Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
(а+Ы) (0+0;) =0+0/.
Практыкаванні
Вылічыць:
1978^(5 + ;) (—2 + 3/). 1983. (5 + 0(15 — 31).
1979. (3 + 4/) (6 —51). 1984. (—6 + 20(11 + 50
1980. (7 — 2і) (3,5 —;). 1985. (0,5 + 0(1 + 20
1981. (0,5 + 0,2і)(2 + Зі). 1986. (^І —/) ( |/1 +2і)
1982. (7 + 4і)2. ,1987/ {/"3 + 5і) (5 —/Зі)
1988,Знайсці камплексны лік z з ураўнення (2 — 3/)z = = 1 5;.
578
§ 247. Дзяленне камплексных лікаў
У вобласці камплексных лікаў таксама, праўдных лікаў, суадносіна
як і ў вобласці са
г3 = 7
*2
разумеецца ў тым сэнсе, што 2322—zt.
Азначэнне. Дзеллю nd дзялення камплёксназсі ліку z\ но камплексны лік z2 называецца такі камплексны лік z2, які пры памнажэнні на z2 дае Z\.
У вобласці сапраўдных лікаў дзель у вызначана для ўсіх значэнняў а і Ь, калі толькі 6^0. Аналагічна абстаіць справа і ў вобласці камплексных лікаў.
Тэарэма. ^зель ^^^ вызначана і прытым адназначна для ўсіх камплексных лікаў а + bi і с + di, ка
лі толькі
c v di =/= ^ \ 0і.
Доказ. Нам трэба паказаць, што пры c+di^O+Оі існуе і прытым адзіная пара сапраўдных лікаў (х, у), якая задавальняе ўраўненню
(х+уі) (c+di) =а+Ы. (1)
Па правілу множання камплексных лікаў: (х+уі) (e+di) = (xc—yd) + (xd+yc) і.
Таму ўраўненне (1) можна перапісаць у выглядзе: (xc—yd) + (xd+yc) i=a+bi.
Два камплексныя лікі роўныя тады і толькі тады, калі роўныя іх сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках. Таму tcx — dy = a, I dx \ су — b.
Вылічым галоўны вызначальнік гэтай сістэмы: с ^ + ^
Паколькі c|di=#0+0i, хаця б адзін з лікаў с і d адрозны ад нуля. Але тады A=c2Hd2>0. Значыць, па правілу Крамера (гл. § 30) сістэма ўраўненняў (2) мае і прытым адзінае рашэнне:
A v 16 с I ас + bd
х = = (? + d2 (t + d* ■
19*
679
Ic a\
A,, __ \d b\ _ be — ad A c2^r d2 c2 \ d2
Такім чынам,
a + bi c 4 di
ac \ bd ! c2 + d2 +
be — ad c2 + d2
i.
Запамінаць гэту формулу не трэба; дастаткова ведаць, як яна атрымліваецца.
9__7/
П р ы к л а д. Знайсці адносіну —=
Z — Ot
Няхай
9 — 7/
2^3Г~X + ^|,■
Тады
(х +уі) (2 — 30 = 9 — 7і;
2х\2уі—Зхі—Зуі2=9—7і;
(2х+Зі/) + (2уЗх)і=97і,
Адсюль
f 2xj3t/=9,
I —Zx\2y=—7.
Рашаючы гэту сістэму, знаходзім х=3, у=1. Таму
9 — 7/
2 — 3/
= 3 + /’.
Практыкаванні
1989. Што выражае кожная з дадзеных формул — азначэнне ці тэарэму:
a) (a + bi) (с + di) = (ас — bd) + (ad + be) і;
a + bi _ ac + bd c + di ~ c2 + d2
be — ad .^ c2^d2 Z‘
Вылічыць: Даказаць роўнасці:
1990. 0+ 4i 1993. 6 — / 13 + 41/
1 + z ' 3 + 4/ — 25 + 25/
1991. 2 + i 2 — i ' 1994. 2 + / З — і 13 + 4/ 17 —9/•
1992. 5 + 0/
580
§ 248. Поле камплексных лікаў
Камплексным лікам мы прысвяцілі ўжо некалькі параграфаў. Але нашы разважанні часта былі не строгімі. Мы дапускалі (хоць і свядома!) рад лапчііых пагрэшнасцей, якія цяпер трэба выправіць.
Каб разабрацца ў гэтым, паставім перад сабой такое пытанне: што значыць увесці ў разгляд новыя лікі? Безумоўна, для новых лікаў мы павінны выбраць якіясьці абазначэнні. Напрыклад, камплексныя лікі мы абазначаем a + bi. Але галоўнае не ў гэтым. Галоўнае ў тым, каб вызначыць, як параўноўваюцца гэтыя лікі адзін з другім, як робяцца дзеянні над імі (складанне, адыманне, множанне, дзяленне). Пакуль гэтыя дзеянні не вызначаны, ужываць такія выразы, як, напрыклад, «сума новых лікзу» і «здабытак новых лікаў», мы не маем права.
А як мы ўводзілі камплексныя лікі? Перш за ўсё (гл. § 243) мы патрэбавалі, каб новае мноства лікаў змяшчала лік, квадрат якога (гэта значыць, здабытак з самім сабой) роўны — 1. Сярод ужо вядомых нам сапраўдных лікаў такога ліку не існуе. Калі ён і існуе, то толькі сярод новых лікаў. Але як жа ў такім выпадку мы можам гаварыць аб здабытку? Множанне ж новых лікаў яшчэ не было вызначана! Такім чынам, ужо азначэнне ўяўнай адзінкі было матэматычна некарэктным. Аб множанні новых лікаў мы гаварылі фактычна і тады, калі патрабавалі, каб новае мноства лікаў разам з сапраўдным лікам Ь і ўяўнай адзінкай і змяшчала іх здабытак Ы. Далей, мы гаварылі аб суме a 4 Ы, хоць складанне новых лікаў гэтак жа, як і множанне, яшчэ не было вызначана.
Вось чаму наша выкладанне тэорыі камплексных лікау нельга прызнаць магэматычна строгім. Але як жа ў такім выпадку ўвесці ў разгляд камплексныя лікі? Адказ на гэта пытанне даецца ніжэй.
Камплекснымі лікамі называюцца лікі. якія запісваюцца ў выглядзе a + bi, дзе а і b — адвольныя сапраўдныя лікі, а і — некаторы сімвал.
Уводзячы абазначэнне a + Ы, мы зусім не звязваем яго з якой бы там ні было сумай. Знак «4» у выразе a + Ы пакуль не з’яўляецца прызнакам суміравання. Ён уваходзіць 'проста як састаўная частка аднаго, не падзяляемага на часткі, выразу a + Ы. Адэначым таксама, што мы не патрабуем загадзя, каб выконвалася суадносіна і2 = — 1. Бо пакуль што і — гэта проста сімвал, а не лік.
Па азначэнню a \ Ьі = с \ di тады і толькі тады. калі a = с, b — d.
Сума двух камплексных лікаў вызначаецца па формуле:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (1) а здабытак. — па формуле:
(а 4 Ы) (с + di) — (ас — bd) + (ad + be) і. (2)
Рознасць двух камплексных лікаў a + Ы і с + di вызначаецца як такі камплексны лік, які ў суме з с \ di дае a + Ы. Як было даказана ў § 245, гэты лік існуе і роўны (а — с) \ (Ь — d) і, гэта значыць
(а + Ы) — (c+di) = (a—c) + (b — d) і. (3)
Дзеллю ад дзялення камплекснага ліку a + Ы на камплексны лік с + di называецца такі камплексны лік, які ў выніклу множання на с\di дае а\Ы. у § 247 было даказана, што калі с \ di =/= G \ 01, то дзель ад дзялення a + Ы на с + di існуе і роўна:
a + bi ас bd ( be — ad с di ~ с2 ) d2 с2 + d2
3 прыведзеных вышэй чатырох формул натуральнымі на першы погляд здаюцца толькі формулы (1) і (3). Другія ж дзве формулы няжка зразумець з першага погляду. Вось чаму мы пачалі з такога выкладу тэорыі камплексных лікаў, які хоць і з’яўляецца нястрогім, але затое дае магчымасць зразумець, як можна прыйсці да формул (2) і (4).
581
Дзеянні складання, множання, адымання і дзялення над камплекснымі лікамі прыводзяць зноў жа да камплексных лікаў. Паглядзім, ці выконваюцца пры гэтым тыя законы складання і множання, якія былі ўласцівы сапраўдным лікам:
Zl+Zj^Zj+Zi;
(2i+z2) +23 = гі4 (z2+z3);
21 Z2 = Z2 'Zb
(Z1 22)23 = 21 (Z2'Z3);
(Z1+Z2)Z3 = ZiZ3+Z2Z3.
Калі мы пакажам, што гэтыя законы выконваюцца, то тым самым будзе даказана, што мноства ўсіх камплексных лікаў утварае поле.
Пачнём з першага закону. Няхай z^a+bl, z2—c+di. Тады zi+z2= (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i, Z2+Z1— (c+di) + (a+bi) = (c+a) + (d+b)i,
Для сапраўдных лікаў перамяшчальны закон складання, як мы ведаем, выконваецца. Значыць, а+с=с+а, b+d=d+b. Таму камплексныя лікі zt+z2 і z2+zi маюць аднолькавыя сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках. Але ў такім выпадку ЯНЫ роўнЫЯ: Zi+Z2 = Z24Zi.
Цяпер звернемся да пятага закону. Няхай zi — a+bi, z2—c+ +di, z3=e+fi. Тады zt+z2= (a+c) + (b+d)i.
Значыць,
(zi+z2)z3= [(a+c) + (b+d)i] (e+fi) = = [(a+c)e(b+d)f] + [(a+c)f+(b+d)^ = [ (ae—bf) + (ce—df) ] + [ (af+be) + (cf+de) ] i.
3 другога боку,
ZiZ3= (a+bi) (e+fi) = {ae—bf) + (af+be)i, z2z3 = (c+di) (e+fi) = (ce—df) + (cf+de) i.
Таму
Z1Z3+Z2Z3= [ (ae—bf) + (ce—df) ] + [ (af+be) + (cf+de)] i.
Параўноўваючы лікі (zi+z2) z3 i ziz34z2z3, мы заўважаем, што яны маюць адпаведна роўныя сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках. Але ў такім выпадку гэтыя камплексныя лікі роўныя паміж сабой: (z\+z2^z3=z\z3+z2z3.
Мы даказалі, што для камплексных лікаў выконваюцца перамяшчальны закон складання і размеркавальны закон множання адносна складання. Прапануем вучням самастойна пераканацца ў тым, што для камплексных лікаў выконваюцца і ўсе астатнія законы складання і множання.
Такім чынам, мноства ўсіх камплексных лікаў утварае поле.
582
Практыкаванне
1995. Ці ўтварае поле сукупнасць усіх лікаў выгляду: а) 0+Ы, дзе b — сапраўдны лік;
б) а+аі, дзе a — сапраўдны лік;
в) аАЬі, дзе a і b — адвольныя рацыянальныя лікі?
§ 249. Геаметрычнае ізабражэнне камплексных лікаў
Як вядома (гл. § 44), сапраўдныя лікі можна абазначаць пунктамі лікавай прамой. Пры гэтым кожнаму сапраўднаму ліку адпавядае адзіны пункт лікавай прамой. Напрыклад, сапраўд
5
— адпавядае пункт А (рыс. 326), які знаходзіцца
2 5
пачатковага пункта 0 на адлегласці ў — адзінкі даў
наму ліку
справа ад
с д жыні; сапраўднаму ліку — 2 адпавядае
—і1+—і пункт В, які знаходзіцца злева ад пунк
~2 ° № 7 та 0 на адлегласці ў 2 адзінкі даўжыні;
сапраўднаму ліку V 2 адпавядае лік С, Рыс. 326. які знаходзіцца справа ад 0 на адлегласці ў 2 адзінкі даўжыні. Наадварот, кожнаму пункту лікавай прамой адпавядае зусім пэўны сапраўдны лік. Напрыклад, пунктам A і В (рыс. 326) адпавядаюць рацыя5
нальныя лікі — і —2, а пункту С — ірацыянальны лік ^/2.
Такім чынам, мноства ўсіх сапраўдных лікаў знаходзіцца ва ўзаемна адназначнай адпаведнасці з мноствам усіх пунктаў лікавай прамой.
Падобна да таго як сапраўдныя лікі можна абазначаць пунктамі лікавай прамой, камплексныя лікі можна геаметрычна аба
значаць пунктамі плоскасці.
Кожнаму камплекснаму ліку а\Ьі паставім у адпаведнасдь
пункт плоскасці з каардынатамі (а, Ь). паставім у адпаведнасць (рыс. 327) пункт А з каардынатамі (2, 3), ліку —1Н— пункт В з каардынатамі ( — 1, 1), ліку 4+0і — пункт С з каардынатамі (4, 0), ліку О—2і— пункт D з каардынатамі (0, —2) і Г. Д.
Кожны пункт плоскасці мае пэўныя каардынаты. Таму пры выбранай адпаведна'сці кожнаму пункгу плоскасці будзе адпавядаць некаторы камплексны лік. Напрыклад,
Напрыклад, ліку 2|Зі
Рыс. 327.
583
пункту А з каардынатамі (2, 3) адпавядае лік 2+3« (рыс. 327), пункту В з каардынатамі (—1, 1)—лік —1+;, пункту С з каардынатамі (4, 0) — лік 4+0t, а пункту D з каардынатамі (0, —2) — лік 0—2і. Але ці не можа здарыцца так, што аднаму і таму ж пункту плоскасці, напрыклад пункту (а, 0), будуць адпавядаць розныя камплексныя лікі, напрыклад а\+Ьіі і а2+62і? Калі б было так, то мы мелі б:
«=«1, Р = 6Ь
0 = 02, Р = 62.
Адсюль аі = а2, 61 = 62. Але ў такім выпадку лікі аіА~Ь\і і а2+62і былі б роўныя паміж сабой.
Такім чынам, кожнаму камплекснаму ліку а\Ьі адпавядае адзін, зусім пэўны пункт плоскасці, а іменна пункт з каардынатамі (а, Ь), Наадварот, кожнаму пункту плоскасці (a, р) адпавядае адзін, зусім пэўны камплексны лік, а іменна лік а+р і. Такім чынам, мноства ўсіх камплексных лікаў знаходзіцца ва ўзаемна адназначнай адпаведнасці з мноствам усіх пунктаў плоскасці.
КНІГІ ОНЛАЙН
