Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Такім чынам, дакладна рашыць алгебраічнае ўраўненне ступені вышэй чацвёртай удаецца не заўсёды. Аднак сучасная матэматыка мае вельмі эфектыўныя метады набліжанага рашэння такіх ураўненняў. Гэтыя метады даюцца ў кнігах па вылічальнай матэматыцы.
§ 260. Гістарычныя заўвагі
Першае ўпамінанне аб «уяўных» ліках як аб коранях квадратных з адмоўных лікаў адносіцца яшчэ да XVI стагоддзя. У 1545 годзе італьянскі вучоны Кардана (1501—1576) апублікаваў працу, у якой, імкнучыся рашыць ураўненне х3 — 12х 4 16 = 0, ён прыйшоў да выразу У — 243. Праз гэты выраз даваліся сапраўдныя корані ўраўнення х, = х2 = 2; х3 = — 4. Такім чынам, у працы Кардана ўяўныя лікі з’явіліся як прамежкавыя члены ў вылічэннях.
У 1629 годзе галандскі вучоны Жьірар (1595—1632) упершыню выказаў сцверджанне, што ўсякае алгебраічнае ўраўненне nй ступені мае роўна п кораняў. Строга даказаць гэта яму не ўдалося. Як мы ведаем, гэта зрабіў Г а ў с толькі ў 1799 годзе. Аднак важна тое, што, выказаўшы правільную гіпотэзу, Жырар падкрэсліў, што, акрамя сапраўдных кораняў, пры гэтым трэба ўлічваць і камплексныя корані.
Да сярэдзіны XVIII стагоддзя камплексныя лікі з’яўляюцца”толькі эпізадычна ў працах некаторых матэматыкаў. 3 сярэдзіны XVIII стагоддзя Д а л а м б е р, Эйлер і Лагранж з поспехам выкарыстоўваюць функцыі камплекснага аргумента для рашэння некаторых задач гідрадынамікі. 3 дапамогай функцый камплекснага пераменнага рашаюцца задачы аб складанні геаграфічных карт, a таксама рад чыста матэматычных задач. Да канца XVIII стагоддзя былі вывучаны ўсе асноўныя ўласцівасці камплексных лікаў. Гэтыя лікі становяцца адным з наймацнейшых інструментаў матэматыкі.
Аднак матэматыкі XVIII стагоддзя не разумелі да канца прыроды камплексных лікаў. Яны лічылі гэтыя лікі ўяўнымі, пазбаўленымі ўсякага аб’ектыўнага зместу.
605
Толькі ў канцы XVIII стагоддзя, калі ў матэматыку трывала ўвайшлі вектары, камплексным лікам стала магчыма даць простую геаметрычную інтэрпрэтацыю і растлумачыць правілы дзеянняў над імі. Упершыню гэта зрабіў датчанін Весель (1745—1818). Цікава адзначыць, што Весель не быў спецыялістамматэматыкам. Яго даследаванні аб геаметрычным вытлумачэнні камплексных лікаў доўгі час заставаліся невядомымі і звярнулі на сябе ўвагу толькі ў другой палавіне XIX стагоддзя.
Поўнае прызнаннг матэматыкамі камплексных лікаў пачалося толькі пасля выхаду ў свет прац Г а ў с а.
Адным з самых выдатных дасягненняў матэматыкаў XVIII і XIX стагоддзяў з'яаілася стварэнне тэорыі функцый камплекснага пераменнага. Гэта тэорыя адыгрлвае цяпер адну з асноўных ролей у прыкладной матэматыцы.
Згдачы на паўтарэнне
2065. Ці можа сума квадратаў двух лікаў быць адмоўнай? Адказ растлумачыць на прыкладах.
2066. Пры якой умове квадрат камплекснага ліку a 4 bi з’яўляецца чыста ўяўным лікам?
2067. У якім выпадку сума і здабытак двух камплексных лікаў з’яўляюцца сапраўднымі лікамі?
Спрасціць выразы:
2068. (1 + z)2 + (l —02.
2069. (1+ і)3 + (1—і)3.
2070. (1 +0, + (10’.
2071.
2072.
2073.
1 4~} 1 —{
1 — і 1 + ;"
(1 + 08 , (1і)4 1 і (1 + 0’ I • (1 + і)2 (6 — 81) (2 — 1 1 — 21
0,4(1—і)8 ’ ^4 + 31 3 + 41
Даказаць тоеснасці:
2074. (1 + 020 = —210.
І2075. (1 — і)30 = 215 /.
2076. Скласці квадратнае ўраўненне з сапраўднымі каэфіцыентамі, адзін з кораняў якога роўны:
a) (5 + t) (і —3);
2077. Ці можа квадратнае ўраўненне з сапраўднымі каэфіцыентамі мець корані 1 + і і 1 + 2І?
2078. Знайсці сапраўдныя лікі х і j з ураўненняў:
. Зх — іу _ 7 + 51
2у Ых ~ Т2^ 8і ’
У~іх _ 4 + 1
' х + іу 41 — 1 ‘
606
2079. Знайсці чыста ўяўныя лікі м і о з ураўненняў:
а) 5у — Ійі = — 7 + 5і;
б) 2« + 3w = 12 + 6«.
2080. Даказаць, што для любых камплексных лікаў ^ + z2l2+ + IzjZjI2 = 2 I Zi I2 + 21 гг|а. Якую вядомую з геаметрыі тэарэму аб дыяганалях паралелаграма выражае гэта суадносіна?
2081. Знайсці модуль і аргумент камплекснага ліку
(5— 12і) (3 —4і).
2082. Выразіць модуль і аргумент камплекснага ліку праз модуль і аргумент супрэжанага з ім ліку.
2083. Даць у трыганаметрычнай форме камплексныя лікі:.
a) 1 + і tg a;
2084. Пункт плоскасці А паказвае камплексны лік a + Ы. Які лік паказвае пункт В, сіметрычны пункту А адносна:
а) сапраўднай восі;
б) уяўнай восі;
в) пачатку каардынат?
2085*. На плоскасці вядома становішча пункта, які адпавядае камплекснаму ліку z. Як пры дапамозе цыркуля і лінейкі адшукаць на той жа плоскасці пункт, які адпавядае камплекснаму ліку —7
2086. Даказаць, што ўсе корані nй ступені з камплекснага ліку r (cos ф + і sin <р) геаметрычна паказваюцца як вяршыні правільнага пвугольніка. Знайсці старану гэтага пвугольніка.
2087. Даказаць, што сума ўсіх кораняў nй ступені з любога камплекснага ліку роўна нулю.
2088. Вылічыць:
(|/y + lj10 + (]/3_lj10.
2089. хь х2 і х3— корані ўраўнення х3—1=0. Чаму роўны выраз
^І ^2 *2 Аз лз Л2
Р а з д з е л XII
МЕТАД МАТЭМАТЫЧНАЙ ІНДУКЦЫІ
§ 261. Агульныя і прыватныя сцверджанні. Дэдукцыя і індукцыя
Усе сцверджанні можна падзяліць на агульныя і прыватныя. Прыкладам агульных сцверджанняў з’яўляюцца сцверджанні:
1. У любым трохвугольніку сума дзвюх старон большая за трэцюю старану.
2. Усе лікі, якія канчаюцца цотнай лічбай, дзеляцца на 2 і г. Д.
Прыватнымі з’яўляюцца, напрыклад, сцверджанні:
1. У трохвугольніку ABC (рыс. 337) $
сума дзвюх старон AB і ВС большая за трэцюю старану AC. /
2. Лік 136 дзеліцца на 2. /
Пераход ад агульных сцверджанняў . / \
да прыватных называецца дэдукцыяй.
Дэдукцыя вельмі часта выкарыстоўва рыс. 337.
ецца ў матэматыцы. Усе агульныя тэарэмы мы даказваем іменна для таго, каб затым выкарыстаць іх для рашэння розных прыватных задач.
Але разам з гэтым у матэматыцы часта даводзіцца ад прыватных сцверджанняў пераходзіць да агульных, Напрыклад, разглядаючы арыфметычную прагрэсію аь а2, а3..... ап, ... (§ 142), мы заўважылі, што
«2 = «і + d, аз — аі + 2d, а4 = аі + ?>d.
Зыходзячы з гэтых прыватных формул, мы зрабілі вывад, што пры любым натуральным п
ал = аі + (п — 1Н
Пераход ад прыватных сцверджанняў да агульных называецца індукцыяй.
608
У адрозненне ад дэдукцыі Індукцыя можа прывесці як да правільных, так і да няправільных вынікаў. Напрыклад, разглядаючы значэнні квадратнага трохчлена /(«) = n2 + п + 41 пры розных натуральных значэннях п, можна заўважыць, што гэтыя значэнні выражаюцца простымі лікамі (гэта значыць лікамі, якія без астатку дзеляцца толькі на сябе і на 1).
Сапраўды,
/(1) = 43;
/(2) = 47;
Д3) = 53;
/(4) = 61
і г. д. Напрошваецца вывад, што пры любым натуральным п значэнне выразу п2 + л + 41 з’яўляецца простым лікам. Аднак вывад гэты з’яўляецца няправільным. Напрыклад, пры п = 41
+ + /г+ 41 = 412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 • 43.
Няхай некаторае сцверджанне справядліва ў некалькіх прыватных выпадках. Разгляд усіх астатніх выпадкаў або зусім немагчымы, або патрабуе вялікай колькасці вылічэнняў. Як жа даведацца, ці справядліва гэта сцверджанне наогул? Гэта пытанне часам удаецца рашыць пры дапамозе скарыстання асобага метаду разважанняў, які называецца метадам матэматычнай індукцыі. Гэты метад мы разгледзім у наступным параграфе.
У матэматыцы ўжо здаўна выкарыстоўваецца індуктыўны метад, заснаваны на тым, што тое ці іншае агульнае сцверджанне робіцца на падставе разгледжання толькі некалькіх прыватных выпадкаў. Гісторыя, напрыклад, захавала наступнае выказванне вялікага Э й л е р а: ,,У мяне няма для доказу ніякіх іншых вывадаў, за выключэннем доўгай індукцыі, якую я правёў так далёка, што ніякім чынам не магу сумнявацца ў законе, кіруючым утварэннем гэтых членаў... I здаецца немагчымым, каб закон, які, як было выяўлена, выконваецца, напрыклад, для 20 членаў, нельга было б назіраць і для наступных“.
Верачы ў беспамылковасць індукцыі, вучоныя часам дапускалі грубыя памылкі. К сярэдзіне XVII стагоддзя ў матэматыцы назбіралася нямала памылковых вывадаў. Стала моцна адчувацца патрэба ў навукова абгрунтаваным метадзэ, які дазваляў бы рабіць агульныя вывады на падставе разгледжання некалькіх прыватных выпадкаў. I такі метад быў распрацаваны. Асноўная заслуга ў гэтым належыць французскім матэматыкам Паскалю (1623—1662) і Дэкарту, а таксама швейцарскаму матэматыку Якабу Б е р н у л і (1654 — 1705).
Практыкаванні
2090. Якія з дадзеных сцверджанняў з’яўляюцца агульнымі і якія прыватнымі:
а) лік 16 цотны;
б) уеякі лік, які канчаецца лічбай 6, цотны;
в) сінус любога вугла па абсалютнай велічыні не перавышае 1;
609
г) сінус вугла 50° менш 1;
д) дзесятковы лагарыфм ліку — 2 нявызначаны;
е) адмоўныя лікі не маюць дзесятковых лагарыфмаў?
2091. Лікі 24, 64, 104 дзеляцца на 4. Ці можна на аснове гэтага сказаць, што любы лік, які заканчваецца лічбай 4, дзеліцца на 4?
2092. Сінусы вуглоў 45° і 60° ірацыянальныя
4)
Ці можна з гэтага зрабіць вывад, што сінусы любых вуглоў ірацыянальныя?
§ 262. Метад матэматычнай індукцыі
У аснове метаду матэматычнай індукцыі ляжыць наступны ПрЫНЦЫП.
Некаторае сцверджанне правільнае пры. любым натуральным п, калі:
1) яно правільнае пры n = 1 1
2) са справядлівасці гэтага сцверджання пры якімнебудзь адвольным значэнні n = k(k>\) вынікае, што яно правільнае і пры п = k + 1.
Сапраўды, пры п = 1 сцверджанне правільнае з прычыны 1). Далей, 2=1 + 1, а таму з прычыны 2) сцверджанне правільнае пры п = 2; 3 = 2+1, таму з прычыны 2) сцверджанне правільнае і пры п = 3. Наогул, любы натуральны лік п можа быць атрыманы з 1 шляхам паслядоўнага дадавання да яго адзінкі п — 1 разоў. Пры кожным такім дадаванні мы атрымліваем натуральны лік, для якога разглядаемае сцверджанне правільнае. Таму яно правільнае і для натуральнага ліку п.
Метад доказу, заснаваны на выкарыстанні гэтага прынцыпу, называецца метадам матэматычнай індукцыі.
Разгледзім некалькі прыкладаў.
Прыклад 1. Знайсці суму
" ” 1 • 2 2 ■ 3 + 3 • 4 ‘ n(n+ 1)'
Спачатку знойдзем суму аднаго, двух, трох і чатырох складаемых. Маем:
1 • 2 " 2 ’
" 1 . 2 + 23 2'6 3 ’
610
Ss =
1
1 • 2
23 3 • 4 3 12 ~ 4 ’
1 1 ■ 2 + 2 • 3 3 ■ 4 T 4 ■ 5 4 T 20 5 '
У кожным з гэтых выпадкаў якога стаіць лік складаемых а ў за лік складаемых. Гэта дазваляе
што пры любым натуральным п Sn
атрымліваецца дроб, у лічніку назоўніку — лік, на 1 большы выказаць гіпотэзу (дапушчэнне),
КНІГІ ОНЛАЙН
