Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
lg cos 77с34' ^7,3331 (або — 0,6669).
459
Для знаходжання лагарыфмаў сінусаў вуглоў ад 14° да 90°, a таксама косінусаў вуглоў ад 0° да 76°, трэба карыстацца табліцай XVI, прыведзенай У. М. Брадзісам на старонках 73—74. Тут вуглы чаргуюцца праз кожныя б'. Таму часам прыходзіцца ўлічваць папраўкі. Правіла ўліку паправак таког: калі дадзены вугал болыаы за вугал, прыведзены ў табліцы, то папраўка дадаецца для сінўса і адымаецца для косінуса; калі ж дадзены вугал меншы за вугал, прыведзены ў табліцы, то, наадварот, папраўка дадаецца для косінуса і адымаецца для сінуса.
Прыклады. 1) Знайсці lgsin43°36'. У табліцы XVI на перасячэнні радка з левай адзнакай 43° і верхняй адзнакай 36' стаіць лік 1,8386. Значыць, lg sin 43°36'г^Т,8386 (або —0,1614).
2) Знайсці lgsin65°32'. На перасячэнні радка з левай адзнакай 65° і верхняй адзнакай 30' (стар. 74) стаіць лік І9590. Да гэтага ліку трэба дадаць 1 — папраўку на 2'. У рэзультаце атрымаем lg sin 65° 32'^ 1,9591 (або —0,0409).
3) Знайсці lgcosH°54'. На перасячэнні радка з правай паметкай 114 ніжняй паметкай 54' стаіць лік Т,9906. Таму lgcosll°54'^ ^ 1,9906 (або —0,0094).
4) Знайсці lgcos51°20'. Спачатку знаходзім lgcos51°18', а затым адымаем ад яго папраўку на 2': Igcos 5Г18' ^ 1,7960; папраўка на 2' роўна 3. Таму lgcos 51°20'^ 1,7957 (або — 0,2043).
Лагарыфмы тангенсаў вуглоў ад 0° да 14° (а таксама катангенсаў вуглоў ад 76° да 90°) прыведзены ў табліцы XVII на старонках 75—76. Лагарыфмы тангенсаў і катангенсаў вуглоў ад 14° да 76° знаходзяцца па табліцы XVIII (стар. 77—78). Лагарыфмы тангенсаў вуглоў ад 76° да 90°, а таксама катангенсаў вуглоў ад 0° да 14° змяшчаюцца ў табліцы XIX (стар. 79—80). Будова гэтых трох табліц зусім аналагічная будове апісаных вышэй табліц XV і XVI. Таму падрабязна на іх мы спыняцца не будзем. Адзначым толькі, што папраўкі ўлічваюцца для лагарыфмаў тангенсаў вуглоў гэтак жа, як і для лагарыфмаў сінусаў вуглоў, а для лагарыфмаў катангенсаў вуглоў — гэтак жа, як і для лагарыфмаў косінусаў вуглоў.
Практыкаванні
1435. Карыстаючыся табліцамі лагарыфмаў трыганаметрычных функцый, знайсці дзесятковыя лагарыфмы наступных велічынь:
a) sin 12° 17'; sin 3°29'; cos77°47'; cos 88° 19';
б) sin 48'38'; sin 60®46'; sin 85°57'; cos 4°34'; cos 49°52'; cos 74°33';
b) tg3°49'; tgl3°23'; ctg80°29'; ctg89°35';
r) tg45°38'; tg67°10'; tg74°39'; ctg31°2'; ctg56°46'; ctg71°27';
д) tg 83'39'; tg89°29'; ctg0°17'; ctg9°36'.
460
1436. Даць абгрунтаванне правіла ўліку паправак пры знаходжанні па табліцах лагарыфмаў трыганаметрычных функцый.
§ 192. Дзеянні над лагарыфмамі
Складанне лагарыфмаў асобага растлумачэння не патрабуе. Таму мы абмяжуемся толькі прывядзеннем двух прыкладаў.
3,0607 0380
4 0701 + 0927
3,0056 2,0449
09364 0756
Адыманне лагарыфмаў мэтазгодна зводзіць да складання. Для гэтага лагарыфмы, перад якімі стаіць знак—, пераўтвараюць так, каб гэты знак змяніўся на знак +. Напрыклад,
— 7,5604 = — 8 + 0,4396 = 8Д396;
—■5,2967 = 5 — 0,2967 = 4,7033.
Так, выраз ”2,0073 —7,5604 —5",2967 пераўтвараецца ў суму:
2?0073
+ 8,4396 4,7033 Д1502
Множанне лагарыфма на лік. Спачатку памнажаем на лік характарыстыку, а затым мантысу лагарыфма, і атрыманыя рэзультаты складваем. Напрыклад:
0315 • 4 = — 20 + 2,5260 = 1^5260;
2,0501 • А ~_з + 0,0751 = 3,0751;
ЗУ7500(—0,5) = 1,5 — 0,3750 = 1,1250.
Дзяленне лагарыфма на лік. Калі характарыстыка лагарыфма неадмоўная, то дзяленне яго на лік робіцца звычайным спосабам. Напрыклад, 8,024 : 4 = 2,006. Калі ж характарыстыка адмоўная, то магчымы два выпадкі.
1) Адмоўная характарыстыка дзеліцца на дзельнік без астатку. У гэтым выпадку характарыстыку і мантысу дзелім на дзельнік асобна. Напрыклад,
15,6305 : 5 = 3,1261.
2) Адмоўная характарыстыка не дзеліцца на дзельнік без астатку. Тады дадаём да яе столькі адмоўных адзінак, каб атрыманы лік
461
дзяліўся на дзельнік без астатку; да мантысы дадаём столькі ж дадатных адзінак. Напрыклад,
2,5608 : 4 = (— 4 + 2,5608) : 4 = Т,6402.
Мы разгледзелі выпадкі, калі дзельнік ёсць цэлы лік. Калі гэта не так, то папярэдне лагарыфмы трэба запісаць у звычайным выглядзе. Напрыклад,
4)7102 : 2,3546 = 3,2898 : 2,3546^ 1,3971 = 2,6029.
Дзяленне лагарыфма на адмоўны лік зводзіцца да дзялення на дадатны лік. Напрыклад,
3,6409 : (— 4) = — (3,6409 : 4) ^ — (1)4102) = 1 — 0,4102 = 0,5898.
Практыкаванні
1437., Выканаць дадзеныя дзеянні над лагарыфмамі:
а) Т,4792 + 1)5706 + 3,0056;
б) 5,0032 + 2,7368 + 3,9263;
в) 0,9329 — Т,2605 — 5,0060;
г) 2)4645 — 4,3839 + 6,0092 — 5,3973;
д) 1)2396 — 0,5974 —'2,9328.
Вылічыць з дакладнасцю да 0,0001 (№ 1438, 1439):
14Ж а) 2,0296 • 0,36; 6)7,1728 • 5; в) 7,2894 • 9,8;
г) 1,0256 — — ); Д) 4,4437 • (—0,2).
1439. а) 7,6302 : 7; б) 7,0280 : в) '5,2709 :
§ 193. Прыклады вылічэння пры дапамозе табліц лагарыфмаў
П р ы к л а д 1. Няхай трэба вылічыць
у __ 0,4752/sin238 22' tg 85° 13' 4 2397 ‘
Лагарыфмуючы гэты выраз, атрымліваем
1g х = 21g 0,475 + =lgsin38°22'— lgtg85°13'—4lg239,3.
Па табліцах лагарыфмаў знаходзім:
1g 0,475 ^Г,6767;
462
Ig 239,3 »2,3790;
Igsin 38°22'»T,7929;
Igtg 85° 13' » 1,0774.
Таму
21g 0,475 »2 + 1,3534 = L3534;
— 239,3 » — 0,4758 = /5242;
| lg sin 38.22< = ^1 1^1 «1.86,9;
— lg tg 85° 13' » — 1,0774 = /9226.
Значыць,
_1,3534
1,5242
1,8619
2,9226
Igx» 3,6621
Такім чынам, Igx »"3,6621. Адсюль, выкарыстоўваючы табліцу антылагарыфмаў, атрымліваем х» 0,004593.
Прыклад 2. Вылічыць
х = j/"/35 — / 30.
Суцэльнае лагарыфмаванне тут немагчыма, паколькі пад знакам кораня 5й ступені стаіць рознасць. У падобных выпадках вылічэнні вядуць па частках: спачатку знаходзяць /35, потым / 30, затым іх рознасць і, нарэшце, корань 5й ступені з гэтай рознасці.
lg/35 = Jlg35»^• 1,5441 »0,3860,
/35» 2,432,
lg/30 = lg 30 » • 1.4771 » 0,2462,
0 о
/30» 1,763,
/35 _ /зо ~ 2,432 — 1,763 = 0,669,
1g//35 —/30»lg/0Ж = ^1ё°Ж^4 Т,8254^^^ ]Z/|/Z/io » 0,9228.
463
Практыкаванні
Вылічыць пры дапамозе табліц лагарыфмаў (№ 1440—1446):
1440.
12,483 • /5,76 /673J 1,842 ‘
2,59? ■ /0,0836
1,1472
1443 ^sin32°14'' 26,732
‘■’ /Дб5ctg29°18' *
і 1444. cos 75 28 • /0,5
/tF/OWsin^
1445. /5/2 + /Т2/5: 7 Гз~т=
^1446. |/ /cos 16°32' J tg^.
1447. Знайсці плошчу трохвугольніка са старанамі 67,28 см 36,54 см і 59,02 см.
1448. Знайсці плошчу трохвугольніка са старанамі 238,4 cm, і 79,3 см, калі вугал паміж гэтымі старанамі роўны 37°23'.
§ 194. Натуральныя лагарыфмы
Дзесятковыя лагарыфмы для нашых патрэб з’яўляюцца вельмі зручнымі. Аднак пры вывучэнні вышэйшай матэматыкі больш зручнымі з’яўляюцца лагарыфмы па аснове е = 2,718281828 ... (гл. § 134). Ужыванне гэтых лагарыфмаў дазваляе значна спрасціць вялікую колькасць матэматычных формул. Лагарыфмы па асновг е атрымліваюцца пры рашэнні многіх фізічных задач і натуральным чынам уваходзяць у матэматычнае апісанне некаторых хімічных, біялагічных і іншых працэсаў. Гэтым і тлумачывда іх назза — «натуральныя лагарыфмы».
Натуральны лагарыфм ліку а абазначаецца Ina. Цяпер ёсць дастаткова поўныя табліцы натуральных лагарыфмаў.
§ 195. Абгрунтаванне дзеянняў на лагарыфмічнай лінейцы
Вядомыя нам уласцівасці лагарыфмаў дазваляюць даволі проста абгрунтаваць правілы дзеянняў, якія выконваюцца пры дапамозе лагарыфмічнай лінейкі. У гэтым параграфе мы разгледзім два найпрасцейшыя дзеянні — множанне і дзяленне. Папярэдне пакажам, як пры дапамозе дзвюх простых лінеек можна рабіць складанне ’і адыманне лікаў.
464
Кожную з дзвюх аднолькавых па даўжыні лінеек AB і CD разаб’ём на 20 роўных частак і адзначым гэтыя часткі на лінейцы АВ ля верхняга краю і на лінейцы CD ля ніжняга краю (рыс. 254).
0 5 I’ 10 1 15 20
A B
с D
0 5 10 1 15 і 20
Рыс. 254.
Няхай да ліку 11 трэба дадаць лік 5. Адзнаку 0 на лінейцы CD установім над адзнакай 11 лінейкі АВ (рыс. 255). Тады пад адзнакай 5 на шкале CD будзе знаходзіцца адзнака 16 на шкале АВ. Гэта адзнака і паказвае суму лікаў 11 і 5.
С D
0 5 10 15 20
і і і—I—11
5 Ю11 15 16 20
A В
Рыс. 255.
Цяпер дапусцім, што ад 18 трэба адняць 6. Над адзнакай 18 на шкале АВ установім адзнаку 6 на шкале CD (рыс. 256). Тады пад адзнакай 0 на шкале CD будзе знаходзіцца адзнака 12 на шкале АВ. Гэта адзнака і паказвае рознасць лікаў 18 і 6.
С D
0 5 в 10 15 20
“Г । । । । I" I I I I I I I I I I I I —11
1 2 3 4 5 6 7 8'9 10111213 1415 1617 181920
A В
Рыс. 256.
^а гэтым .простым прынцыпе заснавана будова лагарыфмічнай лінейкі. Толькі тут адзнакі паказваюць не лікі, а іх лагарыфмы Як вядома, сума лагарыфмаў двух дадатных лікаў роўна лагарыфму іх здабытку:
lg a + lg & = 1g (аб), a рознасць лагарыфмаў двух дадатных лікаў — лагарыфму іх дзелі:
Iga —1g 6 = IgA.
465
Таму калі на лінейках адзначаць не самыя лікі, а іх лагарыфмы. то пры дапамозе дзвюх такіх лінеек (або шкал) можна будзе лёгка выконваць множанне і дзяленне лікаў.
Прымем даўжыню лінейкі за адзінку. Лічбай 1 адзначым на ёй пункт, адпаведны ліку 1g 1 = 0; лічбай 2 — пункт, адпаведны ліку 1g 2 st 0,3010; лічбай 3 — пункт, адпаведны ліку 1g 3^0,4771, і г. д. (рыс. 257). Правы крайні пункт будзе пры гэтым адзначаны
7 8 910
Рыс. 257
лікам 10, што адпавядае ліку 1g 10=1. У выніку мы атрымаем шкалу, якая называецца лагарыфмічнай шкалой. Пры дапамозе дзвюх такіх шкал можна выконваць множанне і дзяленне лікаў.
Няхай, напрыклад, трэба памножыць 2 на 4. Адзнаку 1 на шкале CD устанаўліваем над адзнакай 2 на шкале АВ (рыс. 258).
Рыс. 258.
Пад адзнакай 4 на шкале CD чытаем адзнаку 8 на шкале АВ. Гэта адзнака і паказвае здабытак лікаў 2 і 4.
Аналагічна выконваецца дзяленне. Няхай 9 трэба падзяліць на 6. Адзнаку 6 на шкале CD устанаўліваем пад адзнакай 9 на шкале АВ (рыс. 259). Пад адзнакай 1 на шкале CD стаіць адзнака 9
1,5 на шкале АВ. Гэта адзнака і дае адносінуу
Рыс. 259.
466
§ 196. Асноўныя спосабы рашэння паказальных ураўненняў
Паказальнымі ўраўненнямі называюцца ўраўненні, якія змяшчаюць невядомую велічыню ў паказчыку ступені.
Да такіх адносяцца, напрыклад, ураўненні 3' = 2vr; 5?6 — 1 = 0 і іншыя.
Паказальныя ўраўненні, гэтак жа як і трыганаметрычныя, у адрозненне ад алгебраічных (напрыклад, лінейных, квадратных) адносяцца да трансцэндэнтных ураўненняў.
КНІГІ ОНЛАЙН
