КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Практыкаванні
На адным і тым жа чарцяжы пабудаваць графікі дадзенай і адваротнай ёй функцый (№ 1635—1641):
1635.	у = х2 (х>0).	1636. у = 4 х+1.
510
1637. у =
х, калі х < 0, 2х, калі х > 0.
( х2, калі х > 0,
1640. у= 3
1638. у = /1 —х.
10,5x42, калі х>0, 1639. у — |2х4'2, калі х<0.
1641. y=sin X
[ х3, калі х < 0.
1642. Якія асаблівасці графіка функцыі y = f(x)> калі гэта функцыя тоесна роўна адваротнай да яе функцыі?
Адказ растлумачыць на прыкладах.
§ 210.	Кароткі агляд уласцівасцей раней вывучаных функцый
У гэтым параграфе мы дадзім кароткі агляд уласцівасцей і графікаў раней вывучаных функцый. Пры гэтым мы будзем прытрымлівацца наступнага плана: 1) вобласць вызначэння функцыі; 2) вобласць змянення функцыі; 3) цотнасць функцыі; 4) перыядычнасць функцыі; 5) інтэрвалы знакапастаянства; 6) нулі функцыі, гэта значыць тыя значэнні аргумента, пры якіх функцыя ператвараецца ў нуль; 7) манатоннасць функцыі; 8) лакальныя экстрэмумы функцыі; 9) паводзіны функцыі паблізу «асобых» пунктаў (напрыклад, функцыі У = ~ паблізу пункта х = 0).
Аднак парадак гэты не з’яўляецца абавязковым і ў некаторых выпадках для карысці справы можа быць смела зменены. Адзначым толькі, што ажыццяўленне кожнага пункта плана заўсёды карысна суправаджаць геаметрычнай інтэрпрэтацыяй на графіку даследуемай функцыі.
1.	Квадратная функцыя у = ах2 \ Ьх + с (а^ 0)
Гэта функцыя вызначана для ўсіх значэнняў х, так што вобласцю яе вызначэння з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў. Графікам квадратнай функцыі з’яўляецца парабала, вяршыня якой
U =ОХг + Ьг+С
Рыс. 287.
511
мае каардынаты
b
2а ’
№ — 4ас 4а~
. Пры a > 0 парабала накі
равана ўверх (рыс. 287), а пры а< 0 —уніз (рыс. 288). Калі a > 0, то вобласцю змянення дадзенай функцыі з’яўляецца сукупнасць ^2___________________________________ ^СІС
усіх лікаў, большых або роўных — —; калі ж a < 0, то воб
ласцю змянення яе з’яўляецца мноства ўсіх лікаў, меншых або „ Ь2 — 4ас
роуных3.
‘ J	4а
Пры 6 ^= 0 функцыя у = ах2 { Ьх + с не будзе ні цотнай, ні
Рыс. 288.
няцотнай, паколькі ні адна з роўнасцей
ах2 — Ьх{с = ах2 + Ьх + с [/(—х)=/(х)1 і
ах2 — Ьх + с — —(ах2 + Ьх + с) [f(—х) — —f(x)]
не выконваецца тоесна. Пры 6 = 0 квадратная функцыя прымае выгляд у = ах2 + с і таму з’яўляецца цотнай функцыяй.
Дадзеная функцыя неперыядычная. Калі дыскрымінант
d = Ь2 — 4ас
адмоўны, то функцыя не мае нулёў. У гэтым выпадку ўсе яе значэнні маюць адзін і той жа знак — знак каэфіцыента (гл. рыс. 289 для a > 0 і рыс. 290 для a < 0). Калі дыскрымінант d дадатны, то функцыя мае два нулі:
— b— Y Ь2 — 4ас .	— 6 + /б2 — 4ас
1	Й•
Калі да таго ж a > 0, то функцыя дадатная пры х < хг 1 х > х2, а адмоўная пры Xj < х < х2 (гл. рыс. 287). У выпадку, калі d > 0,
S12
a a < 0, функцыя дадатная пры хх < х < х2, а адмоўная пры х < хх і х > х2 (гл. рыс. 288).
Нарэшце, магчымы і выпадак, калі d = 0. Тады квадратная функцыя мае адзіны нуль
Ь
* =№•
2а
Пры ўсіх значэннях х ^ —~ яна захоўвае адзін і той жа
знак — знак каэфіцыента а.
У выпадку, калі a > 0, квадратная функцыя у — ax* \ Ьх \ с манатонна ўбывае пры х < —~ і манатонна ўзрастае пры х >^ (гл. рыс. 287 і рыс. 289). У выпадку, калі a < 0, яна,
наадварот, манатонна ўзрастае пры х <і манатонна ўбывае пры х > (гл. рыс. 288 і рыс. 290).
Дадзеная функцыя мае адзіны лакальны экстрэмум
62 — 4ас
Уэкстр.—.
Гэты экстрэмум дасягаецца пры х =—
і з’яўляецца мінімумам
пры a > 0 (рыс. 287 і рыс. 289) і максімумам пры a < 0 (рыс. 288 і рыс. 290).
17 Я. С, Качаткоў. К. С. Качаткова
513
2.	Ступенная функцыя у = хг
Вобласць вызначэння такой функцыі залежыць ад г. Напрыклад, пры г = 1 (у = х) гэта будзе сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, а пры г = — {у = Кх) — сукупнасць неадмоўных лікаў. Для дадатных значэнняў х функцыя у = хг вызначана заўсёды, незалежна ад таго, чаму роўны г.
Рыс. 291.	Рыс. 292.
Вобласць змянення функцыі у = хг таксама залежыць ад г. Напрыклад, функцыя у = х(г=1) можа прымаць усе сапраўдныя значэнні, а функцыя у~х2(г — 2)— толькі неадмоўныя значэнні.
Сярод ступенных функцый ёсць цотныя і няцотныя. Напрыклад, функцыі у — х2, у — х* — цотныя, а функцыі у — х3, у = х~3 — ня
цотныя. Некаторыя ступенныя функцыі (напрыклад, у — ^х) вызначаны толькі для дадатных значэнняў аргумента. Для іх ставіць пытанне аб цотнасці не мае сэнсу.
Ступенная функцыя у — хг перыядычная толькі пры г = 0, калі яна ператвараецца ў у = 1. Перыядам у гэтым выпадку з’яўляецца любы сапраўдны лік.
Пры х > 0 ступенная функцыя у = хг незалежна ад г дадатная.
Некаторыя ступенныя функцыі ^напрыклад, у=1, у = ^, _ з \
у = х 2 у не маюць нулёў, для іншых жа нулём з’яўляецца лік 0 (напрыклад, для функцый у = ўх, у — х3 і г. д.).
Калі лік г дадатны, то пры х > 0 ступенная функцыя у — хг манатонна ўзрастае (рыс. 291). Калі ж г —адмоўны, то пры х>0 ступенная функцыя у = хг манатонна ўбывае (рыс. 292).
Некаторыя ступенныя функцыі, напрыклад у = х2, у — х', маюць лакальны мінімум у пункце х = 0.
514
Адзначым яшчэ паводзіны функцый У = у і ^ “ ^ паблізу
пункта х = 0. Калі х імкнецца да нуля, застаючыся дадатным,
функцыя у = — неабмежавана ўзрастае. Калі ж х імкнецца
да нуля, застаючыся адмоўным, яна неабмежавана ўбывае (рыс. 293).
Функцыя У — ^ пры набліжэнні х да нуля (як злева, так і справа) неабмежавана ўзрастае (рыс. 294).
3.	Трыганаметрычныя функцыі
3 трыганаметрычных функцый мы разгледзім толькі дзве функцыі: у — sin х і у = tg х.
Вобласцю вызначэння функцыі у = sin х з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, а вобласцю змянення — сукупнасць усіх лікаў, змешчаных у інтэрвале [—1, 1], Функцыя з’яўляецца няцот
най і перыядычнай з перыядам 2^. У інтэрвалах 2пк<х<тс|2пл гэта функцыя дадатная, а ў інтэрвалах л + 2я г < х < 2~ + 2ч к — адмоўная (рыс. 295). Пры х = пг. яна ператвараецца ў нуль. У інтэрвалах — — + 2« к < х < у + 2пк функцыя манатонна ўзрас
17*
515
тае, а у інтэрвалах ~—к2пк<х< —
~ + 2« тс — манатонна ўбывае.
Пункты х = у + 2п к з’яўляюцца пунктамі лакальнага максімуму функцыі у = sin х. У іх яна прымае найбольшыя значэнні, роўныя 1. Пункты х = —^ + 2пл з’яўляюцца пунктамі лакальнага мінімуму. У іх функцыя прымае найменшыя значэнні, роўныя — 1.
Функцыя у = tg х вызначана пры ўсіх значэннях х, акрамя х= ^HnTC. Вобласцю яе змянення з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў. Гэта функцыя няцотная і перыядычная з перыv	ядам к (рыс. 296). У інтэрвалах
Рыс. 296.
п^ <і х <^ — ] пп яна дадатная, а ў інтэрвалах ф + п г. < х < п к — адмоўная. Пры х = пп функцыя ператвараецца ў нуль. У кожным інтэрвале, які не змяшчае пунктаў х = — + п л, гэта функцыя манатонна ўзрастае. Лакальных экстрэмумаў функцыя не мае. Калі значэнні х неабмежавана
набліжаюцца да — + п тг, застаючыся меншымі у + «^ значэнні функцыі у = tg х неабмежавана ўзрастаюць. Калі ж значэнні х
неабмежавана набліжаюцца да — + «”:, застаючыся большымі за гэтыя значэнні, функцыя у = tg х неабмежавана ўбывае.
4.	Паказальная функцыя у — ах (а ^> 0, a ^ 1)
Вобласцю вызначэння гэтай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, а вобласцю змянення— сукупнасць усіх дадатных лікаў. Функцыя не з’яўляецца ні цотнай, ні няцотнай. He з’яўляецца яна і перыядычнай. Пры ўсіх значэннях аргумента х гэта функцыя дадатная. Пры a > 1 паказальная функцыя у = ах з’яўляецца манатонна ўзрастаючай (рыс. 297), а пры а<1 — манатонна ўбываючай (рыс. 298). Пунктаў лакальных экстрэмумаў функцыя не мае.
516
5.	Лагарыфмічная функцыя у = log .x (a > 0, а^ 1)
Вобласцю вызначэння гэтай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх дадатных лікаў, а вобласцю змянення — сукупнасць усіх сапраўдных лікаў. Аб цотнасці або няцотнасці гэтай функцыі гаварыць не мае сэнсу. Функцыя не з’яўляецца перыядычнай. Калі а> 1, то пры х> 1 функцыя дадатная, а пры х< 1—адмоўная (рыс. 299). Калі ж а< 1, то, наадварот, пры х> 1 функцыя ад
моўная, а пры х<1—дадатная (рыс. 300). Адзіным нулём лагарыфмічнай функцыі з’яўляецца пункт х = 1. Пры a > 1 гэта функцыя з’яўляецца манатонна ўзрастаючай (рыс. 299), а пры a < 1 — манатонна ўбываючай (рыс. 300). Лакальных экстрэмумаў функцыя не мае. Калі a> 1, то пры набліжэнні х да нуля функцыя неабмежавана ўбывае; калі ж а<1, то пры набліжэнні х ^а нуля функцыя неабмежавана ўзрастае.
Практыкаванні
Па плану, апісанаму ў дадзеным параграфе, даследаваць функцыі (№ 1643—1652):
1643. y = sin2x.	1645. у =— |cosx|.
1644. у = sin 2х.	1646. у =» sin lx
517
1647. y = tg^+j
1648. y = x2 —4x + 5.
1649. y = x2 + x — 7.
1650. y = 1 4 x ^ 2x2.
1651. y = x/x.
§ 211. Прэдзел функцыі
Перш чым даць агульнае азначэнне прэдзелу функцыі, разгледзім некалькі прыкладаў.
Прыклад 1. Няхай f (х) — х2. Калі аргумент х прабягае рад значэнняў, якія сыходзяцца да ліку 2, то функцыя / (х) будзе прабягаць рад значэнняў, якія сыходзяцца да ліку 4. Гэта можна заўважынь, разглядаючы табліцу набліжаных значэнняў функцыі і х2 — 4 і.
X	1,96	1,97	1,98	1,99	2,00	2,01	2,02
х2 (набліжана)	3,84	3,88	3,92	3,96	4,00	4,04	4,08
| х2 — 41 (набліжана)	0,16	0,12	0,08	0,04	0	0,04	0,08
Чым бліжэй значэнне аргумента х да 2, тым меншая абсалютная велічыня рознасці х2 — 4.
У гэтым можна пераканацца і строга матэматычна, не звяртаючыся да таблічнай ілюстрацыі. Дакажам, што, які б малы дадатны лік е мы ні ўзялі, заўсёды можна ўказаць такі інтэрвал, які змяшчае ўнутры сябе пункт х = 2, што для ўсіх пунктаў гэтага інтэрвалу будзе выконвацца няроўнасць | № — 4 | < е.
Сапраўды, няроўнасць I х2 — 4 і < е эквівалентна двайной няроўцаеці
— е < х2 — 4 < е, адкуль атрымліваем:
4 — e < х2 < 4 | е, /4^7 < х < /4 + е.
(Мы ўлічваем толькі дадатныя значэнні х, паколькі паводзіны функцыі у — х2 нас цікавяць зараз толькі паблізу пункта х = 2.)	_____
Такім чынам, няроўнасць |х2 — 4| < е выконваецца ў інтэрвале /4— е < < х < /4 7 е, які змяшчае ўнутры сябе пункт х = 2.
Напрыклад, няроўнасць |х2 —4[ < 0,1 (е = 0,1) выконваецца ў іптэрвале ) Д9 < х < /Г1, або 1,98 < х < 2,02; няроўнасць | х2 — 4 | < 0,01 (е = 0,01) выконваецца ў інтэрвале /3,99 < х < /4,01, або 1,998 < х < 2,002.
Інтэрвал (/4^, /4^ г) можна было б пабудаваць і графічна. Няхай A ёсць пункт графіка функцыі у = х2 з абсцысай х = 2 (рыс. 301). Па абодва бакі ад гэтага пункта правядзё.м гарызантальныя прамыя, якія знаходзяцца ад А на адлегласці t. Гэтыя прамыя перасякаюць правую частку парабалы у = х2 у пунктах В і С. Апускаючы з іх перпендыкуляры на вось абсцыс, атрымаем адрэзак В'С'. Гэты адрэзак і ўяўляе сабой інтэрвал (|/'4~7L_ е, /4ф е), які раней мы атрымалі алгебраічна.