КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

2238.	Цела ўтварае гарманічныя ваганні з амплітудай Л, частатой ш і пачатковай фазай <р. Знайсці скорасць і паскарэнне гэтага пункта.
2239.	Ці могуць дзве розныя функцыі мець роўныя вытворныя? Адказ растлумачыць прыкладамі.
2240.	Даследаваць дадзеныя функцыі і пабудаваць іх графікг.
а) у = х — Зх3;	б) у = х* — 4х;
в) I/ = cos2 g; Г) у = cos X (1 4 sin х).
2241.	Няхай С* = Сгп. Даказаць, што або k = r, або k= п~г.
2242.	Даказаць, што 1000я вытворныя функцый (2х2 + 7)10“ і (7х2 + 2)100 роўны адна другой.
2243.	Няхай (х — 2)і»° = а0 + аіх + аіх* 4Н «юо*100 Знайсці:
а)	а8’і
б)	а0 + аі + °і + ■■ ■ + аіооі
в)	О( 4" 2я2 + За3 + ... + 100а]оо.
626
п ^244, Даказац? што квадрат сумы п лікаў роўны суме квадр ау гэтых лікау складзенай з разнастайнымі іх падвоенымі папарнымі здабыткамі.
п^/245’ Даказаць’ што калі ^ —перыяд функцыі Нх), то пры б99^напуральньш п пТ~таксама перыяд гэтай функцыі.
224b. Даказаць тоеснасць:
Л («ій2 ... а^ = lg аі + lga3 + ... + Ig^
(Яі >0, аа > 0, .... ая > 0).
2247. Даказаць, што пры любым натуральным nsmnx і cosnx выражаюцца рацыянальна праз sinx і cosx.
2248. Даказаць няроўнасць
2249. Даказаць тоеснасць:
k 2 + I 2 + /2 + + 7==(
2Я+І ’
2250. Праверыць справядлівасць няроўнасці: зіп’Чф cos2"a < 1,
дзе п — натуральны лік.
2251. Даказаць, што вытворная сумы любой функцый роўна суме вытворных гэтых функцый.
колькасці
дыферэнцыруемых
7<21«
АДКАЗЫ ДА ПРАКТЫКАВАННЯЎ
1. Лінейныя ўраўненні і няроўнасці
= s= №■«	”^.3
=ХГ^’^Т“а»ЙS“ Z^'.Tf ж
лентныя; б) не; в) не; г) не; д) эквівалентныя. 14. Кал. a  1, то адзін. х
калі а * 1. то ні аднаго. 26.	27. Пры а = 1 няма кораняў; пры а^І
5 28. Пры a = 0 кораняў няма; пры о =# 0 х = —• 29. Калі a — 1’	’	4|«і
то х  любы; калі a ^ ± 1, то х = 0. 30. Калі а^2, то х в + 21
а= і 1,
х =
пры 0=
____2 кораняў няма. 31. Калі а^ ± 1, то х няма; пры a =  1 х  любы. 32. Калі a = 1 і a = 1 і b = — 1, то х — любы; пры a ^ 1 х =
1
7; калі a — 1
Ь ^ — 1, то
a = 1, то
кораняў
a — 1'
36.
37. He. 38.
кораняў няма; калі а) Могуць, калі He. 39. б) 5 год
™ * О’б™ быў у 4\ТзТста?Х^	Патрэбную коль
Sb ЙаТможнаетрымаць толькі ў тым выпадку, калі лі^знаходз.цца пам.ж лікамі р і q. Пры гэтым лому першага гатунку трэба ўзяць — тон. 50. Ня
PQ
„ і	19 х = ——; пры a =  19 няма кораняў.
ма кораняу. 51. —1 52. Нры	х 2	’ 1
53. Калі a ^ 1, то х = ^; пры a = 1 няма кораняў.
кожны лік з’яўляецца коранем ураўнення; калі адзін з нулю а другі адрозны ад нуля, то кораняу няма; кал> a ^ 0 і b 0, о2 , Ь2 х =	, пры b = a хлюбы, акрамя—, пры Ь = а
няма 55 Кал^=0іа =	1, тохлюбЫ;каліЬ = 0іа^1,токораняўняма;
пры м0 і а^  1 х=±^; пры Ь^ 0 і a =  1 кораняў няма. 56. Пры
54. Калі a = b = 0, лікаў a i b роўны
TO пры кораняў
628
6^01 6^1 * = 2; пры 6 = 0 х — любы лік, акрамя у; пры b = 1 ураўненне не мае сэнсу. 57. Калі a = 0, то х — любы лік, акрамя 0; калі a ^ 0, то x = _La. 58. Калі хаця б адзін з лікаў т і п роўны нулю, то кораняў няма; калі абодва лікі т і п адрозныя ад нуля і т = п, то х — любы лік, акрамя п; пры m ^ 0, п^0іт^=пх = т + п. 59. Адносна х: калі 6^0, то кораняў няма; калі 6 = 0іа^0, тох — любы лік, акрамя 0; пры a = 6 = 0 ураўненне не мае сэнсу. Адносна Ь: калі хаця б адзін з лікаў а і х роўны нулю, то кораняў няма; калі a =^ 0 і х ^ 0, то 6=0. 61. Калі a > 1, то х = ± (a 1); пры a < 1 кораняў няма. 62. 0,5; 1,5. 63. Калі a > 0, то х = 1 ± a; калі a < 0, то кораняў няма. 64. 0. 65. —у. 66. у. 67.—2; у~. ^^ ^ожа’ кал' в = ^’ а 6 — дадатны лік( 73. а) Няма; напрыклад, пры a = 6 = 1; б) заўсёды; в) не; напрыклад, пры адмоўным с; г) няма. 75. х — любы лік, што знаходзіцца ў інтэрвале ад — 1 да 1 (уключаючы гэтыя два лікі). 76. х — любы лік, які не перавышае — 3. 77. Няма кораняў. 78. Няма кораняў. 79. а) a >0; б) 6>0, 6 =£ 1; в) a #= 0; г) 6 — любы; д) х — любы; е) a і b — любыя лікі, не ’рбўння нулю адначасова. 84. а) Калі a = 0, to a2 = 5a2 = 2a2; калі a ^ 0, to a2 < 2a2< 5a2; c) калі a > 1, to a < a2 < a3; калі 0 < a < 1, to a > a2 > a3; пры a = 0 i a = 1 a = a2 = a3; калі —1 < a < 0, to a < a3 < a2; калі a < — 1, to a3 < a /26> >/2 + + ЎТ. 100. (1 + К'Ю100 > З100. 102. (/"5 — Кз)н < (1^6  / 2)51. 103 а) —0,4 < a < 2; б) —2 < a <.0,4. 104. 6,6 < a + 6 < 6,8. 105. 5,61; 5,66.
'	22	25
106.	0,2; 0,4. 107. а) 1,38; 1,68; б) — ~, —118. Хутчэй у бязветранае надвор’е. 125. Указанне. a + 6 > 2 Каб; 6 4 с > 2 /с&; a + с > 2 У ас131. 2. 133. а) a = 4; б) a =ў; в) a = У~5. 134. а) a = 1; б) a = 2; в) 0.
d2
135.	Квадрат з плошчай 2 Я2. 136. Квадрат з плошчай —. 137. Квадрат са ста
раной у. 138. а) 1; б) няма кораняў; в) —1. 139. Першая брыгада. 142. Памылка пры ўзважванні на некаторых электрычных вагах складае не болып 0,001% ад сапраўднай вагі цела. 149. а) 5,5; б) 3,7; в) 8,6; г) 0,6. 150. а) 14,97 з дакладнасцю да 0,09; б) —24,20 з дакладнасцю да 0,08; в) —8,99 з дакладнасцю да 0,05. 151. а) 0,0005; б) 0,0005; в) 0,00009 (больш дакладна, y^j. 152. а) Эквівалентныя; б) не; в) не; г) эквівалентныя. 153. а) Эквівалентныя; б) эквівалентныя; в) эквівалентныя; г) эквівалентныя; д) не; е) не; ж) нв; з) эквівалентныя. 155. х > 1. 159. Калі a > 6, то х > —1; калі a < 6, то х < —1. 163. Калі a > —2, то х > 3	; Калі a < —2, то х < —кал* а = —2 1 6 > 3,
a 4 2	a + 2
to х — любы; пры a = —2, 6 < 3 няма рашэнняў. 164. х> у. 165. Калі 2	2	3
a > —1,	то х > ———калі a < 1, тох<7—пГ' 1^1 * >т~ 174Калі
(a + I)2	(a + I)2	4
a > 0, to x > —; калі a < 0, to x < —; пры a=0 няма кораняў. 181. x > 1,1, a
5
186.	x < —4; x > 7,5. 187. 1 < a < z; 6 > 0. 188. 2 < a < 3, 3 < a < 4,5;
4	3
6—	любы. 189. 3 < x < 3,5. 190. Калі a > 0, to< x < —; калі a < 0, to aa
21 Я. C. Качаткоў, K. C, Качаткова
629
у < х <~\ пры a = 0 х — любы. 191. 39° < 7 < 55°. 194. Дадатная пры
2,5 < х < 3; адмоўная пры х < 2,5 і пры х > 3. 196. х < 0; х > 1. 197. —11<х<—5. 198.< х < — 3. 199. х < 0; х > 2. 200. 0 < х < —.
6	3
201.	х > 2. 203. х < 0; х > 2. 205. х < 0; 0 < х < 2. 207. —1 < х < 5. 208. з
х < —9; х > 11. 212. х < 1; х > 3. 215. х >—. 216. Пры a < 0 рашэнняў
. a b a — b .	„ ,
няма; калі a > 0, to— < х <——; калі a = 0, b =£ 0, то рашэнняў няма; пры a  t = 0 х — любы. 223. а) —15; б) 3; в) 121; ж) 1. 224. а) Зменіць знак на процілеглы; в) не зменіцца. 225. а) 6, б) —2; в) 0; г) пры любым а. 227. а) ± 2; б) 0; в) ні пры якім значэнні а радкі дадзенага вызначальніка не прапарцыянальныя. 231.—; —6; —6. 232. 4; 5 —a; 5« + 3a2 (a =4 0).
234.	а) Можна, калі толькі a =4 ± 6; в) можна. 235. Калі a = 0, то рашэнняў няма; калі a 4= 0, то х =—, у = —. 237. Калі a 0, то х , a = 2; a 2а	a
пры a = 0 сістэма несумесная. 238. Калі a 4= 0, то х = 0, у = у; пры a = 0 сістэма несумесная. 239. Сістэма несумесная. 240. Калі a 4= ± 1, то х = —!—, у = 0; пры a = — 1 сістэма несумесная; пры a = 1 яна не мае сэнсу. 242. х — t, у = t — 1, дзе / — любы лік. 243. х = t, у = = /, дзе / — любы лік. 245. а) Бяс
концае мноства рашэнняў; б) сістэма несумесная. 247. Калі a 4= ± 4, то х = 12	6	„	.	^ + З
=У = КаЛ1 ° = ~4, то x = t’ у = “2—’ ДЗе * — Л!обы лік; пры a = 4 сістэма несумесная. 248. Калі a 4= ± 3, то х = 2, # = 1; калі a = + 3, то х = /, у — —^~~> Дзе * — любы лік. 249. Калі а 4= ў, то
a (2a — 3)	2a2 — a + 1	1	.
x = 2 _ 2. ’ У ~ 2 (І — 2aJ~’ ПРЫ ° =2" с1стэма несумесная. 260. а) 2;
6) a < 0; a > 2; в) 0 < a < 2; r) a 4= 2. 262. Калі a =4 0 i a * y, to x = 4.
Калі 269. 272.
275.
a = 0, to x — любы лік, акрамя 1. Пры a= y ураўненне не вызначана. Па возеры. 270. Указанне. Скарыстаць рэзультат практ. № 267.
h>	273. 2,8 <х< 8. 274. —2 < х <1; 5 < х < 6.
— 1 < х < 2. 276. Калі a ± 1, то х — у	—; калі a = 1, то х =
1 + a
у — Ь — /; калі a = — 1,6^0, то сістэма несумесная; калі a — — 1, b ~ 0, то х — у = 1, дзе 7 —любы лік. 277. х= 1, у =—V, акрамя таго, пры а\ < 1
a2 + 2a — 1	1 4 a2
атрымліваешіа яшчэ адно рашанне: х = —j—, у = "j a2'
278. Калі
a = — 1, п х — t, у =
/
1 + 3/’
,, дзе / — любы лік, адрозны ад 0 і
пры
a 4= — 1 сістэма несумесная. 279. Калі a 4= 2, то х =у «/= a 4* 1; пры
9
а = 2 х — t, у = 2 — t, дзе / — любы лік. 280. Пры m =—; п можа
быць
630
4	10
любым. 281. 6,40 < a < 3,75. 282. a = — ^, i =y	284. Дадзеныя
ўмовы не выконааюцца ,ні пры якіх значэннях a. 285. х знаходзіцца з дакладнасцю да 0,006 ^дакладней, ^J а у — з дакладнасцю да 0,005 ^больш 3 \	34	38	9	12
дакладна, 288. — <т<~ —<„<—.
II. Сапраўдныя лікі
292.	а)1~; б) пе; в) —2. 293. а) у; б) і 294. а) 1; у; 2;
б)	—; 1; 3; в) g; —; 1. 295. а) і в) азначэнні, б) і г) тэарэмы. 299. У к а з а н„	. (a + &) + (a — 6) д (a + 6) — (a — &)
н е. Выкарыстань тоеснасці a = ■?, о =$.
302.	Усе дзельнікі ліку п маюць выгляд 2т5*. 308. Няхай Д — агульная мера адрэзкаў AB і CD. Тады адрэзак ^ будзе агульнай мерай адрэзкаў —^
CD
1		. 309. Калі б nя доля АВ і пія доля CD мелі агульную меру Д, то Д
т
было б і агульнай мерай адрэзкаў АВ і CD. 310. Няхай Д — агульная мера адрэзкаў At і Д2. Прыняўшы Д за адзінку даўжыні, атрымаем, што [Д^ = т, |Д2| = п, дзе т і п — натуральныя лікі (зпачок [ | ужываецца для абазначэння даўжыні). Але тады j Д!|Дг| =m + «, it — Д2 | = т — п. Значыць, Д з'яўляецца агульнай мерай адрэзкаў Дх + Д2 і Д, — Д2. Адваротнае сцверджанне таксама правільнае. 313. Даказваецца метадам ад адваротнага з дапамогай рэзультату задачы 312. 315. а) Сувымерныя; б) сувымерныя; в) не. 318. г) 15,25... > ўў 319. б) ў >—0,375...; в) ў = 0,5555... (адны пяцёркі); г) які з лікаў большы: 0,3333... uljсказаць нельга; усё залежыць ад таго, якія дзесятковыя знакі ліку 0,3333..., што стаяць пасля чацвёртай тройкі; напрыклад, 0,33331 < ў, але 0,33335 > ў. 324. а) 3 недахопам: 1; 1,7; 1,73; 1,732; ... . 3 лішкам: 2; 1,8; 1,74; 1,733; ...; б) з недахопам: —2; —1,8; — 1,74; — 1,733; ... . 3 лішкам: —1; — 1,7; —1,73; — 1,732; ... . 326. He; напрыклад, a =ў = 0,333 ... . 327. а) 3,146...; в) 0, 317..,; г)—0,317 ...; д) 1,902...; е) — 1,013 ...; ж) — 1,486...; з) 3,479... . 328. а) 3 недахопам: 3; 3,1; 3,14; 3,145; ...; б) з недахопам: 4; 4,3; 4,37; 4,377; ...; в) з недахопам: —1; —1,0; —0,92; —0,914; .... 330. He, не заўсёды; напрыклад, /2 = 1,4142...; 2—•/ 2 = 0.5857..., але/24+ (2/2)= 2,000... = 2. 331. б) 0,88...; г) —3,16...; е) —2,73... . 334. He заўсёды. 335. а) 0,91... . 337. а) 1,03; б) 0,14; в) —1,22. 344. а) Можа; напрыклад, пры т—\, п = 2; б) можа, напрыклад, пры m = л; в) не, не можа. 345. Будуць. 351. He. 352. 1ы спосаб. Калі хоць бы адзін з лікаў a\~ b /2 і яб/2