Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
У пунктах х = 2 і х = 6 функцыя , f(x) прымае значэнні, большыя, чым у суседніх пунктах, дастаткох ва блізкіх да іх:
/(2)>/(х); /(6)>/(х).
Для функцыі y — f(x), графічна паказанай на рысунку 275, пункіудзе, напрыклад, пункт х = с. Для
таму ўмова (1) выконваецца. Пункт х — хг таксама з яўляецца пунктам лакальнага максімуму. Дія ўсіх значэнняў х, дастаткова блізкіх да хь f W < / (хі). калі х < xt i f (х) = f W’ калі х > xv Значыць, і ў гэтым выпадку f (х) < /(Хі). А вось пункт х = х2 ужо не будзе пунктам лакальнага максімуму. Лявей яго f(x) = f(x2), але правей яго f(x) >f(x2). Таму ўмова (1) не выконваецца.
498
Пункт х = с, які ляжыць унутры інтэрвалу [a, b], называецца пунктам лакальнага мінімуму функцыі y~f(x), калі для ўсіх значэнняў х, дастаткова блізкіх да с,
f(x)>f(c). (2)
Значэнні функцыі ў пунктах лакальных мінімумаў называюцца лакальнымі мінімумамі гэтай функцыі. Напрыклад, для функцыі y = f(x), графічна паказанай на рысунку 274, пунктам лакальнага мінімуму з’яўляецца пункт х = 3, а самім лакальным мінімумам — значэнне / (3) = 2.
Для функцыі, графічна паказанай на рысунку 275, пунктам лакальнага мінімуму будзе, напрыклад, пункт х = х2. Для ўсіх значэнняў х, дастаткова блізкіх да х2, f(x)=/(x2), калі х<х2, і f{x)>f(xi^ калі * > *2 Значыць, умова f(x)>f(x2) выконваецца. Пункт х = с, адзначаны намі вышэй як пункт лакальнага максімуму, з’яўляецца разам з тым і пунктам лакальнага мінімуму. Для ўсіх жа пунктаў х, дастаткова блізкіх да яго,
/М = /(^
і таму фармальна няроўнасць f(x)>f(c) выконваецца.
Пункты мінімумаў і пункты максімумаў функцыі f(x) называюцца пунктамі экстрэмумаў гэтай функцыі. Значэнні функцыі f (х) у пунктах экстрэмумаў называюцца экстрэмальнымі значэннямі
гэтай функцыі.
Рысунак 274 паказвае розніцу паміж абсалютнымі і лакальнымі экстрэмумамі. Функцыя у = f(x), паказаная на гэтым рысунку, мае ў пункце х = = 2 лакальны максімум, які не з’яўляецца абсалютным максімумам у інтэрвале [0,7], Зусім гэтак жа ў пункце х = 3 гэта функцыя мае лакальны мінімум, які не з’яўляецца абсалютным мінімумам у інтэрвале [0,7],
Калі абсалютны максімум функцыі у ~ f(x) у інтэрвале [a, b] дася
гаецца ва ўнутраным пункце гэтага інтэрвалу, то гэты абсалютны максімум з’яўляецца, відавочна, і лакальным максімумам (гл., напрыклад, рыс. 274, у пункце х = 6). Але можа здарыцца, што гэты абсалютны максімум дасягаецца гіе ўнутры інтэрвалу [a, b], a ў якімнебудзь крайнім яго пункце (рыс. 276). Тады ён не з’яўляецца лакальным максімумам. Адгэтуль вынікае наступнае правіла для знаходжання абсалютнага максімуму функцыі y=f(x) у інтэрвале la, Ь].
1. Знаходзім усе лакальныя максімумы функцыі у = f{x) у дадзеяым інтэрвале.
499
2. Да атрыманых значэнняў дабаўляем значэнні гэтай функцыі ў канцах дадзенага інтэрвалу, гэта значыць значэнні f(a) і f(b).
Найбольшае з усіх гэтых значэнняў і дасць нам абсалютны максімум функцыі у = f(x) у інтэрвале [а, Ь].
Аналагічна знаходзіцца і абсалютны мінімум функцыі у = f(x) у інтэрвале [а, Ь].
Прыклад. Знайсці ўсе лакальУ ныя экстрэмумы функцыі у — х2 —
— 2х— 3. Якія найбольшае і наймен, . шае значэнні гэтай функцыі ў інтэр
\ I бзлс [0,5]?
•—'“4—♦х Пераўтворым дадзеную функцыю,
\ } / вылучыўшы поўны квадрат:
\ / у = х2 — 2х+ 1 — 4 = (х — I)2 —4.
। / Цяпер лёгка пабудаваць яе графік.
Гэта будзе накіраваная ўверх параба" ла з вяршыняй у пункце (1, —4)
(рыс. 277). Адзіным пунктам лакальРыс. 277. нага экстрэмуму з’яўляецца пункт
х = 1. У гэтым пункце функцыя мае лакальны мінімум, роўны —4. Каб знайсці найбольшае і найменшае значэнні дадзенай функцыі ў інтэрвале [0,5], заўважым, што пры х = 0 у = — 3, а пры х = 5 у = 12. 3 трох значэнняў — 4, — 3 і 12 найменшым з’яўляецца —4, а найбольшым 12. Такім чынам, найменшае значэнне (абсалютны мінімум) дадзенай функцыі ў інтэрвале [0,5] роўна —4; яно дасягаецца пры х= 1. Найбольшае значэнне (абсалютны максімум) роўна 12; яно дасягаецца пры х = 5.
Практыкаванні
1589. Якія з вядомых вам функцый на ўсёй лікавай прамой:
а) зусім не маюць лакальных экстрэмумаў;
б) маюць роўна адзін лакальны экстрэмум;
в) маюць бясконцае мноства лакальных экстрэмумаў?
У практыкаваннях № 1590—1600 знайсці пункты лакальных экстрэмумаў і самі лакальныя экстрэмумы дадзеных функцый. Высветліць, якія гэта экстрэмумы (максімумы або мінімумы).
1590. у = (х — .. * 1 ^Qzl 1
• + Ь. х2 + х + Г
1591. У = 3 (х + 2)2. 1595. 1 У = • 2 — cos х
1592. у = 12хг — х— 1. 1596. у = У %2 —2x48.
1593. У = (х~ • 1)(х3). 1597. і/ = — х (х 4 2а).
£00
1598. у = sin X \ 4
(77
1600. у = sin х + cos х.
Знайсці абсалютныя экстрэмумы дадзеных функцый у дадзеных інтэрвалах (№ 1601—1603):
1601. у = — 2х2 — Зх—1 у інтэрвале |х|<2.
1602. у = | х2 + 5х + 6| у інтэрвале [—5, 4].
1603. y = sinx— cosx у інтэрвале— .
3 3
1604. Знайсці абсалютныя экстрэмумы функцыі у =(х — 3) (х—5)
у інтэрвалах: а) [2,3]; б) [3,4]; в) [4,5]; г) [2,5].
§ 206. Цотныя і няцотныя функцыі
Функцыя у = f(x) называецца цотнай, калі пры ўсіх значэннях х з вобласці вызначэння гэтай функцыі
f(—x)=f(x).
Прыкладамі цотных функцый могуць з’яўляцца добра вывучаныя намі функцыі у = х2, у = cos х, у = | х | 'і г. д.
Няхай пункт М з каардынатамі (а, Ь) належыць графіку цотнай функцыі y = f(x). Тады b = f(a). Паколькі функцыя f(x) цотная, то і / (— a) — f (a) = b. Але гэта азначае, што разам з пунк
У
Рыс. 278. Рыс. 279.
там М (а, Ь) графіку функцыі у = f(x) павінен належаць і пункт N з каардынатамі (—а, Ь). Гэтыя два пункты сіметрычны адзін другому адносна восі у (рыс. 278).
Такім чынам, які б пункт графіка цотнай функцыі мы ні ўзялі, на ім абавязкова знойдзецца пункт, сіметрычны першаму адносна восі у. Вось чаму графік цотнай функцыі ўяўляе сабой лінію, сіметрычнўіо адносна восі ардынат (адзін з такіх графікаў паказаны на рысунку 279).
501
Функцыя у — f (х) называецца няцотнай, калі пры ўсіх значэннях х з вобласці вызначэння гэтай функцыі
f(— х) = ~f(x).
Прыкладамі няцотных функцый з’яўляюцца функцыі у = х, у = х3, у = sin х і г. д.
Няхай пункт Р з каардынатамі (а, Ь) належыць графіку няцотнай функцыі y = f(x); тады b = f(a). Паколькі функцыя f(х) няцотная, to f(—a) = — f (a).
у Таму /(—a) =— b. Апошняя
Рыс. 280.
роўнасць азначае, што пункт Q з каардынатамі (—а, —Ь) павінен належаць графіку функцыі y = f(x). Такім чынам, калі л пункт Р з каардынатамі (а, Ь) належыць графіку няцотнай функцыі y = f(x), то гэтаму графіку павінен належаць і пункт Q з каардынатамі (—а, —Ь) (рыс. 280). Пункты Р і Q сіметрычныя адносна пачатку каардынат (дакажыце гэтаі).
Такім чынам, які б пункт графіка няцотнай функцыі мы ні ўзя
лі, на ім абавязкова знойдзецца другі пункт, сіметрычны першаму адносна пачатку каардынат. Вось чаму графік любой няцотнай функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат (гл., напрыклад, рыс. 281).
He трэба думаць, што ўсякая функцыя з’яўляецца або цотнай,
або няцотнай. Існуе вельмі многа функцый, якія нельга аднесці ні да цотных, ні да няцотных. Так, напрыклад, для функцыі f (х) = х + х2 маем: / (—х) = = —хфх2. Hi адна з дзвюх тоеснасцей /(—х) = = f(x) і f(—x) = —f(x) не мае месца. Значыць, дадзеная функцыя не з’яўляецца ні цотнай, ні няцотнай.
Акрамя таго, гаварыць або няцотная, мсжна толькі
Рыс. 281.
аб тым, што функцыя у = f(x) цотная ў тым выпадку, калі вобласць вызна
чэння гэтай функцыі з’яўляецца сіметрычнай адносна пачатку каардынат. Гэта азначае, што калі функцыя вызначана пры х — а, то яна павінна быць вызначана і пры х = — а. У адваротным выпадку параўноўваць выразы f(x) і f(—х) не мае сэнсу. Напрыклад,
502
функцыя y = lgx вызначана толькі для дадатных значэнняў аргумента. Таму адзін з выразаў 1g х і 1g (—х) напэўна не мае сэнсу. Значыць, гаварыць аб тым, ці з’яўлягцца лагарыфмічная функцыя цотнай або няцотнай, таксама не мае сэнсу.
Практыкаванні
1605. (Вусна.) Сярод дадзеных функцый указаць цотныя і няцотныя:
1) у = X100. 8) У = tg х + ctg х;
2) у = х“3; 9) у = sin х + cosec х;
3) у = / х; 10) у = х 4 sinx;
4) у = F^; 11) у = 2" 4 2
5) у = х4 — 2х2 43; 12)^ = ^;’
6) у — х3 — 5х— 1; 13) у = ^.
1) у = sin (х2); 1606. Якія з дадзеных няцотнымі: функцый з’яўляюцца цотнымі і якія
1) у= Ю^—104 4) y = sin (х—^Л
2) у = sin (—х); 5) у = sin^x+y j;
3) y = cos(—х); 6) У = tg (х—
1607. Даказаць, што сума, рознасць, здабытак і дзель дзвюх цотных функцый з’яўляюцца цотнымі функцыямі.
1608. Даказаць, што здабытак і дзель дзвюх няцотных функцый уяўляюць сабой цотныя функцыі.
1609. Ці можа функцыя быць адначасова і цотнай і няцотнай?
1610* . Што вы можаце сказаць аб цотнасці функцыі f(x), калі вядома, што функцыя |/(х)|: а) цотная; б) няцотная?
1611. Ці можа манатонная па ўсёй лікавай прамой функцыя быць: а) цотнай; б) няцотнай?
1612. Як дабудаваць графік цотнай функцыі y — f(x), калі ён зададзен толькі пры х > 0?
БОЗ
§ 207. Перыядычныя функцыі
Функцыя у — fix) называецца перыядычнай, калі існуе лік Т ^Q такі, што пры ўсіх значэннях х з вобласці вызначэння гэтай функцыі
f(x + T) = f(x).
Лік Т у гэтым выпадку называецца перыядам функцыі.
Перыядычнымі з’яўляюцца, напрыклад, трыганаметрычныя функцыі i/ = sinx і y = cosx. Іх перыяд роўны 2к. Прыкладам перыядычнай нетрыганаметрычнай функцыі можа з’яўляцца функцыя у= [х], якая кожнаму ліку х ставіць у адпаведнасць яго дробавую частку*. Напрыклад, {3,56} =0,56; {2,01} =0,01 і г. д. Калі да адвольнага ліку х прыкласці 1, то зменіцца толькі цэлая частка
Рыс. 282.
гэтага ліку; дробная ж частка застанецца ранейшай. Значыць, (х^]) = |х) і таму функцыя у= [х] з’яўляецца перыядычнай з перыядам 1.
3 роўнасці f(x + T) = f (х) вынікае, што ўсе значэнні функцыі у = f(x) паўтараюцца перыядычна У з перыядам Т. Гэта знаходзіць сваё
адлюстраванне і ў графічным ізабражэнні перыядычных функцый. Так, /////// напрыклад, у інтэрвале [0,2d сінусоі—~ * Да мае ТУЮ ж самУ10 форму, што і
^=/>7 ў інтэрвалах [2, 4], [4я, 6~1 і г. д.
(рыс. 282). На рысунку 283 дадзен Рыс 283 * графік функцыі у = {х}. Перыядыч
насць функцыі у = {*} абумоўлівае тое, што графік яе ў інтэрвале [0,1] мае тую ж форму, што і ў інтэрвалах [1,2], [2,3] і г. д.
КНІГІ ОНЛАЙН
