КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

log2x = —.
476
Графікі функцый y=log2x *	уі
у = А (рыс. 262) перасякаюцца ў адным пункце, абсцыса якога знаходзіцца паміж 1 і 2. Таму дадзенае ўраўненне мае адзін корань х0, які больш 1, але менш 2:
Возьмем пункт х=1,5, які з’яўляецца сярэднім пунктам інтэрвалу [1, 2], У гэтым пункце
Рыс. 262.
log2x = log2| = log23 —log22 = |^1.
Выкарыстоўваючы табліцы У. М. Брадзіса, знаходзім, што
logs|^ 0,58.
Пры х = 1,5 —^0,66. Паколькі ў пункце х— 1,5
.	1
bg2*<—,
то шукаемы корань павінен быць большы, чым 1,5 (гл. рыс. 262). Цяпер мы ўпэўнены, што
1,5 < х0 < 2.
«Выпрабуем» пункт х = 1,7 як адзін з найбліжэйшых да сярэдняга пункта інтэрвалу [1,5; 2,01. Пры х = 1,7 атрымліваем, выкарыстоўваючы табліцы У. М. Брадзіса,
log2x = ^_^0,76;
— ^0,58.
Паколькі
log2l,7>rL, то шукаемы корань х0 павінен быць менш, чым 1,7 (гл. рыс. 262).
477
Значыць,
1,5 < х0 < 1,7.
Таму з дакладнасцю да 0,1
*о~ 1,6.
Разглядаючы пункты інтэрвалу [1,5; 1,7], мы маглі б атрымаць і больш^ дакладнае значэнне кораня х0. Паспрабуйце, напрыклад, самастойна атрымаць набліжанае значэнне х0 з дакладнасцю да 0,01.
Практыкаванні
1470.	Рашыць графічна ўраўненні:
а)	2Ж = х + 2;	г)	log2 х = х — 1;
б)	3* = Зх;	д)	log2 х = |;
в)	2* = х2;	е)	log2(x + 3) = 3x.
1471.	Знайсці корань ураўнення 2х = 2 — х
з дакладнасцю да 0,1.
1472.	Знайсці найменшы корань ураўнення
.	1
log2x = ух
з дакладнасцю да 0,01.
§ 199.	Паказальныя і лагарыфмічныя няроўнасці
Рашэнне паказальных і лагарыфмічных няроўнасцей заснавана на тым, што функцыі у = ах і у = loga х пры a > 1 з’яўляюцца манатонна ўзрастаючымі, а пры a < 1 — манатонна ўбываючымі.
Разгледзім некалькі прыкладаў.
1)	Рашыць няроўнасць 2V > 4.
Перапішам дадзеную няроўнасць, запісаўшы 4 у выглядзе 22:
2* > 22.
Функцыя у = 2V з’яўляецца манатонна ўзрастаючай. Таму большаму значэнню гэтай функцыі адпавядае большае значэнне аргумента. Значыць, х > 2,
2)	Рашыць няроўнасць
з*2—_L ? 9'
Перапішам дадзгную няроўнасць, запісаўшы — у выглядзе 3—2:
Зха3х > 32,
478
Адсюль х2 — Зх > — 2, або х2 — Зх + 2 > 0.
Гэта няроўнасць выконваецца пры х < 1, а таксама пры х > 2 (раздз. Ш, § 61).
3)	Рашыць няроўнасць log ; (х — 1) > — 2.
5"
Запісаўшы — 2 як log ] 25, перапішам дадзеную няроўнасць у выглядзг
log , (х — 1) > log^ 25.
Т	5
Функцыя р = log , х з’яўляецца манатонна ўбываючай. Таму большаму значэнню гэтай функцыі адпавядае меншае значэнне аргумента. Значыць, х — 1 <25. Да гэтай няроўнасці неабходна дадаць яшчэ няроўнасць х — 1 > 0, якая выражае той факт, што пад знакам лагарыфма можа знаходзіцца толькі дадатная велічыня. Такім чынам, дадзеная няроўнасць эквівзлгнтна сістэме дзвюх лінейных няроўнасцей
1 х  1 < 25,
I х — 1 > 0,
з якой атрымліваем
1 < х < 26.
Важна адзначыць, што калі б мы «забыліся» ўлічыць умову х— 1 > 0, то прыйшлі б да няправільнага вываду: х < 26. У прыватнасці, у гэта рашэнне ўваходзіла б і значэнне х = 0, пры якім левая частка зыходнай няроўнасці не мае сэнсу.
Практыкаванні
1473.	Рашыць няроўнасці:
а) 3* > р б) 3* > 27; в) 3* > 2;
ГЦ 4 )	? \ 4 р ДЦ 3 /	9 '
1474.	Рашыць няроўнасці:
a)	1g (х + 1) > 1g (5 — х);
б)	log^ (х — 7) > 4;
в)	log ] (2х — 6) < log ] х.
Т	7
1475.	Дадзеныя няроўнасці рашыць графічна:
а)	2* < 2х;
б)	log2x > X— 1.
§ 200. 3 гісторыі адкрыцця лагарыфмаў
Асноўная ідэя ўвядзення лагарыфмаў грунтуецца на формулг aman = am+n	(1)
і заключаецца ў тым, што множанне можна звесці да больш простага дзеяння — складання. 3 гэтай ідэяй былі знаёмы яшчэ матэматыкі старажытнасці. Агуль
479
ная фармулёўка, эквівалентная правілу множання (1) дадзена, напрыклад, у дзэвятан кнізг славутых «Пачаткаў» Е ў к л і д а. Аднак аб лагарыфмах у старажытныя часы не магло быць і гутаркі, Тады яшчэ не разглядаліся ступені з дробавымі і адмоўнымі паказчыкамі, ды і самыя адмоўныя лікі многім матэматыкам не былі вядомы. Упершыню дробавыя паказчыкі скарыстаў відаць французскі матаматык А р э з м (другая палавіна XIV стагоддзя). Але ідэі Арэзма вельмі апярэдзілі матэматыку таго часу, і трактат яго быў у хуткім часе забыты. Нулявы і адмоуны паказчыкі з’явіліся ў працы французскага матэматыка Ш у к э (XV стагоддзе). Увядзенне ў матэматыку ступеней з адвольнымі сапраўднымі паказчыкамі падрыхтавала глебу для разгляду лагарыфмаў.
Першыя лагарыфмічныя табліцы былі складзены незалежна адзін ад другога шатландцам Неперам (1550—1617) і швейцарцам Бюргі (1552—1632). Характэрна наступнае выказванне Непера, якое ён прыводзіць у прадмове да сваіх таоліц:	зауседы старауся, наколькі дазвалялі мае сілы і здольнасці, пазба
віцца ад цяжкасці і нуднасці вылічэнняў, дакучлівасць якіх звычайна адпужвае мнопх ад вывучэння матэматыкі»,	'
Табліцы Непера былі ў некаторых адносінах больш дасканалымі, чым табЛІТ /ЕГІ' , днак 1 янь1 былі нязручныя для вылічэнняў. Непераўскія рыфмы (Nep log х) вызначаліся (у нашых абазначэннях) такім чынам:
лага
вызначаліся (у нашых абазначэннях) такім чынам:
дзе е « 2,7 (гл. §
Nep log х = 10’ loge ——,
134)	. У прыватнасці,
Nep log 1 = 10’ loge 10’ ^ 0.
Такія табліцы не задавальнялі і самога Непера. Разам са сваім прыхільнікам Ьрыгсам (1561—1631) Непер вырашыў скласці табліцы больш простых, дзесятковых лагарыфмаў. Гэтыя табліцы былі выдадзены Брыгсам у 1624 годзе пасля смерці Непера.
Найбольшы ўплыў зрабілі лагарыфмы на развіццё астраноміі.
Поспехі мараплавання ў сярэднія стагоддзі абумоўлівалі вялікі попыт на астРанамічныя табліцы, састаўленне якіх патрабавала вельмі складаных вылічэнняў. Выкарыстанне лагарыфмічных табліц значна аблягчала і паскарала гзтяя л7?аЭНі on?Па вобРазнамУ выказванню французскага матэматыка Лапласа (1749 1827), вынаходства лагарыфмаў, скараціўшы работу астранома, прадоўжыла яму жыццё.	‘
Агульнае азначэнне лагарыфмічнай функцыі і яе шырокае абагульненне дау Леанард Э й л е р.
Задачы на паўтарэнне
1476.	Насельніцтва горада ўзрастае штогод на 3% у параўнанні з папярэднім годам. Праз колькі год насельніцтва гэтага горада павялічыцца ў 1,5 раза?
1477.	Адна брыгада за змену выпрацоўвае прадукцыі ў 1,1 раза больш, чым другая. Штомесячна прадукцыйнасць працы першай брыгады расце на 1 %, а другой — на 0,7 %. Праз колькі месяцаў першая брыгада дагоніць другую па зменнаму выпуску прадукцыі? Якая з брыгад дае больш прадукцыі за паўгода: першая ці другая?
J478. Вылічыць:
а) г410^31; б) 23%s+4;
в)
3
log 2—3.
9	’ X
г)
480
1479.	Пабудаваць графікі функцый: a)y=|log3x|; 6)y = log2|x|; в) y = log2(—х).
1480.	Рашыць ураўненні:
а) (/27*п2л = /2?
/ 1 Vs*
1481.	Знайсці log2log2r 2К 2|/2.
1482.	He рашаючы квадратнага ўраўнення log2, х — 51og2 х + 4 = 0, даказаць, што здабытак яго кораняў роўны 32.
1483.
раняў:
He рашаючы дадзеных ураўненняў, знайсці здабытак ко
a)	1g2 х + 1g х — 2 = 0;
б)	61g2 х + 1g х — 1 = 0;
в) 1g2 * ~t
= 0
1484.	Рашыць ураўненне logva = c (a > 1).
1485.	Карыстаючыся табліцамі дзесятковых лагарыфмаў, знайсці:
a) log7 25;	6) log 1 ў.
1486. Што больш:
a)	OgJ_T
2
6)	logjy
або log^;
з
або log^—;
aoo I I ?
1487.	Пры якіх значэннях x y інтэрвале 0<х<2тс вызначаны функцыі:
a) у = 1g (sin x); 6) y = sin (1g x)?
1488.	Даказаць, што ўраўненне
Igsinx = sinx
не мае сапраўдных кораняў.
1489.	Колькі лічбаў маюць лікі 2100 і 5200?
16 Я. С. Качаткоў, К. С, Качаткова
481
1490.	Даказаць, што функцыя y = lg(l + x) з’яўляецца манатонна ўзрастаючай, а функцыя у = lg(l —х) манатонна ўбываючай.
Рашыць ураўненні (№ 1491—1499):
1491.	5 • З^1 — 9^°’5 = 9 ' + 4 • З2*2.
1492.	3* + Зх+’ + Зл+2 = 5<
1493.	3 • 4 V + 2 ■ 9* = 5 ■ 6*.
1494.	57* = 75<
1495.	52л+4 = 28+л • 33<
1496*. (/4 + ф IB)* — (К4 — /Тб)' = |.
1497.	log2 (х — I)2 — logo.s (х — 1) = 9.
1498.	5lg х — 3lg ^1 = 3lg *+' — 5,g ^1.
1499.	log8 * + logs * + logs x + • • • = £.
1500.	He карыстаючыся табліцай лагарыфмаў, знайсці lg2 і lg 5, калі еядомэ, што 1g 2 — 1g 5 ^ — 0,3980.
1501.	Даказаць тоеснасці:
a)	a,g * = b'Sa’,
logb Oog^o)
6)	a b = log* a.
1502.	Які лік большы: a ці b, калі:
a) log2 a = log3 6; 6) log., 2 = log4 3?
1503.	Выразіць loga6x праз logax i log^x.
1504.	Даказаць тоеснасць
loga (6 + I b^^i) = — log,, (6 — /ft2 — 1).
Рашыць ураўненні (№ 1505— 1507):
1505.	31g2 (x2) — lg x — 1 = 0.
1506.	21g2 (x3) — 31g x — 1 = 0.
1507.	41og3 5x — 71og3 15x + 7 = 0.
Рашыць сістэмы ўраўненняў (№ 1508, 1509):
1508.	J 3sln * • З00^ = 3,
[ ^ЗІПХ с°5^ — J
482
1509.
Ig sin X + 1g sin y = 1g ^,
Sin2X + sin2 y = y.
1510.	Рашыць сістэму ўраўненняў
( xv^=y,
I yVx = x\
1511.	Вызначыць інтэрвалы ўзрастання i інтэрвалы ўбывання функцый:
а)	у = 2**+4*+3;
б)	у = logy (8 + 2х —х2).
5
Рашыць няроўнасці:
1512.	lg(x2 —3)>lg(x + 3).
1513.	log2x — 21g х — 8<0.
1514.	(0,25) ^ <
is*
Раздзел IX
ФУНКЦЫІ | ПРЭДЗЕЛЫ
9 201. Пастаянныя I пераменныя велічыні
Паняцце функцыі
3 паняццем функцыі мы ўжо неаднаразова сутыкаліся. Так, у частцы I мы разгледзелі лінейную, квадратную, ступенную і трыганаметрычныя функцыі. Папярэдні раздзел быў прысвечаны вывучэнню паказальнай і лагарыфмічнай функцый. Цяпер нам трэба зрабіць агульны агляд таго, што мы ўжо ведаем аб функцыях, і раз
гледзець некаторыя новыя пытанні.
Назіраючы розныя працэсы, можна заўважыць, што велічыні, якія ўдзельнічаюць у іх, вядуць сябе
Рыс. 263.
парознаму: адны з іх змяняюцца, другія застаюцца пастаяннымі.
Калі, напрыклад, у трохвугольніку ABC вяршыню В перамяшчаць па прамой MN, паралельнай аснове AC (рыс. 263), то велічыні вуглоў A, В і С пры гэтым будуць бесперапынна змяняцца, а сума іх, вышыня h і плошча трохвугольніка будуць заставацца нязменнымі.
Другі прыклад. Калі якінебудзь газ сціскаць пры пастаяннай тэмпературы, то аб’ём яго (V) і ціск (р) будуць змяняцца: аб’ём памяншацца, а ціск павялічвацца. Здабытак жа гэтых велічынь, як устанаўлівае закон Бойля—Марыёта, будзе заставацца пастаянным:
Vp = с,
дзе с—некаторая канстанта.
Усе велічыні можна падзяліць на пастаянныя і пераменныя.
Пераменныя велічыні, якія ўдзельнічаюць у якімнебудзь працэсе, звычайна змяняюцца не незалежна адна ад другой, а ў цеснай сувязі адна з другой. Напрыклад, сцісканне газу (пры пастаяннай тэмпературы) прыводзіць да змянення яго аб’ёму, а гэта,