ Ь'.
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + 62;
(а + Ь)3 = а3 + ЗіРЬ + ЗаЬ2 + Ь3.
У гэтым параграфе мы атрымаем формулу для ступені (а + Ь)п з адвольным натуральным паказчыкам п. Для гэтага разгледзім мнагачлен ступені п:
Р (х) = (х + а)п, дзе a — некаторы зададзены лік.
Свабодны член гэтага мнагачлена роўны Р (0) = ап. Для знаходжання каэфіцыентаў пры ступенях х скарыстаем формулу (6) папярэдняга параграфа. Згодна з гэтай формулай каэфіцыент пры хк роўны ———, дзе Р^ (0) — значэнне Ай вытворнай мнагачлена Р (х) пры х = 0. Зночдзем гэта значэнне. Маем:
р (х) = (х + °)4;
Р' (х) = п (хф а)п~\
Р" (х) = п(п—і)(х + а)п~2\
Р'" (х) = п(п—1)(п —2) (х + а)п~3
і г. д. Відавочна, што kя вытворная мнагачлена Р (х) роўна
Pw (х) = п(п 1)(п —2)... (n — k+ 1)(х + а)п~к.
Таму
Р^ (0) = п (п — 1) (п 2)... (п k + 1) an~h.
Значыць, каэфіцыент мнагачлена Р (х) пры хк роўны:
Р^ (о) _ п (п 1) (п 2)... (п k + 1)
A! *1 а '
Выраз
п (п — 1) (п — 2)... (п — k 1)
прынята абазначаць Скп (чытаецца: цэ з эн па ка). Таму каэфіцыент мнагачлена Р (х) пры хк роўны Скпап~~к. Напрьжлад, каэфіцыент пры х роўвы С1ап—\ каэфіцыент пры х2 роўны С^о"2 і г. д. Але ў такім выпадку гэты мнагачлен можна даць у выглядзе:
(х + а)п = а" + С\ап~хх\ С^ап2х2 + ... + С^'ах"1 + С"хл.
Няхай у гэтай формуле х = Ь, тады атрымаем:
(а + Ь)п = ап + С^а^Ь + С^ап~2Ь2 + ... + Cn~xabn~x + C”&n. (1)
Адзначым, што (k + 1)е па падліку складаемае ў раскладанні (а + Ь)п мае выгляд:
С*ап~кЬк (0 < Н п).
555
Формула (1) называецца формулай бінома* Ньютана, а каэфіцыенты
1, С", С", ..., С/1 С", што ўдзельнічаюць у ёй, — бінаміяльнымі каэфіцыентамі. П р ы к л а д.
(a + b)* = a4 + C\a>b + C^b2 + С\аЬ2 + С’М,
Але
4 _ 4 • 3 • 2 • 1 _
4 ~ 1 •234 ~ L
Таму
(а + 5)4 = а4 + 4а3& + 6а2Ь2 ф 4а&8 + №.
Практыкаванні
1853, Вылічыць: «™
а) (% б) С|; в) С|; г) С«; д) С?о; е) C®.
1854. Зыходзячы з формулы бінома Ныотана, атрымаць формулы для кубаў сумы і рознасці двух лікаў.
1855. Вылічыць па формуле бінома Ньютана:
а) (/Т /р4;
б) (/б + /2)4;
в) (/£/£/
г) (/10/2 )5.
1856. Вызначыць ступень бінома (За — 2)л, калі вядома, што каэфіцыент пры а2 у раскладанні гэтага бінома роўны 216.
1857. Даказаць роўнасці:
а) С^ = С‘ = л;
Ф сГ2 сп
п(п — 1) 2
1858. Даказаць тоеснасць:
n~k.
Сп Сп^+Т^
1859*. Даказаць, што лік II10—1 дзеліцца на 100.
§ 234. Аб адной уласцівасці бінаміяльных каэфіцыентаў
Згодна з азначэннем,
_ n(n — l)(n — 2').,.(n — k+V)
« “ 1 • 2 • 3 A
КНІГІ ОНЛАЙН
