Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Шлях, які праходзіць цела пры раўнамерным руху па прамой у адзінку часу, называецца скорасцю гэтага руху.
На практыцы мы часта маем справу з нераўнамерным рухам. Поезд, які адыходзіць ад станцыі, спачатку толькі «набірае скорасць». За другую мінуту свайго руху ён праходзіць шлях, большы, чым за першую, за трэцюю мінуту —• шлях, большы, чым за другую, і г. д. Набраўшы пэўную скорасць, ён ідзе раўнамерна, праходзячы за кожную мінуту шляхі аднолькавай даўжыні. Пры набліжэнні да месца прызначэння поезд пачынае зніжаць скорасць, праходзячы за кожную мінуту шлях, меншы, чым за папярэднюю мінуту. Тое ж самае можна сказаць аб аўтамабілі, параходзе і г. д.
У розныя, але роўныя па велічыні інтэрвалы часу цела, якое знаходзіцца ў нераўнамерным руху, можа праходзіць шляхі рознай даўжыні. Таму нераўнамерны рух (у адрозненне ад раўнамернага) нельга цалкам ахарактарызаваць даўжынёй шляху, пройдзенага ў якуіонебудзь адзінку часу.
Часта нераўнамерны рух характарызуецца сярэдняй скорасцю за пэўны прамежак часу.
Сярэдняй скорасцю руху за час t называецца адносіна даўжыні s шляху, пройдзенага целам за час t, да гэтага часу:
_ s ^сярадн. ~
Для раўнамернага руху сярэдняя скорасць на любым участку шляху супадае са скорасцю руху. Сярэдняй скорасцю звычайна характарызуецца рух паяздоў. Напрыклад, экспрэс Масква — Ленінград (адлегласць 650 км) знаходзіцца ў дарозе 6 гадзін, і таму мы гаворым, што яго сярэдняя скорасць роўна:
650 ~ км \
гсярэдн. — 6 « гадз
Аднак гэта не азначае, што за кожную гадзіну экспрэс праходзіць 108 км. Напрыклад, за першую гадзіну' руху, ка.ті поезд «набірае скорасць», ён прахо
532
дзіць усяго толькі 80—90 ы. У наступны час пройдзены шлях складае прыкладна 130 км. У Балагом экспрэс робіць прыпынак, і таму ў тую гадзіну, на якую прыпадае гэты прыпынак, экспрэс праходзіць шлях яшчэ меншы, чым 80 — 90 км.
3 гэтага прыкладу відаць, што сярэдняя скорасць не можа з’яўляцца поўнай характарыстыкай нераўнамернага руху.
Практыкаванні
1739. На рысунку 308 дадзен графік руху поезда. На якіх участках поезд ішоў раўнамерна і на якіх нераўнамерна? Калі ён рабіў прыпынак і на колькі мінут? Знайсці сярэднюю скорасць поезда за першыя 4 гадзіны.
3 якой сярэдняй скорасцю ішоў поезд на працягу чацвёртай гадзіны руху?
1740. У інтэрвале часу (0, ^) км поезд ішоў са скорасцю vt У інтэрвале часу (^, /2) — са скорасцю км , „ ,.
°2 ~гадз’ У інтэРвале часУ V* ^ ~
км .
са скорасцю о3 1 г. Д> на
рэшце, у інтэрвале часу (tn^v tn) — са скорасцю vn^^ Чаму роўна сярэдняя скорасць руху поезда ў інтэрвале часу (0, tn)?
§ 218. Закон руху. Імгненная скорасць руху
Да больш поўнай характарыстыкі руху можна прыйсці наступным чынам. Час руху цела разаб’ём на некалькі асобных прамежкаў (^, /2), (/2, /3) і г. д. (не абавязкова роўных, гл. рыс. 309) і на кожным з іх зададзім сярэднюю скорасць руху. Гэтыя сярэднія скорасці, безумоўна, будуць больш поўна характарызаваць рух на ўсім участку, чым сярэдняя скорасць за ўвесь час руху. Аднак яны не дадуць адказу на такое, напрыклад, пытанне: у які момант часу ў інтэрвале ад ti да /2 (рыс. 309) поезд ішоў хутчэй: у момант /, або ў момант /'?
Сярэдняя скорасць тым паўней характарызуе рух, чым карацей участкі іпляху, на якіх яна вызначана. Таму адзін з магчымых спосабаў апісання нераўнамернага руху складаецца ў задаванні сярэдніх скорасцей гэтага руху на ўсё больш і больш малых участках шляху.
Дапусцім, што зададзена функцыя s(/), якая паказвае шлях, што праходзіць цела, рухаючыся прамалінейна ў адным і тым жа напрамку, за час t ад пачатку руху. Гэта функцыя вызначае закон руху цела. Напрыклад, раўнамерны рух адбываецца па закону
s(f) = vt, дзе v — скорасць руху; свабоднае падзенне цел адбываецца па закону
дзе g — паскарэнне свабодна падаючага цела, і г. д.
533
Разгледзім шлях, пройдзены целам, якое рухаецца па некатораму закону s (/), за час ад / да / + т. К моманту часу / цела пройдзе шлях s (t), а к моманту часу t +1 — шлях s (/ + т). Таму за час ад / да / + т яно пройдзе шлях, роўны s (/ + т) — s (t). Падзяліўшы гэты шлях на час руху т, мы атрымаем сярэднюю скорасць руху за час ад / да / + т:
= ^сярэдн. х
Прэдзел гэтай скорасці пры т * 0 (калі толькі ён існуе) называецца імгненнай скорасцю руху ў момант часу t:
u(/) = iim^+jbiiw..
т0 *
Імгненнай скорасцю руху ў момант часу t называецца прэдзел сярэдняй скорасці руху за час ад t da / + т, калі х імкнецца да нуля.
'і '■2 _____ Разгледзім два прыклады.
• 1 1 ? 1 ~ П р ы к л а д 1. Раўнамерны рух па н ^2 прамой.
У гэтым выпадку s (/) = vt, дзе v —
Рыс. 309. скорасць руху. Знойдзем імгненную ско
расць гэтага руху. Для гэтага папярэдне трэба знайсці сярэднюю скорасць у інтэрвале часу ад / да / + т. Але для раўнамернага руху сярэдняя скорасць на любым участку супадае са скорасшо руху V. Таму імгненная скорасць v (t) будзе роўна:
v (t) = lim v = v.
10
Значыць, для раўнамернага руху імгненная скорасць (як і сярэдняя скораснь на любым участку шляху) супадае са скорасцю руху.
Да такога ж выніку, безумоўна, можна было б прыйсці і фармальна, эыходзячы з роўнасці (1).
Сапраўды,
... .. s(/ + t) —s(/) .. v(t + x) — vt
v (t) = lim ——*— — = lim ———=
t0 x t0 x
= lim= lim v = v.
t0 x 10
П p ы к л a д 2. Роўнапаскораны pyx з нулявой пачатковай скорасцю і паскарэннем а. У гэтым выпадку, як вядома з фізікі, цела рухаецца па закону
«Ю =
at2
“2“
Па формуле (1) атрымліваем, што імгненная скорасць такога руху v(t) роўна: a (/ + т)2 — at2
v (/) = lim ——■——— = lim=
t 0 x 10 x
at2 + 2at x + a x2 — at2 ,. 2aix\ax2
= lim= lims=
,0 2x 10 2x
= lim lol + x) = l0 T'*®
Паколькі at не залежыць ад т, lim at = at. 10
534
Акрамя таго,
a a a
hm т = 11m т = — ■ 0 = 0.
t^o 2 x0 z
Таму v (t) = at f 0 = at.
Такім чынам, імгнгнная скорасць роўнапаскоранага руху ў момант часу t рэўна здабытку паскарэння на час t. У адрозненне ад раўнамернага руху імгнен ная скорасць раўнамерна паскоранага руху мяняецца з цягам часу
Практыкаванні
1741. Пункт рухаецца па закону s (/) = u,4 + — (s — шлях у метрах, t — час у мінутах). Знайсці імгненную скорасць гэтага пункта:
а) у пачатковы момант руху;
б) у момант часу ta.
1742. Знайсці імгненную скорасць пункта, які рухаецца па закону s (f) = t3 (s — шлях y метрах, t — час y мінутах);
a) y пачатковы момант pyxy;
б) праз 10 секунд пасля пачатку руху;
в) у момант / = 5 нін.
1743. Знайсці імгненную скорасць цела, яког рухаецца па закону s (t) =Y~t, у адвольны момант часу t.
§ 219. Вытворная функцыі
На працягу ўсяго школьнага курса алгебры і элемгнтарных функцый мы пашыралі матэматычныя паняцці, паглыблялі іх, даводзячы да больш агульных, больш складаных паняццяў. Тое ж самае нам трэба зрабіць і ў гэтым па раграфе.
Што ўяўляе сабой імгненная скорасць руху, вызначаная ў § 218?
Ёсць некаторая функцыя s (f), якая паказвае шлях, пройдзены целам за час ад 0 да t. Аргументу t даецца некатораг прырашчэнне т, гэта значыць замест значэння t разглядаецца ? + т. Гэтаму прырашчэнню аргумента адпавядае наступнае прырашчэнне функцыі s (t):
S (/ + т) — s (t).
Гэта прырашчэнне функцыі дзеліцца на прырашчэнне аргумента т
(|)
і бярэцца прэдзел пры т ^ 0. Выраз
s (< + *) — s (t) т
можна разглядаць як «сярэднюю скорасць» змянення функцыі s (t) у інтэрвале ад / да / f т, а прэдзел гэтай адносіны пры х > 0 — як імгненную скорасць змянення гэтай функцыі ў момант часу t.
У прыведзеных вышэй разважаннях функцыя s (?) уяўляе сабой шлях, пройдзены целам за час ад 0 да t. Гэта абставіна накладвала на функцыю s (t) пэўныя абмежаванні. У прыватнасці, яна павінна была бынь вызначана толькі для неадмоўных значэнняў аргумента t (бо / —час), прымаць толькі неадмоўныя значэнні (з даўжыня шляху) і быць манатонна узрастаючай (чым большы час. тым большы пройдзены шлях). Цяпер жа мы абагулім нашы вынікі на адволь ныя функцыі, наогул кажучы, ніяк не звязаныя з рухам цел.
535
Няхай f (х) — адвольная функцыя. Пры фіксіраваным значэнні х0 аргумента х гэта функцыя прымае значэнне, роўнае f (х0). Дадзім значэнню х0 прырашчэнпе Д х0*, гэта значыць замест значэння х0 разгледзім значэнне х0 + Ахл. Тады функцыя / (%) прыме значэнне / (х0 + Д х0) і, такі.м чынам, атрымае прырашчэнне А(/о**
△ '/о = / (^О + Д *о) — / W
Адносіна
Ах0 KJ
уяўляе сабой сярэднюю скорасць змянення функцыі / (х) у інтэрвале ад х0 да х0 + Д ^О' Гэта сярэдняя скорасць залежыць, відавочна, як ад х0, так і ад Д х0. Імкнучы цяпер Д х0 да нуля, мы атрымаем імгненную скорасць змянення функцыі f(x) у пункце х = х0:
Iim 4^_=ііт JIMl^oWW
А х„*0 “ *0 Д Хо*О “ *0
(калі, безумоўна, дадзены прэдзел існуе). Для зададзенай функцыі f (х) гэты прэдзел залежыць ад х0 і называецца вытворнай ад функцыі f (х) у пункце х = х0. Кожнаму значэнню х0 адпавядае сваё значэнне імгненнай скорасці змянення функцыі f (х). Таму прэдзел (калі толькі ён існуе)
lim f(*+ д*)~?(х) д х*о д %
які ўяўляе сабой імгненную скорасць змянення функцыі / (х) у адвольным пункце х, можна разглядаць як новую функцыю аргумента х. Гэта новая функцыя называецца вытворнай ад зададзенай функцыі f (х).
Часта ў выразе «вытворная ад функцыі / (х)» слова «ад» апускаюць і гавораць проста «вытворная функцыі / (х)».
У матэматыцы выкарыстоўваецца некалькі абазначэнняў для вытворнай. Мы будзем карыстацца наступнымі абазначэннямі: у' і f' (x):
У' = f W = I'm 44 = lim
Ax0 Ax0
f(x + bx) — f (x) Д x
Разгледзім некалькі прыкладаў,
Прыклад 1. Знайсці вытворную функцыі f (х) = с, дзе с—некаторая канстанта.
Маем: f (х) = с, f (х + Ь х) = с. д
Таму Д у = / (х + Д х) — / (х) = с — с = 0 і, значыць,д4= у^ = 0. Такім
чынам,
у' = lim 4~~ = Um 0 = 0. д х0 ДХ Дх>0
Вытворная канстанты роўна 0.
Прыклад 2. Знайсці вытворную функцыі / (х) = х. Маем:
/ (х) = х, / (х + Д х) = х + Д х.
Таму
Д у = / (х + Д х) — / (х) = (х + Д х) — х = Д х.
* Выраз Д х0 чытаецца: дэльта ікс нуль. Гэта адзін^ непадзгльны выраз. Яго не трэба блытаць са здабыткам Д • х0.
** Д у0 таксама непадзельны выраз. Яго не трэба блытаць са здабыткам ДУо
536
Значыць,
by = Ax
Д x Д x
Адсюль вынікае, што
△ V у' = lim . = lim 1 = 1.
КНІГІ ОНЛАЙН
