• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    loga (Хі • х2 ■ .. . • х„) = loge ху + loga ха + . . . + loga х„, даказанай яшчэ ў папярэднім параграфе. Сапраўды, дапускаючы ў гэтай формуле
Хх = Х2 = . . . = Х„ = X, атрымліваем
logax" = nlogax.
П р ы к л а д ы.
1)	log3 25 = log3 5а = 21og3 5;
2)	log32''T=| Tlog32,
Пры адмоўных значэннях х формула (1) траціць сэнс. Напрыклад, нельга пісаць log2(—4)2 = 21og2 (—4), паколькі выраз log2(—4) не вызначаны. Заўважым, што выраз, які стаіць у левай частцы гэтай формулы, мае сэнс:
log2(—4)2 = log216 = 4.
Наогул, калі лік х адмоўны, то выраз logaX2* вызначаны, паколькі х2* > 0. Выраз жа logax у гэтым выпадку не мае сэнсу. Таму пісаць
logax2* = 2k logax нельга. Аднак можна пісаць
log^x2* = 26 logo|x|.
(3)
444
Гэта формула лёгка атрымліваецца з (1), калі ўлічыць, што х2* = | х |2*.
Напрыклад,
log3 (— З)4 = 41og31 — 31 = 41og3 3 = 4.
Тэарэма 2. Лагарыфм кораня з дадатнага ліну роўны лагарыфму падкарэннага выразу, падзеленаму на паказчык кораня.
Іншымі словамі, калі лікі а і х дадатныя, an — натуральны лік, то
l°gj^ = — ^°ёаХП
1
Сапраўды, ]/х = хп. Таму па тэарэме 1
Iog„y X = 10goxn = — logax.
П р ы к л а д ы.
1) log3/8"= 1 log3 8; 2) log^ 27 = 1 log2 27.
Практыкаванні
1408.	Як зменіцца лагарыфм ліку, калі, не змяняючы асновы:
а)	узвесці лік у квадрат;
б)	здабыць з ліку квадратны корань?
1409.	Як зменіцца рознасць log2a— log26, калі лікі a і b замяніць адпаведна на:
a) a3 і 63; б) За і 36?
1410.	Ведаючы, што log10 2 ^0,3010; log10 3^0,4771, знайсці лагарыфмы па аснове 10 лікаў:
8; 9; ^2? у^ 0,5; —.
1411.	Даказаць, што лагарыфмы паслядоўных членаў геаметрычнай прагрэсіі ўтвараюць арыфметычную прагрэсію.
1412.	Ці адрозніваюцца адна ад другой функцыі:
У = log3 х2 і у = 21og3 х?
Пабудаваць графікі гэтых функцый.
446
1413.	Знайсці памылку ў наступных пераўтварэннях:
log2 — = log2 —;	. 21og2 — > log2 —;
o	o	o	3
1	1 .
3 / > 3 ’
1	1
9 > 3 '
§ 185. Пераход ад адкой асноаы лагарыфмаў да другой
Часам аказваецца карысным ад лагарыфмаў па адной аснове (напрыклад, а) перайсці да лагарыфмаў па другой аснове (напрыклад, с). У гэтым выпадку карыстаюцца наступнай формулай:
^‘’ттт	(1)
Пры гэтым дапускаецца, што a,. b і с —дадатныя лікі, прычым а і с адрозныя ад адзінкі.
Няхай, напрыклад, нам вядома, што log10 2 ^0,3010; log103^ ^0,4771. Трэба знайсці log23. Па формуле (1)
log102 0,3010
Для доказу формулы (1) выкарыстаем асноўную лагарыфмічную тоеснасць:
а1О8?= Ь.
Калі дадатныя лікі роўныя, то, відавочна, роўныя і іх лагарыфмы па адной і той жа аснове. Таму
log, (aIoSa 6) = log,6.
Але па тэарэме аб лагарыфме ступені
lo^ («^?*) = 1оМ • 1о&а
Значыць,
logo& ■ log, a = log, 6,
адкуль i вынікае формула (1).
Калі ў формуле (1) у якасці с узяць Ь, то атрымліваем
Такім чынам,
10ga Ь = . log* a
446
Прык лады.
log32 2 = 1— = ў;
log2 32	5
10gl25 5 — 7—777 “ Q • logs 125	3
Практыкаванні
1414.	.Ведаючы, што log10 2 ^0,3010 і log10 3^0,4771, знайсці:
a)	log32;	B)log312;
6)	log3 8;	r) l°gi23
1415.	Даказаць, што адносіны logs* j log* 2 log3x logv3
не залежаць ад x.
1416.	Даказаць няроўнасці:
a)	log2 5 + log6 2 > 2;
6)	log±4 + log4^ < — 2.
3	3
Д417.ЦІ зменіцца лагарыфм ліку, калі гэты лік і аснову лагарыфма ўзвесці ў адну і тую ж ступень?
§ 186. Лагарыфмаванне і патэнцыраванне
Калі некаторы выраз складзены з дадатных лікаў пры дапамозе множання, дзялення, узвядзення ў ступень і здабывання кораня, то лагарыфм усяго гэтага выразу лёгка выразіць праз лагарыфм уваходзячых у яго лікаў.
Няхай, напрыклад,
/67 • 98
Тады па тэарэме аб лагарыфме дробу
loga х = log, (132 /І4б)  log, /67^
Тэарэма аб лагарыфме здабытку дае:
log, (132 /140) = log, 132 + log,/T40, log, /67^98 = log, /67 + log, /98.
447
Цяпер, выкарыстоўваючы тэарэмы аб лагарьіфме ступені і кораня, атрымліваем
log, 132 = 21oga 13,
loga| 0
log, /98=lloga 98.
Такім чынам,
log, х = 21oga 13 + loga 1401 loga 67—1 ioga 98.
3	5	5
Пераход ад выразу да яго лагарыфма называецца лагарыфмаваннем гэтага выразу.
Аперацыя, адваротная лагарыфмаванню, называецца патэнцыраваннем. Яна заключаецца ў тым, што па лагарыфму некаторага выразу ўзнаўляецца сам выраз. Растлумачым гэта на наступным прыкладзе. Няхай
loga х = 2loga 10 — 1 loga 7 — 31oga з + 1 loga 19.
Перш за ўсё, выкарыстоўваючы тэарэмы аб лагарыфме ступені кораня, можна запісаць:
21oga 10 = loga 102 = loga 100,
1 loga 7 = loga (7)T = loga VT,
31oga3 = loga33 = loga27,
1 loga 19 = loga (19)T = log„{ І9.
Пасля гэтага logax можна запісаць y выглядзе
loga x = loga 100 — loga /7 — loga 27 + loga У19.
Цяпер, выкарыстоўваючы тэарэмы аб лагарыфме здабытку і дзелі, атрымліваем
loga X = (loga 100 + loga Г19)  (loga VT + 10ga 27) =
= loga (100 ГГ9)  loga УТ■ 27) = loga 
448
Такім чынам,
,	,	100/19
^^ = 1оь^7Г
Але калі лагарыфмы двух дадатных лікаў па адной і той жа аснове роўныя, то роўныя і самі гэтыя лікі. Таму
100/19
27
Практыкаванні
Пралагарыфмаваць па аснове 10 наступныя выразы (№ 1418 — 1422):
1418. а) х = За7;	в) х = а2^а&\
б)	х = 15а363с7;	г) х = а/ab2.
1419: а) х = А+Аі /	в) х = j /
ab V a + b ’ y b2
1420? a) x = f 1/	. ctg™
\ V COS2 
     — 4,7.
450
Аналагічна
[5,791 = — 6,
[—0,142] = — 1, [] = [3.14...] = 4.
Рознасць паміж лікам а і яго цэлай часткай [а] называецца дробавай часткай гэтага ліку і абазначаецца {aj.
\а} — a — [a],
Напрыклад,
[2,3] = 2,3 —2 = 0,3;
{0,165} = 0,165 — 0 = 0,165;
{—5,79} = — 5,79 — (— 6) = 0,21;
{0,142} = —0,142 —(— 1) = 0,858.
Відавочна, што цэлая частка ліку а можа быць любым цэлым лікам: дадатным, адмоўным або нулём. Дробавая ж частка ліку a заўсёды неадмоўная і менш 1.
Любы сапраўдны лік а можна запісаць у выглядзе сумы яго цэлай і дробавай частак:
a = la] + {a}.
Напрыклад,
2,3 = 2 + 0,3;
0,165 = 0 + 0,165;
— 5,79 = —6 + 0,21;
— 0,142 = — 1 +0,858.
Практык азанні
1427/Дадзеныя лікі запісаць у выглядзе сумы іх цэлых і дробавых частак:
+ .	2,01; z; 5; —2,37; —6,07; —7; — z.
1428'. а) Ці зменіцца дробавая частка ліку, калі да яго дадаць цэлй лік?
б) Ці зменіцца цэлая частка ліку, калі да яго дадаць правільны дрсб?
§ 188. Дзесятковыя лагарыфмы і іх уласцівасці
За аснову лагарыфмаў часта прымаюць лік 10. Лагарыфмы лікаў па аснове 10 называюцца дзесятковымі. Для абазначэння дзесятковых лагарыфмаў звычайна выкарыстоўваюць знак 1g, а не
15*
451
log; пры гэтым лік 10, які ўказвае аснову, не пішуць. Напрыклад, замест log10105 пішуць проста 1g 105; замест Iog10 2 пішуць 1g 2 і г. д.
Дзесятковыя лагарыфмы маюць усе тыя ўласцівасці, якія маюць лагарыфмы пры аснове, большай 1. Напрыклад, дзесятковыя лагарыфмы вызначаны толькі для дадатных лікаў. Дзесятковыя лагарыфмы лікаў, большых 1, дадатныя, а лікаў, меншых 1, адмоўныя; з двух дадатных лікаў большаму адпавядае і большы дзесятковы лагарыфм і г. д. Але, акрамя таго, дзесятковыя лагарыфмы маюць і рад спецыфічных асаблівасцей, якімі і тлумачыцца, чаму ў якасці асновы лагарыфмаў зручна выбіраць іменна лік 10,
Перш чым разгледзець гэтыя ўласцівасці, увядзём наступнае азначэнне.
Цэлая частка дзесятковага лагарыфма ліку а называецца характарыстыкай, а дробавая — мантысай гэтага лагарыфма.
Характарыстыка дзесятковага лагарыфма 1g а абазначаецца як [Iga], а мантыса— як {Iga}.
Вядома, напрыклад, што 1g 2 ^0,3010. Таму
[1g 21 = 0,	{1g 2} ^0,3010.
Вядома* таксама, што 1g 543,1 ^2,7349. Значыць,
[lg543,l] = 2,	{1g 543,1} ^0,7349.
Зусім гэтак жа з роўнасці 1g 0,005^ — 2,3010 вынікае, што
[0,005] = — 3,	{1g 0,005} = 0,6990.
Цяпер пяройдзем да разгляду ўласцівасйей дзесятковых лагарыфмаў.
Уласцівасць \. Дзесятковы лагарыфм цэлага дадатнага ліку, запісанага адзінкай з наступнымі нулямі, ёсць цэлы дадатны лік, роўны колькасці нулёў у запісе гэтага ліку.
Напрыклад,
1g 1000 = 3,
1g 1000 000 = 6.
Наогул, калі
а = .100° • • • °’ п
to a = Ю4 і таму
lg a = 1g 10" = nig 10 = n.
Уласцівасць 2. Дзесятковы лагарыфм дадатнага дзесятковага дробу, запісанага адзінкай з папярэднімі
* У далейшым мы навучымся знаходзіць дзесятковыя лагарыфмы дадатных лікаў па табліцах.
452
нулямі, роўны — п, дзе п — ліх нулёў у запісе гэтага ліку, лічачы і нуль цэлых.
Напрыклад,
lg0,01=—2,
1g 0,00001 = — 5.
Наогул, калі
a = 0,000 ... 01, то а = 10~л
1	таму
lg a = 1g 10~л = — n lg 10 = — n.
Уласцівасць 3. Характарыстыка дзесятковага лагарыфма дадатнага ліку, большага 1, роўна колькасці лічбаў у цэлай частцы гэтага ліку без адной.
Прыклады. 1) Характарыстыка лагарыфма 1g75,631 роўна 1. Сапраўды, 10 < 75, 631 < 100. Таму
1g 10 < 1g 75,631 < lg 100, або
1 < lg 75,631 <2.
Значыць,
lg 75,631 = 1 + a, дзе a — некаторы правільны дадатны дроб. Але тады [1g 75,631] = 1, што і трэба было даказаць.
2)	Характарыстыка лагарыфма 1g 5673,1 роўна 3.
Сапраўды,
1000 < 5673,1 < 10 000.
Таму
lg 1000 < 1g 5673,1 

    


   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты