Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
2050. Ці могуць аргументам камплекснага ліку адначасова быць вуглы <р і —ф?
Наступныя камплексныя лікі даць у трыганаметрычнай форме, вызначыўшы іх модулі і аргументы:
2051*. 1 + cos a + г sin а.
2052. sin cp + і cos 1 ^2 . Але
COS • Г2 (COS ?2 + i 8ІП ?2) ... Гп (COS qn + І 5ІП ?„) =
= rl r2 . . . rn [cos (?i + ?2 + .. . + ?;i) + i sin (?! + ?2 + . . . + ?„)].
У прыватным выпадку, калі ўсе сумножнікі роўныя паміж сабой, атрымліваем:
[r (cos ? + і sin ?))’ = rn (cos n? + isinn ?).
Гэта формула называецца формулай Муаўра*.
Пры r = 1 яна прымае выгляд:
(cos на камплексны лік z2 = r2 (cos ?2 + і sin ?2) + 0 праз z = r (cos ? +
+ і sin <р). Тады z = — або z • z2 = Zj. Таму
г2
r (cos ?ф ( sin (?) • Г2 (cos ?2 + І sin ?2) = Г1 (COS ?! + / sin ?1).
* Муаўр (1667—1754) — англійскі матэматык.
600
Выконваючы множанне ў левай частцы, атрымаем:
r r2 [cos (ў + <р2) + 1 sin (¥ + ¥2) ] = fi (cos ¥1 + ' sin ¥і)
Модулі двух роўньіх камплексных лікаў, якія адрозніваюцца ад нуля, роўныя, а аргументы могуць адрознівацца толькі на вугал, кратны 2л. Таму з апошняй роўнасці вынікае, што
г г2 = Гі, ? + ?2?1 = 2« 71, дзе п — некаторы цэлы лік. Значыць,
г = у = SSWTWT» “ <3°'> +' “” '30"’
1/ Я 1
= cos 30° — i sin 30° = —~— — ^i.
Практыкаванні
•^ *^^
2056. Выканаць наступныя дзеянні: «
a) 5 (cos 40° + 1 sin 40°) • 3 (cos 50° + 1 sin 50°);
6) 2 (cos 20° + i sin 20°) • 7 (cos 100° + i sin 100°);
7t . . . Л
COS + I sin
8 8
7 7
cos —л 4 i sin — л
8 8
r) 7 [cos J—?t 4 i sin A. n j • 3 ( cos—л + i sin it ) X
\ 15 15 / \ 3 3 /
X2
4 4
COS —Tt 4 i sin7t
5 5
2057. Вылічыць:
•’(t2—4) ‘ ’^’ + ''1 «й^іті'
2058. Як зменявда модуль і аргумент камплекснага ліку ў выніку множання гэтага ліку на:
а) і; в) 2«;
б) — г; г) — 3«;
2059. Выканаць дзяленне:
cos 130° + і sin 130°. а cos 40° + 1 sin 40° ’
б)*
Д) 4;
е) 5?
cos 130° — 1 sin 130° cos 40° + і sin 40° ’
601
— cos 100° + і sin 100° _ 2 (cos 107° + i sin 107°)
cos 40°— /sin 40° ’ г' 5 (cos 47° +t sin 47°) ■
2060. Як зменяцца модуль і аргумент камплекснага ліку ў выніку дзялення га ліку на: а) і; б) — if
гэтага ліку на: а) і;
§ 258. Здабыванне кораняў з камплексных лікаў
Няхай корань ступені п з камплекснага ліку r (cos ч>4і sin адоознага ад нуля, існуе і роўны
р (cos 0 | Z sin 0)*.
Тады
[? (cos 9 + і sin 0) ]" = r (cos ? + і sin <р). Выкарыстоўваючы формулу Муаўра, атрымліваем:
ря (cos п 0 4 і sin п 0) = r (COS ф 4 Ізіп f).
Модулі двух роўных камплексных лікаў, адрозных ад нуля, роўныя, а аргументы мсгуць адрознівацца толькі на вугал, кратны 2п.
Таму
р" = г, п 0 = ір ф 2йп, адкуль
г ' п
дзе k можа быць любым цэлым лікам. У прыватнасці,
пры 6 = 0 0 = —;
п
пры & = 1 0 = X _|_ ?S
п п
пры 6 = 2 0 = — 4 —;
« п
, і a , 2(л — lilt
пры k = п — I 0 = — 4—і
п п
Пры k = п, «41 «4~2 і г. д. будуць атрымлівацца значэнні 0, якія адрозніваюцца ад напісаных вышэй на вуглы, кратныя 2«. Таму ніякіх новых камплексных лікаў гэтыя значэнні k даць не могуць.
Лёгка паказаць, што ніякіх новых камплексных лікаў мы не атрымаем і пры адмоўных значэннях k.
Такім чынам, калі толькі корань ступені п з камплекснага ліку r (cos f 44 і sin f) існуе, то ён можа прымаць толькі наступныя « значэнняў;
я0 = 1г (cos X 4 і sin X \ « «
аі = 77 (cos хХ^ 4 І sin xtM \ « « /
^ » ¥ + 2 (« — 1)я ...
cos —!'— 4*1 sin
п
? + 2(« — 1)д п
* р і 9 — грэчаскія літары; чытаюцца адпаведна ро і тэта,
602
Непасрэднай праверкай лёгка ўстанавіць, выкарыстоўваючы формулу Муаўра, што Кожны з гэтых лікаў задавальняе суадносіне
ап = r (cos ў + * sin ?)
і таму з’яўляецца значэннем корапя ступені п з камплекснага ліку
r (cos
КНІГІ ОНЛАЙН
