Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
* Формула (1) была строга даказана яшчэ да Ньютана Якабам Бернулі (1654—1705) — адным з членаў сям’і швейцарскіх вучоных, якія далі свету 11 вядомых матэматыкаў. Ньютану належыць ідэя аб распаўсюджванні фбрмулы (1) на вьшадак дробавых і адмоўных значэнняў п. Гэта ідэя шырока выкарыстоўваецца пры рашэнні многіх задач вышэйшай матэматыкі.
556
Памножыўшы лічнік і назоўнік гэтага дробу на
(п — k)(n — k— 1)...3 • 2 • 1, атрымаем:
п (п — 1)... (п — k + 1) (« — k) (п — k — 1) ... 3 • 2 • 1 п!
1 • 2 • З...А(п — k)(n — k 1).. .3 • 2 • 1 ~ '« (п — ky ’
Такім чынам,
„ь
Сп ~ k\ (п — k)\ • (2)
Гэта формула справядліва для любых натуральных лікаў п і k, калі толькі п > k. У прыватнасці, замяняючы ў ёй й на п — й, атрымаем:
Cn~k =__________—____________п!
л (лі)![л(/іВД (nkyk\
Правыя часткі роўнасцей (2) і (3) роўныя; значыць, роўныя і левыя часткі:
Ckn = Cn~k. (4)
Формула (4), выражаючы важную ўласцівасць бінаміяльных каэфіцыентаў, значна спрашчае іх вылічэнне. Напрыклад, пры ўзвядзенні двухчлена а b у 6ю ступень прыходзіцца вылічваць Cg, Cg, Cg, Cg, Cj, Cg. Згодна з азначэннем (гл. формулу (1)):
3 _ 654 _ ~ 1 2 3 2°'
Для вылічэння Cg і Cg цяпер няма неабходнасці даваць іх па формуле (1).
Дастаткова скарыстаць формулу (4) і ўжо атрыманыя значэнні:
С^ = С^ = С^=1б;
/^5 /^б—$ /"*1 a
Адзначым яшчэ, што С"=1. Гэта вынікае непасрэдна з азначэння ліку С”: гп п(п1)(к2)...32 1
л 1 • 2 • З...(п —2)(л — І)л = ’
Умовімся лічыць, што С° = 1. У выніку такой згоды формула (4) аказваецца правільнай не толькі для п > k, але і для п — k:
гп — г° = \
Практыкаванні
1860. Вылічыць:
а) б^; б) С15; в) Cjq0; r) Cgg.
1861. Вядома, што С^ = Суп. Ці можна сцвярджаць, што х = у?
557
1882. Рашыць ураўненні:
а) Сх~2 + 2х = 9;. в) С^2 = С2
б) C^Z? = х2 — 13;
I 1 V2
1863. У раскладанні (а + “) знайсці каэфіцыент пры а8.
I 1
1864. У раскладанні І2а^) знайсці каэфіцыент пры а4.
§ 235. Прымяненне формулы бінома Ньютана да набліжаных вылічэнняў
Дапусціўшы ў формуле бінома Ньютана
(a + by = ап+ С1^1 b + С2пап~2 62 + ...+ C^'ab"1 + C"bn a = 1, b = х, атрымаем:
(Нх)« = і + ф + с2.г2 + ...+ с;;1^^ (і)
Калі велічыня х малая, то велічыні х2, х3, ..., х’ тым больш малыя. Таму, калі ў формуле (1) мы адкінем члены, якія змяшчаюць х2, ?,..,, хл, то атрыманая ў выніку формула
(1 + х)" ® 1 + С‘х (2)
будзе набліжанай, прычым памылка такога набліжэння павінна быць невялікай. Паколькі С^ = п, формулу (2) можна перапісаць у выглядзе:
(1 4" х)1 й 1 4~ пх. (3)
Практычна пры малых значэннях х формула (3) дае зусім здавальняючы рэзультат. У пацверджанне гэтага прывядзём наступную табліцу для выпадку х = 0,01.
/2 (1+х)" Па формуле (3) Значэнне з чатырма дакладнымі дзесятковымі знакамі
2 1,02 1,0201
3 1,03 1,0303
4 1,04 1,0406
10 1,10 1,1046
Формула (3) правільная і для малых адмоўных значэнняў х.
Напрыклад,
(1 0,02)6 a 1 — 5 • 0,02 = 0,9;
(0,93)2 = (1 — 0,07)2 ® 1 — 2 ■ 0,07 = 0,86.
Формулу (3) мы атрымалі для натуральных значэнняў п. Аднак ёю можна карыстацца пры любых сапраўдных значэннях п.
Напрыклад,
1
} 1,003 = (1 + 0,003) 2 ® 1 + у • 0,003 = 1,0015;
558
/0,97 = (1 — 0,03) 3 alу ■ 0,03 = 0,99;
^ = 0,98» = (1 0,02)» a 1 + ( 1) ( 0,02) = 1,02;
d 1 = 0,96 4 = (1 — 0,04) 4 a 1 + • 0,04 = 1,01.
/0,96 4
Практыкаванні
Знайсці набліжаныя значэнні наступных выразаў:
1865. (1,04)8. 1873. /1,03.
1866. (1,001)»« 1874. /бДД
1867. (1,03)«. 1875. )/ 2/6^4?
1868. (0,99)3. 1876. (/0Д8)4.
1869. (0,98)4. 1877. —=. /0,98
1870. (0,97)5. ,878 і
1871. > Тж 18,4 W
1872. /ш 1880. — „ . (/ 0,99 )3
§ 236. Прымяненне вытворнай да знаходжання ўчасткаў узрастання і ўчасткаў убывання функцый
Пры дапамозе вытворнай лёгка знайсці ўчасткі ўзрастання і ўчасткі ўбывання любой дыферэнцыруемай функцыі. Mae месца наступная тэзрэма.
Тэарэма. Калі вытворная f (х) функцыі f (х) дадатная ў інтэрвале /а, bj, то функцыя f(x) манапгонна ўзрастае ў гэтым інтэрвале. Калі ж вытворная адмоўная ў гэтым інтэрвале, то ў ім функцыя f (х) манатонна ўбывае.
Доказ гэтай тэарэмы выходзіць за межы школьнай праграмы. Таму мы абмяжуемся толькі яе геаметрычнай ілюстрацыяй.
Вытворная функцыі у = f (х) роўна вуглавому каэфіцыенту датычнай, праведзенай да графіка функцыі у = f (х) у пункце з абсцысай х. Умова f (х) > 0 азначае, што ў разглядаемым інтэрвале вуглавыя каэфіцыенты датычных дадатныя. Але гэта магчыма толькі ў тым выпадку, калі вуглы, утвораныя датычнымі з дадатным напрамкам восі х, вострыя (рыс. 318). Тады графік функцыі у — f (х) з ростам х паднімаецца ўсё вышэй і вышэй. А гэта азначае, што функцыя у = f(x) манатонна ўзрастае.
Выпадак, калі ў інтэрвале [a, b] f (х) < 0, разглядаецца аналагічна. Умова /' (х) < 0 азначае, што вуглавыя каэфіцыенты датычных да графіка функцыі
559
y — f(x) адмоўныя. Але гэта магчыма толькі ў тым выпадку, калі вуглы, утвораныя датычнымі з дадатным напрамкам восі х, тупыя (рыс. 319). Тады графік функцыі y = f(x) з ростам х апускаецца ўсё ніжэй і ніжэй. А гэта азначае, што функцыя у — f (х) манатонна ўбывае.
Прыклад. Вызначыць участкі ўзрастання і ўчасткі ўбывання функцыі f (х) = х3 — 4х + 3.
Маем:
f (х) = 2х — 4.
Пры х > 2 f' (х) > 0, а пры х < 2 /' (х) < 0. Значыць, функцыя f (х) = — 4х + 3 пры х > 2 узрастае, ~ '
х2
а пры х < 2 убывае.
Да таго ж самага выніку мы прыйшлі б, калі б даследавалі дадзеную функцыю шляхам вылучэння поўнага квадрата (гл. рыс. 320).
/ (х) = х2 — 4х + 3 = х2 — 4х + 4 — 1 =« ^(х — 2)» — 1.
Скарыстанне вытворнай у дадзеным выпадку лягчэй і хутчэй прыводзіць да рашэння задачы.
Практыкаванні
Вызначыць участкі ўзрастання і ўчасткі ўбывання наступных функцый:
1881.
1882.
1883.
1884.
1885.
1886.
у = 3 + 4х — ха.
a f (х) > 0. Тады паблізу пункта х~а функцыя f(x) павінна ўбываць у пунктах, якія ляжаць злева ад а, і ўзрастаць у пунктах, якія ляжаць справа ад а (рыс. 322). У гэтым выпадку пункт х = а з’яўляецца пунктам лакальнага мінімуму. Калі ж пры х < a f (х) > 0, а пры х > a f (х) < 0, то, наадварот, лявей пункта х = а функцыя / (х) будзе ўзрастаць, а правей х = a — убываць. У гэтым выпадку пункт х = а будзе пунктам
У
Рыс. 322.
лакальнага максімуму (рыс. 321).
Такім чынам, калі вытворная f (х) у пункце х — а ператвараецца ў нуль, а пры пераходзе праз гэты пункт мяняе свой знак з « — > на « + », то пункт а ёсць пункт лакальнага мінімуму функцыі f(x). Калі вытворная f (х) у пункце х = а ператвараецца ў нуль, a пры пераходзе праз гэты пункт мяняе свой знак з «+» на «—», то пункт а ёсць пункт лакальнага максімуму функцыі f(x).
Напрыклад, для функцыі / (х) = ах2 + Ьх\с вытворная f (х) = 2ах + b ператвараецца ў нуль b
пры х =
Дапусцім, што a > 0; тады пры х < —атрымаем: 2a
b
а пры х > _
2ах < — Ь; 2ах + 6 < 0,
У
Такім чынам,
2ах > —Ь;
2ах + b > 0.
калі о > 0, то пры пераходзе праз
пункт х = —2— вытворная функцыі ах2 ^ Ьх Д с мяняе b , „
знак з «» на « + >. Таму пункт * = — 3 «уляецца пунктам лакальнага мінімуму гэтай функцыі. Да такога ж выніку мы прыходзілі і раней, разглядаючы выраз
0
х
a
х
.2 Ь2 — 4ас
' 4а
Вучням прапануецца самастойна з дапамогай вытворнай разгледзець выпадак a < 0 і пераканацца, што тады пункт х =___^ з’яўляецца пунктам лакальнага максі
Рыс.
муму функцыі
/ (х) = ах2 + h + с.
У=Х3
323.
He трэба думаць, што калі /' (а) = 0, то пункт х = а абавязкова з’яўляецца пунктам лакальнага экстрэмуму. Напрыклад, для функцыі f (х) == х3 маем / /х) = зх2 і таму f (0) = 0. 'Але, як бачна з графіка гэтай функцыі (рыс. 323), пункт х = 0 не з’яўляецца ні пунктам лакальнага мінімуму, ні пунктам лакаль
КНІГІ ОНЛАЙН
