КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

484
у сваю чаргу, абумоўлівае змяненне ціску газу. Змяненне радыуса асновы цыліндра выклікае змяненне плошчы гэтай асновы; апошняе ж прыводзіць да змянення аб’ёму цыліндра і г. д. Адна з галоўных задач матэматычнага вывучэння таго ці іншага працэсу заключаецца ў тым, каб устанавіць, як змяненне адных пераменных велічынь уплывае на змяненне другіх пераменных велічынь.
Разгледзім некалькі прыкладаў. Памянёны вышэй закон Бойля— Марыёта гаворыць, што пры пастаяннай тэмпературы аб’ём газу V змяняецца адваротна прапарцыянальна ціску р: V = ~. Калі вядомы ціск, то па гэтай формуле можна вылічыць аб ём газу. Аналагічна формула S ~ т. г дазваляе вызначыць плошчу круга 5, калі вядомы яго радыус г. Па формуле ^ = ^—1 можна знайсці востры вугал прамавугольнага трохвугольніка, калі вядомы другі востры вугал гэтага трохвугольніка, і г. д.
Пры параўнанні дзвюх пераменных велічынь адну з іх зручна разглядаць як незалежную пераменную, а другую —як залежную пераменную велічыню. Напрыклад, радыус круга г натуральна лічыць незалежнай пераменнай, а плошчу круга S = ^гі — залежнай пераменнай велічынёй. Аналагічна ціск газу р можна лічыць незалежнай пераменнай велічынёй; тады яго аб’ём ^= ~ будзе залежнай пераменнай велічынёй.
Якую ж з дзвюх пераменных велічынь выбраць у якасці незалежнай і якую ў якасці залежнай? Гэта пытанне рашаецца парознаму, у залежнасці ад пастаўленай мэты. Калі, напрыклад, нас цікавіць, да чаго прыводзіць змяненне ціску газу пры пастаяннай тэмпературы, то натуральна ціск прыняць за незалежную, а аб’ём — за залежную пераменную велічыню. У гэтым выпадку залежная пераменная велічыня V будзе выражацца праз незалежную велічыню р па формуле: V = ^. Калі ж мы хочам высветліць вынікі сціскання газу, то лепш аб’ём разглядаць як незалежную, а ціск — як залежную пераменную велічыню. Тады залежная пераменная велічыня р будзе выражацца праз незалежную пераменную велічыню
V па формуле: р = у.
У любым з гэтых выпадкаў дзве велічыні звязаны паміж сабой так, што кожнаму магчымаму значэнню адной з іх адпавядае зусім пэўнае значэнне другой.
Калі кожнаму значэнню адной пераменнай велічыні х якімнебудзь чынам пастаўлгна ў адпаведнасць зусім пэўнае значэнне другой велічыні у, то кажуць, што зададзена функцыя. Велічыню у пры гэтым называюць залежнай пераменнай велічынёй або функцыяй, а велічыню х—незалежнай пераменнай велічынёй або аргументам.
485
Для выражэння таго, што у ёсць функцыя аргумента х, звычайна выкарыстоўваюць абазначэнні у = f (х), у = g (х), у —  т) з’яўляецца, безумоўна, неістотным. Істотна толькі тое, якую сувязь паміж велічынямі х і у выражае гэта літара.
Значэнне, якое прымае функцыя f (х) пры х — а, абазначаецца f (а). Калі, напрыклад, /(х) = х2 ф 1, то
/(1) = I2 + 1 = 2;
/(2) = 22 + 1 =5;
Ца ф 1) = (a + I)2 + 1 = a* + 2a A 2;
/(2й) = (2а)Ч 1 = 4a2+l
i г. Д.
Практыкаванні
1515.	Газ, які знаходзіцца пад ціскам 2 атмасферы, сціскаецца. Як зменяцца пры гэтым: а) вага газу; б) яго аб’ём; в) яго ціск?
1516.	Па электрычнаму ланцугу цячэ ток. Пры дапамозе рэастата мы змяняем супраціўленне ланцуга. Ці змяняецца пры гэтым: а) ток у ланцугу; б) напружанне току?
1517.	Вяршыня В трохвугольніка ABC рухаецца па акружнасці, дыяметр якой супадае з асновай AC гэтага трохвуголыііка. Якія велічыні ў гэтым працэсе застаюцца пастаяннымі і якія змявяюцца?
1518.	/(х) = 2±£.
Знайсці: а) /(0); б) f (а2); в) / —); г) /(sina).
1519.	Выразіць f(2a) праз [(a) для функцый:
а) / (*) =sin х; б) f (х) = tg в) f (х) = *2.
§ 202. Спосабы задавання функцый
Задаць функцыю —гэта значыць указаць, як па значэннях аргумента адшукваюцца адпаведныя значэнні функцыі.
У школьным курсе матэматыкі мы прывыклі да аналітычнага спосабу задавання функцыі. Пры такім спосабе даецца формула, якая звязвае залежную пераменную велічыню (функцыю) з незалежнай пераменнай велічынёй (аргументам); напрыклад: у = Y х\ с
у = Igх\ 8 = яV — і г. Д Разгледзім болып складаныя прыклады функцый, зададзеных аналітычна.
486
Няхай
( калі х < 0,
у = { .	0)
( sin х, калі х > 0.	'
Кожнаму значэнню х пастаўлена ў адпаведнасць зусім пэўнае значэнне у, прычым пры адмоўных значэннях х велічыня у знаходзіцца па формуле у = х, а пры неадмоўных значэннях х — па формуле y = sinx. Калі, напрыклад, х = —2, то у = х ——2;
калі х = то і/ = sin= 1 і г. д.
He трэба думаць, што суадносіна (1) вызначае дзве функцыі. Гутарка ідзе толькі аб адной функцыі у, якая пры адмоўных значэннях аргумента х вядзе сябе як лінейная функцыя у = х, а пры неадмоўных значэннях аргумента х — як трыганаметрычная функцыя у = sin х.
Графік разглядаемай функцыі дадзен на рысунку 264.
Разгледзім яшчэ адзін прыклад:
( х2, калі х < 0,
^ = I 3 калі х 0	^)
Гэта суадносіна паміж значэннямі х і у таксама вызначае адну функцыю. Графік яе дадзен на рысунку 265. Стрэлачка на прамалінейным участку паказвае, што пункт М не належыць графіку дадзенай функцыі. Бо згодна з формулай (2) пры х = 0 велічыня у знаходзіцца па формуле у = х2, а не па формуле у = 3. Таму пры х = 0 у таксама роўны 0.
Дапусцім, што функцыя у зададзена пры дапамозе некаторага выразу / (х), напрыклад: y = х2, г/ = tg х і г. д. Калі пры гэтым не зроблена ніякіх агаворак адносна таго, у якіх межах змяняюцца значэнні аргумента х, то мы будзем лічыць, што выраз f(x) задае нашу функцыю пры ўсіх тых значэннях х, пры якіх ён вызначаны. Так, запіс у = х2 азначае, што у = х2 пры ў с і х с апраўдных значэннях х. Аналагічна, запіс ^ = tgx азначае, што t/ = tgxnpw ўсіх дадатных значэннях х.
487
Акрамя аналітычнага спосабу, на практыцы часта карыстаюцца графічным спосабам задавання функцый. Гэты спосаб зручны тады, калі задаць функцыю аналітычна даволі цяжка (гл., напрыклад, рыс. 266). Акрамя таго, пры вывучэнні многіх працэсаў мы карыстаемся прыладамі, якія не могуць гаварыць з намі на мове формул. Аднак пры дапамозе гэтых прылад мы атрымліваем крывыя, па якіх можна меркаваць аб характары змянення адных велічынь у залежнасці ад змянення другіх велічынь. У медыцыне, напрыклад, шырока выкарыстоўваюцца электракардыёграфы. Пры дапамозе гэтых прылад можна атрымліваць электракардыяграмы —крывыя, якія паказваюць змяненне электрычных імпульсаў, што ўзнікаюць у мышцы сэрца. Такія крывыя дапамагаюць зрабіць правільныя вывады аб рабоце сэрца.
Графічны спосаб задавання функцыі вельмі часта выкарыстоўваецца ў матэматыцы для ілюстрацыі тых або іншых уласцівасцей функцыі.
Пры вывучэнні некаторых працэсаў зручна карыстацца таксама таблічньш спосабам задавання функцый. Метэаролагі, напрыклад, складаюць табліцы выпаўшь.х ападкаў у розных пунктах зямнога шара. Гэтыя розныя пункты зямнога шара выступаюць у дадзеным выпадку ў ролі «значэнняў аргумента», а колькасці ападкаў — у ролі «значэнняў функцыі».
Практыкаванні
1520. f(x) =
Знайсці:
cosx, калі sinx, калі
х < 0, х > 0.
а) ^т}б) z(t); в) /(0); г) і(а^
1521. f(x) =
1 + х2, калі х < 2, sin х, калі х > 2.
488
Знайсці:
a) f^', 6) f^) в) f(2a*).
Пабудаваць графікі наступных функцый (№ 1522—1525):
1522.
— 1, калі х < — 1,
х, калі — 1 <; х < 1, 1, калі х > 1.
( 1,5х + 3, калі х < 0,
1523. «= „ п	п
3 I 3 — 2х, калі х > 0.
1524. у =
’ х + 6, калі х < — 2, х2 — х — 2, калі |х|<2, 0, калі х > 2.
( 2< калі х > 0,
1525.	у = \ .	.
(1, калі х<0.
1526.	Як па графіку функцыі y = f(x) пабудаваць графік функцыі y = f(x) + c, дзе с — некаторы зададзены лік?
Адказ растлумачыць на прыкладзе функцый:
1)у = ± + 2;	3)у = 2+1;
2) у = А1;
4) У = 1g * — 2.
1527. Як па графіку функцыі y = f(x) пабудаваць графік функцыі y = f(xA~a), дзе a — некаторы зададзены лік?
Адказ растлумачыць
на
прыкладзе наступных функцый:
1)
V = sin
х 3 /’
4)
z/ = coslx+ —I;
2)
у = sin х+р ;
У= 1g
3)
у = cos
У = ctgl х+у

1528.	Як па графіку функцыі y = f(x) пабудаваць графік функцыі у = Af (х), дзе A — некаторы зададзены лік?
Адказ растлумачыць на прыкладзе наступных функцый:
1) у = 2х2;
4) у = 3sin х;
2) у = — х2;	5) у = — 2cos х;
3) і/ = — 2х2;	6) у = 4 tg х.
469
1529.	Як па графіку функцыі у = f(x) пабудаваць графік функцыі г/ = |/(х)|?
Адказ растлумачыць на прыкладзе наступных функцый:
1) ^І^хбІ;
2) £ = |6х2 + х+ і|;
3)	у = cos х |;
4)	у = | sinx|.
1530.	Як па графіку функцыі y = f(x) пабудаваць графік функцыі y = f(wx), дзе ш — некаторы зададзены лік?
Адказ растлумачыць на прыкладзе наступных функцый:
1)	у = sin 2х;
х
2)	У = sin у;
3)	у = cos 1,5х;
4)	у = cosy.
§ 203. Вобласць вызначэння і вобласць змянення функцыі
Якім бы спосабам ні была зададзена функцыя y = f(x), разглядаючы яе, мы заўсёды маем справу з двума мноствамі: мнсствам значэнняў, якія можа прымаць аргумент х, і мноствам значэнняў, якія мсжа прымаць функцыя у. Так, напрыклад, для функцыі у = 2* (рыс. 267) мноствам усіх значэнняў, якія можа прымаць аргумент х, з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, а мно
Рыс. 268.
ствам усіх значэнняў, якія можа прымаць функцыя у, — сукупнасць усіх дадатных лікаў.
Сукупнасць усіх тых значэнняў, якія можа прымаць аргумент х функцыі y = f(x), называецца вобласцю вызначэння гэтай функцыі. Сукупнасць усіх тых значэнняў, якія прымае сама функцыя у, называецца вобласцю змянення гэтай функцыі. Напрыклад, вобласцю вызначэння функцыі p = sinx (рыс. 268) з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, а вобласцю змянення — сукупнасць усіх лікаў, змешчаных паміж —1 і 1, уключаючы гэтыя два лікі. Для функцыі y = \gx (рыс. 269) вобласцю вызначэння з’яўляецца сукупнасць усіх дадатных лікаў, а вобласцю змянення — сукупнасць усіх сапраўдных лікаў і г. д.
490
Раней мы вывучалі лікавыя паслядоўнасці. Члены любой лікавай паслядоўнасці можна разглядаць як магчымыя значэнні некаторай функцыі, вызначанай для натуральных значэнняў аргумента.
Напрыклад, члены паслядоўнасці
і ± ± A ...
2’ 3’ 4 ’	’ п’
1
з’яўляюцца значэннямі функцыі у = а члены паслядоўнасці
1,	—1, 1, 1, ...
— значэннямі функцыі у = (—І)"11. Кожную з гэтых функцый мы разглядаем як функцыю, вызначаную толькі для натуральных значэнняў аргумента п. Вось чаму часам гавораць, што лікавая паслядоўнасць ёсць функцыя натуральнага аргумента.