Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
што 0 < х < у.
пунчэ іні,
Але пры такім дапушчэнні х і sin х дадатныя. Таму
х=|х|, sinx=|sinx| і няроўнаснь sinx 0
Дакажам, што sinx і х0 *
Няхай х імкнецца да нуля, застаючыся ўвесь час дадатным. Тады можна лічыць, што 0 < х < —, і таму, як было паказана ў § 213,
sin х < х < tg х, прычым усе выразы, якія ўваходзяць у гэту няроўнасць, дадатныя.
Разгледзім тры дробы:
sin х sinx . sin х
—:, 1 —7.
sin X X tg X
Пры аднолькавых лічніках меншы той дроб, назоўнік якога большы. Таму sin х sin х або
1
Памножым гэту няроўнасць зменяцца на процілеглыя:
— 1 <
Дадаўшы да кожнай часткі гэтай няроўнасці 1, атрымаем: sinx .
0 < 1< 1 — cos х.
х
> sin X > sin X
X tg X ’
sin X
> > COS X.
X
пачленна на — 1. Знакі няроўнасці пры гэтым
526
Але 1 — cos х < х (гл. § 213). Таму
0 < 1 _ 2ШЛ х
< X.
Паколькі х > 0 і 1— > 0, то велічыні 1^— і х у апошняй
няроўнасці можна замяніць іх абсалютнымі значэннямі. У рэзультаце атрымаем:
I , sin х
1<ІХ|,
X
што магчыма, безумоўна, запісаць і ў такім выглядзе:
sin X , I „ , , —1|< |Х|.
(2)
Няроўнасць (2) мы атрымалі пры дапушчэнні, што х > 0. Аднак яна пра. , sin х
вільная і пры х < 0, паколькі функцыя цотная, і, значыць,
I sin (— х) I I sin х I
II* г I sin X ,1
Калі х імкнецца да нуля, то, як бачна з (2), —1 , будучы меншым
за | х |, тым больш будз? імкнуцца да нуля. Якім бы малым ні быў дадатны лік е, заўсёды можна дабіцца, каб выконвалася няроўнасць
sin X
X
1 < е.
Для гэтага х трэба выбіраць у інтэрвале (— е, е). Але гэта і азначае, што
.. sinx .
lim = 1.
х *0 *
В ы н і к. Паколькі пры малых значэннях х —1 малое, то можна I «іпх , | п напісаць вабліжаную роўнасць —— — 1 ® 0.
. sin X , .
Адсюль « 1 і, значынь, sin х « х.
X
Такім чынам, пры малых значэннях х.
sin X as X.
Гэта яшчэ раз пацвярджае справядлівасць вываду, да якога мы прыйшлі ў § 113 раздзела V пры разглядзе графіка функцыі t/ = sin х пры малых значэннях х.
П р ы к л а д ы:
sin (0,01) « 0,01;
sin (0,04) « 0,04;
sin (0,07) «0,07;
sin (— 0,03) « — 0,03.
Параўнайце гэтыя эначэнні з тымі, якія дадзены ў табліцах У. М. Брадзісаі,
527
§ 215. Прыклады вылічэння прэдзелаў
У гэтым параграфе мы вылічым некалькі прэдзелаў, выкарыстоўваючы суадносіну
sinx , lim= 1.
х*0 *
Прыклад 1. Знайсці lim — — .
х0 *
Памножыўшы лічнік і назоўнік дадзенага дробу на 3, атрымаем:
sin Зх _ 3 sin Зх х “ Зх ’
Абазначым Зх праз у. 3 умовы х > 0, відавочна, вынікае, што і у < 0, Таму
х0 * х»0 оХ у^О У у^О У
Прыклад 2, Знайсці
Памнажаючы лічнік і назоўнік дадзенага дробу на т і ўводзячы новую пераменную у = тх, атрымліваем:
sinmx msinmx msin«
lim= hm;—— = lim2— =
xo nx x^o n(mx) y^0 ny
m sin m , m
= — lim — = — • 1 = —.
n y^o У " n
Прыклад 3. Знайсці
Выкарыстоўваючы
тоеснасць 1 — cos х = 2 sin2
— (гл. § 155), атрымліваем:
lim х>0
1 — COS X
X2
= lim
х0
2 sin 2 —
X2
Увядзём новую пераменную у = у. Тады х = 2у і
lim
х0
1 — COS X х2
= lim ■ ^о
2 sin2 у
1 .. sin у sin«
= — lim— • hm —2 00 У у~0 У
1 .. sin2 «
= ±.1.1=Л
2 2
Такім чынам,
Адсюль, у прыватнасці, вынікае, што пры малых значэннях х 1 — cos х 1
х2 ~ 2 ’
528
або
1 COS X Я y X2,
cos x « 1— xa.
Напрыклад,
cos (0,04) « 1 — i • 0,0016 « 0,9992, cos (— 0,08) « 1 — ^ • 0,0064 « 0,9968.
Параўнайце гэтыя значэнні з таблічныміі
Практыкаванні
Знайсці прэдзелы:
1685. lira ^І. хо 2х
sin5x
1688. lim ——. хо 6х
1694. llm^ + sinxZx. xn sinx
1695. lim
х0
sin Зх — sin 12х
Юх
1696.
Ііт х0
1687. lim—Д— х0 *
1690. lim ■ lg~, х*0 х
sin 5х + sin 7х X
Т
1697. Нт/Sisinx^^J/Ssinx. х0 *
1698 |іт/1 +cosx / 2 х0 х2
1699. Іітх^О
cos Юх — cosx 4х2
1700. Ііт х0
sin 11х — 6х 5х
1691. lim^i. х0 bx
COs6x —
1692. hm =х0 X2
(693. Ііт^і^.
х*0 х
Sin2 X —Sin2 a
1702. hm=j
xa x2 —a2
§ 216. 3 гісторыі развіцця паняццяў функцыі і прэдзелу
Да XVII стагоддзя матэматыка была навукай аб пастаянных велічынях. Увядзенне пераменных велічынь звязана з імем французскага вучонага Д э к а р т а. Яго працы атрымалі высокую ацэнку Ф. Энгельса, які гаварыў: «Паваротным пунктам у матэматыцы была дэкартава пераменная велічыня. Дзякуючы гэтаму ў матэматыку ўвайшлі рух і дыялектыка».
529
Тэрмін «функцыя» з’явіўся ў адной з рабог нямецкага вучонага Лейбннца (16461716).
Паняцце функцыі вучоныя XVII і XVIII стагоддзяў уводзілі парознаму. Адны вызначалі функцыю як нейкі «аналітычны выраз», другія звязвалі паняцце функцыі з «адвольна начэрчанай крывой». Ідэю адпаведнасці, як адзіную аснову паняцця функцыі, падкрэсліў у сваім азначэнні выдатны нямецкі матэматык Дырыхле (1805—1859). у ёсць функцыя ад х, гаварыў ён, калі ўсякаму значэнню х адпавядае зусім пэўнае значэнне у, прычым зусім няважна, якім іменна спосабам устаноўлгна дадзгная адпаведнасць. Яшчэ да Дырыхле ідэю адпаведнасці выказаў заснавальнік нееўклідавай геаметрыі Мікалай Іванавіч Л а б а ч э ўскі (1792—1856). Аднак доўгі час гэта заставалася незаўважаным у матэматыцы.
Звычнае для нас абазначэннг функцыі у — f (х) належыць Э й л е р у.
Азначэнне прэдзелу ўпершыню з'явілася ў XVII стагоддзі. Зародкі тэорыі прэдзелаў можна знайсці, напрыклад, у працах англійскага фізіка і матэматыка Ісака Ньютана (1642—1727). Аднак матэматыкі XVII і XVIII стагоддзяў не ставілі сваёй задачай пабудаваць стройную тэорыю прэдзелаў. Гэта задача была пастаўлена і рэшана толькі ў XIX стагоддзі. Вялікая заслуга ў гэтым належыць вядомаму французскаму матэматыку К а ш ы (1789—1857). Ён развіў тэорыю прэдзелаў і паклаў яе ў аснову пабудавання аднаго з найважнейшых раздзелаў матэматыкі — матэматычнага а налізу.
Задачы на паўтарэнне
Знайсці вобласці вызначэння функцый (№ 1703—1706):
1703. у = 1/ 1705. р= ’
Т 2х — 4 tg х + ctg х
1704. у = 1g * Р ДІ 1706. у = XX.
х2 — 2х — 15 sin л х
Знайсці вобласці змянення функцый (№ 1707—1709):
1707. y = (—!)< 1708 y = 5sinx—10cosx+1. 1709. у = W0’<
1710. Функцыі f (х) і g (х) — манатонна ўзрастаючыя на ўсёй лікавай прамой. Ці будзе іх здабытак манатонна ўзрастаючай функцыяй? Адказ растлумачыць прыкладамі.
1711. Даказаць, што калі функцыя / (х) перыядычная з перыядам тТ, a функцыя g (х) перыядычная з перыядам пТ, дзе гп і п — натуральныя лікі, то функцыі f (х) ^ g (х) і / (х) • g (х) перыядычныя з перыядам тпТ.
1712. Даказаць, што функцыі у = ах і g = logax(a>0, a ^ 1) не з’яўляюцца перыядычнымі.
Якое абагульненне гэтага рэзультату вы маглі б прапанаваць?
1713. Выкарыстоўваючы тоеснасць (падумайце, як яна атрымліваецца!)
f, fM + f (~4 । / ^) — / (—*)
/ W — 2 + 2
даказаць, што любую вызначаную на ўсёй лікавай прамой функцыю можна даць у выглядзе сумы цотнай і няцотнай функцый.
1714*. Даказаць, што любую функцыю f (х), вызначаную на ўсёй лікавай прамой, можна а дзі н ым спосабам прадставіць у выглядзе сумы цотнай функцыі <р(х) і няцотнай функцыі g (х):
f W = f (4 + g W
1715. Прадставіць функцыю у — 2Х у выглядзе сумы цотнай і няцотнай функцый.
Даследаваць функцыі (№ 1716—1721):
1716. у= / 3 sin х+ cos х. 1719. g = /Г=7о?7
530
1717. у = \хг2х3\. — 1
1718. у = —.
1720. j/ = 6x3 + x+ 1.
1721. у={х}.
Знайсці прэдзелы (№ 1722—1737):
1722. lim х1
х2 + Зх + 2
х1 2х + 3 '
sinax
1730 lim . , . ,,0 sin bx
/2}2x
1723. lim.
x0 2x
1724, lim_EZ±^i£«E*.
x0 *
1731. lim \SaX . x0 tg&x
1732. limЦ+Ш
x.a sin3x
1725. hm —.
x^O *
1726. Ilm / 1 + —. «.0 *
sin 9x + sin 1 lx
1727. limj.
x^o 5x
sinx —tgx 1728. lim—2—.
x 0
1—cosx
1729. Itm.
x0 *
1733.
tg ax + tg bx x0 (a + b)x •
1 f ui. uni ■ ■■1 .;
x0 tgx
1735. lim ( 1 1 \
x—o \sin x tg x/’
1736. lim /si^j/si^
^’ V x — ^ a
1737*. 1/ = lim 1 — V/sin x x^i /1 |COS X—1
1738. Даказаць, што пры любых натуральных ліках т і п тоеснасць
lim
ХІ
хт 1 _ т хп — 1 — п '
Раздзел X
ВЫТВОРНАЯ I ЯЕ ПРЫМЯНЕННЕ ДА ДАСЛЕДАВАННЯ ФУНКЦЫЙ
§ 217. Раўнамерны і пераменны рух па прамой. Скорасць • сярэдняя скорасць руху
3 усіх рухаў цел найпрасцейшым з’яўляецца раўнамерны рух па прамой. Гэта такі рух, калі цела, не змяняючы напрамку, за любыя роўныя прамежкі часу праходзіць шляхі аднолькавай даўжыні. Раўнамерна і прамалінейна рухаюцца на некаторых участках паязды, аўтамабілі, параходы, самалёты і г. д.
КНІГІ ОНЛАЙН
