Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Калі Т— перыяд функцыі f(x), to 2Т, ЗТ, 4Г і г. д. таксама
перыяды гэтай функцыі.
* Аб дробавай частцы ліку гл. у раздзеле VIII, § 187.
504
Сапраўды,
f(x + 27) = f[(x + 7) + 7] = /(x + 7) = f(x),
f(x + 37) = /[(* + 27) + T] = f(x + 27) = f(x)
i г. д. Акрамя таго, перыядам функцыі f(x) можна лічыць і любы з лікаў: — Т, — 27, — 37 і г. д. На самай справе, /(х7) = /[(х7) + 7] = /(х), f(x2T) = f [(х 27) + 27] = / (х)
і г. д. Такім чынам, калі лік 7 ёсць перыяд функцыі f(x), то пры любым цэлым п лік пТ таксама перыяд
7 гэтай функцыі. Таму ўсякая перыя
дычная функцыя мае бясконцае _______________мноства перыядаў. Напрыклад, пе3______________рыядам функцыі z/ = sin х можна лічыць
любы з лікаў: 2, 4z, 6к, —2, _______________________4іг, а перыядам функцыі у={х}—любы _______________________________________________________ 3 лікаЎ: 1 2, 3, —1, —2, — 3 і г. д.
0 Гаворачы аб перыядзе функцыі у =
= f (^)> звычайна маюць на ўвазе найменшы дадатны перыяд. Так, мы гавоРыс. 284. Рь™ што перыядам функцыі y = sinx
з яўляецца лік 2~, перыядам функцыі y = tg х — лік іг, перыядам функцыі {х} — лік 1 і г. д.
Трэба, аднак, мець на ўвазе, што найменшага дадатнага перыяду ў перыядычнай функцыі можа і не быць. Напрыклад, для функцыі / (х) = 3 (рыс. 284) любы сапраўдны лік з’яўляецца перыядам. Але сярод дадатных сапраўдных лікаў не існуе найменшага. Таму і функцыя f (х) = 3, маючы бясконцае мноства перыядаў, не мае найменшага дадатнага перыяду.
Практыкаванні
Для кожнай з дадзеных функцый (№ меншы дадатны перыяд:
1613—1621) знайсці най
1613. у = sin 2х.
1614. у — cos^. v 2
1615. р = tg Зх.
1616. у = cos(l —2х).
1617. z/ = sin xcosx.
1618. r/ = ctg^
1619. у = sin ^Зх~
1620. р = sin2x.
1621. у = sin4x 4* cos4x.
1о22. Даказаць, што сума і здабытак дзвюх функцый, перыядычных з адным і тым жа перыядам 7, з’яўляюцца функцыямі перыядычнымі з перыядам 7.
505
1623*. Дакажыце, што функцыя y = sinx+{x), якая з’яўляецца сумай дзвюх перыядычных функцый у = sinx і у = {х}, сама не з’яўляецца перыядычнай.
Ці не супярэчыць гэта рэзультату папярэдняй задачы?
1624. Як дабудаваць графік функцыі y = f(x), перыядычнай з перыядам Т, калі ён зададзен толькі ў інтэрвале [0,7]?
§ 208. Адваротныя функцыі
Кожнаму дапушчальнаму значэнню пераменнай велічыні х роўнасць y — f(x) ставіць у адпаведнасць зусім пэўнае значэнне пераменнай велічыні у. Аднак у некаторых выпадках суадносіну У = f(x) можна разглядаць і як такую роўнасць, якая кожнаму дапушчальнаму значэнню пераменнай велічыні у ставіць у адпаведнасць зусім пэўнае значэнне пераменнай велічыні х. Растлумачым гэта на канкрэтных прыкладах.
Прыклад 1. Роўнасць у = 2х—1 кожнаму значэнню у ставіць у адпаведнасць наступнае значэнне х:
Напрыклад, пры ^ = 1 х = 1; пры у — 2 х = 1,5; пры у = 3 х = 2 і г. д. Таму можна сказаць, што роўнасць у — 2х — 1 вызыачае х як некаторую функцыю пераменнай велічыні у. У яўным выглядзе , • • Н 1
гэта функцыя запісваецца такім чынам: х = —•
Прыклад 2. Роўнасць у = 2Х кожнаму дадатнаму значэнню у ставіць у адпаведнасць наступнае значэнне х:
* = log2 У
Напрыклад, пры y = 1 х = log21 = 0; пры у = 2 х — log2 2 = 1; пры у — 3 х = log2 3 і г. д. Значыць, роўнасць у = 2Х вызначае х як некаторую функцыю пераменнай велічыні у. У яўным выглядзе гэта функцыя запісваецца так:
х = log2y.
П р ы к л а д 3. Прыу < х < ^ роўнасць у = sin х ксжнаму значэнню у, змешчанаму ў інтэрвале ад —1 да +1, ставіць у адпаведнасць лік х, роўны arc sin у. Напрыклад, пры у — — 1
1 х = arc sin (— 1) =„; пры у = 0 х = arc sin 0 = 0; пры у = — ~
" г 2
1 it . о
х = arc sin = — 1 г. д. Значыць, роўнасць у = sin х пры да506
даткован умове, што^ <х < у, вызначае х як некаторую функцыю пераменнай велічыні у. У яўным выглядзе гэту функцыю можна запісаць наступным чынам:
х = arc sin у.
Наогул, няхай, зыходзячы з роўнасці y = f(x), па кожнаму дапушчальнаму значэнню велічыні у можна вызначыць адно і т о л ьк і а д н о значэнне велічыні х. Тады гэта роўнасць вызначае х як некатсрую функцыю ад у. Абазначым гэту функцыю літарай ^:
х = ^(у).
У гэтай формуле у выступае у ролі аргумента, а х —у ролі функцыі. Увайшло ў звычай літару х ужываць для абазначэння аргумента, а літару у — для абазначэння функцыі. Таму тую функцыянальную залежнасць, якая абазначана літарай ч>, мы перапішам у выглядзе:
У = ^ (х).
Так, вызначаная функцыя у = ^(х) называецца адваротнай у адносінах да функцыі
У = f(x).
Прыклады. 1) Зыходзячы з роўнасці у = 2х—1, мы атрымалі х — —^—• Таму функцыя у = —— з’яўляецца адваротнай да функцыі у = 2х — 1.
2) Зыходзячы з роўнасці у = 2Г, мы атрымалі х = log2 у. Таму функцыя y = log2x з’яўляецца адваротнай да функцыі у = 2х.
3) Зыходзячы з роўнасці у = sin х пры
2"» мы
атрымалі х — arc sin у. Таму функцыя у = arc sin х з’яўляецца адваротнай да функцыі у = sin х, якая разглядаецца на інтэрва
ле—з <х<т.
Адзначым, што вобласць вызначэння і вобласць змянення функцыі у = f(x) і адваротнай ёй функцыі у =
КНІГІ ОНЛАЙН
