Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
п
п + Г
Для праверкі гэтай гіпотэзы выкарыстаем метад матэматычнай індукцыі.
1) Пры п = 1 гіпотэза правільная, таму што SY = ^^ 2" = Т’
2) Дапусцім, што гіпотэза правільная пры п = k, гэта значыць
sI 1 k
к 1 • 2 2 • 3 k(k+ 1) 1’
Дакажам, што тады гіпотэза павінна быць правільнай і пры n = ^+ 1, гэта значыць
С _ ' I___L__L I 1 I + 1
*+1 12 23 ‘ ^(^+1) г(й+1)(й + 2)~^ + 2
Сапраўды,
Shi = 5, + (А + і) (А; + 2) •
Але па дапушчэнню Sk =
k
k+ Г
Таму
о k 1 A2 + 2^ + 1
*+1 А+І^ (^+1)(* + 2) (А+1)(* + 2Т
(Н I)8 Н 1
(Н1)(Н2) A+ 2'
Такім чынам, зыходзячы з дапушчэння,
п .
= ^ । правільная пры n — k, мы
даказалі,
што гіпотэза Sn = што яна правільная
і пры п = k\ 1. Таму формула
’" 12 + 23 ++п(/і+1)“ мЛ
правільная пры любым натуральным п.
611
Прыклад 2. Даказаць, што nы член арыфметычнай прагрэсіі роўны
O„ = fli + (n—l)d, (1)
дзе а±— першы член, a d — назоўнік гэтай прагрэсіі.
Гэты прыклад адрозніваецца ад папярэдняга тым, што будаваць гіпотэзу тут не трэба, яна дадзена. Трэба толькі даказаць, што гэта гіпотэза правільная.
Доказ будзем весці метадам матэматычнай індукцыі.
1) Пры п = 1 формула (1) прымае выгляд:
01 = Op
Значыць, пры п — 1 формула (1) правільная.
Дапусцім, што яна правільная пры п = k, гэта значыць
ак = ах + (k — 1) d,
і, зыходзячы з гэтага, дакажам, што яна павінна быць правільнай і пры п = k + 1, гэта значыць ой+1 = ох + kd.
Сапраўды,
сік+і = ак~\ d — [яі ■{■ (k — 1) d] 4* ^ = Оі 4* kd, што і трэба было даказаць.
Абедзве ўмовы метаду матэматычнай індукцыі выконваюцца, і таму формула (1) правільная пры любым натуральным п.
Прыклад 3. Даказаць тоеснасць:
(cos a + і sin a)” = cos n a + i sin n a.. (2)
1) Пры n = 1 абедзве часткі формулы (2) прымаюць адзін і той жа выгляд: cos a + і sin а, так што пры п = 1 гэта формула правільная.
2) Няхай яна правільная пры п = k, гэта значыць (cos a + t sin a)ft = cos Л a + i sin A a.
Тады
(cos a + i sin a)H1 = (cos a + i sin a)* • (cos a + i sin a) =
= (cos k a 4 i sin k a) • (cos a + / sin a) = (cos & a cos a — sin A a sin a) 44“ i (cos £ a sin a 4 sin^ a cos a) = cos (^ a 4* «) + / sin (b 4 ») = = cos (k + 1) a 4' sin (& 4 1)a
Але гэта азначае, што формула (2) правільная і пры п = A 4 1.
Абедзве ўмовы метаду матэматычнай індукцыі выконваюцца, і таму формула (2) правільная пры любым натуральным п.
612
Практыкаванні
Даказаць тоеснасці:
2093, 1 . з + з . 5 + 5 • 7 + "• + (2п — 1) (2n + 1) 2п + Г
2094 ________1 ___I_________________I______________________ =
а(а 41) (а 4 1) (а 4 2) '" (а + п — 1) (а 4 п)
2095.
2096.
п
— а(а 4 гі)'
Р 22 4 За 4 ... + п2 = 2Н1Н?2±1
I34 23 4 з3 + ... 4 П3 ~ .
2097. Вывесці формулу агульнага члена геаметрычнай прагрэсіі.
2098. Даказаць, што пры любым натуральным п лік п3 4 5п дзеліцца без астатку на 6.
2099. На колькі частак дзеліцца плоскасць п рознымі прамымі, праведзенымі ў гэтай плоскасці праз адзін яе пункт?
2100. Метадам матэматычнай індукцыі даказаць тоеснасць:
cos a • cos 2а • cos 4а ... cos 2Л a = .
24+1sina
Які яшчэ метад вы можаце прапанаваць для доказу дадзенай тоеснасці?
2101. Даказаць, што пры любым натуральным n і а> — 1
(1 4а)’> 14 па.
2102. Даказадь, што пры любым п пры дапамозе цыркуля і лінейкі з зададзенай адзінкай даўжыні можна пабудаваць адрэзак даўжынёй у У~п.
2103. Даказаць, што пры любым натуральным п
|sinnx| р, калі:
1) яно правільнае пры п = р (а не пры п= як было ў § 262);
2) са справядлівасці гэтага сцверджання пры п = k, дзе k >р (а не k > 1, як у § 262), вынікае, што яно правільнае і пры п = k А \.
Растлумачым гэта на наступным прыкладзе.
Даказаць, што сума Sn унутраных вуглоў любога выпуклага многавугольніка* роўна (п — 2)і, дзе п — колькасць старон гэтага многавугольніка:
S„ = (n2h.
Гэта сцверджанне мае сэнс не для толькі для п > 3. Таму метад, апісаны ў § 262, тут скарыстаць нельга. Аднак можна скарыстаць другі варыянт індукцыі, апісаны вышэй на гэтай старонцы.
1) Пры л = 3 наша сцверджанне прымае выгляд: S3 = x, Але сума ўнутраных вуглоў любога трохвугольніка сапраўды роўна л. Таму пры п = 3 формула (1) правільная.
2) Няхай гэта формула правільная пры п = k, гэта значыць Sk — (k — 2) , дзе # > 3. Дакажам, што ў такім выпад>
s*+i = (^— 1)^.
(1)
ўсіх натуральных п, a
Рыс. 338.
мае месца і формула
Няхай AjA2 ... AkAk+1— адвольны выпуклы (& + 1)вугольнік (рыс. 338). Злучыўшы пункты Ar і Ak, мы атрымаем выпуклы ^вугольнік AjA^ ... AkxAk. Відавочна, што сума вуглоў (^ + 1)вугольніка А±А2 ... AkAk+1 роўна суме вуглоў ^вугольніка A^2 ... Ak плюс сума вуглоў трохвугольніка A1AkAk+l. Але сума вуглоў /гвугольніка А^2 ... Ak па дапушчэнню роўна (k — 2)л, а сума вуглоў трохвугольніка A±AkAk+1 роўна к. Таму
SH1 = Sft + л = (^ — 2) л + к = (й — 1) it.
* Гэта сцверджанне справядлівае і для нявыпуклых многавугольнікаў, калі, праўда, стораны іх перасякаюцца толькі ў вяршынях. Мы ж для прастаты абмяжоўваемся толькі выпуклымі многавугольнікамі.
614
Такім чынам, абедзве ўмовы метаду матэматычнай Індукцыі выконваюцца, I таму формула (1) правільная пры любым натуральным п > 3.
Практыкаванні
2106. На колькі трохвугольнікаў выпуклы пвугольнік можа быць разбіты сваімі дыяганалямі, якія не перасякаюцца?
2107. Даказаць, што пры п>3
2">2n+ 1.
2108. Пры якіх натуральных значэннях п справядліва няроўнасць
2’ > п2?
§ 264. Заўвага да метаду матэматычнай індукцыі
Доказ метадам матэматычнай індукцыі складаецца з двух этапаў.
1ы этап. Правяраем ці правільнае сцверджанне пры п=1 (або пры п = р, калі гаворка ідзе аб метадзе, апісаным у § 263).
2і этап. Дапусцім, што сцверджанне правільнае пры п = = k, і, зыходзячы з гэтага, даказваем, што яно правільнае і пры п = Н1.
Кожны з гэтых этапаў naсвойму важны. У § 263, разглядаючы прыклад f(n) = ri’ + n 4 41, мы пераканаліся, што сцверджанне можа быць правільным у цэлым радзе прыватных выпадкаў, але няправільным наогул, Гэты прыклад пераконвае нас у тым, наколькі важны 2і этап доказу метадам матэматычнай індукцыі. Апусціўшы яго, можна прыйсці да няправільнага вываду.
He трэба, аднак, думаць, што 1ы этап менш важны, чым 2і. Зараз мы прывядзём прыклад, што паказвае, да якога недарэчнага вываду можна прыйсці, калі апусціць 1ы этап доказу.
«Тэарэма». Пры любым натуральным п лік 2й 41 цотны.
«Доказ». Няхай гэта тэарэма правільная пры n = k, гэта значыць лік 2k + 1 цотны. Дакажам, што тады лік 2 (^ + 1) 44 1 таксама цотны.
Сапраўды,
2(^4 1)4 1 = (2Н 1)42.
Па дапушчэнню лік 2^ 4 1 цотны, а таму яго сума з цотным лікам 2 таксама цотная. Тэарэма «даказана».
Калі б мы не забыліся праверыць, ці правільная наша «тэарэма» пры п = 1, мы не прыйшлі б да такога «выніку».
615
Задачы на паўтарэнне ўсяго курса алгебры і элементарных функцый
2109. На адным складзе а тон вугалю, на другім b тон. Штодзённа на абодва склады паступае па с тон вугалю. Праз колькі дзён на першым складзе будзе вугалю ў 2 разы больш, чым на другім?
2110. Два краны, працуючы адначасова, напаўняюць сасуд за 6 гадзін. За які час напаўняе сасуд кожны кран паасобку, калі вядома, што адзін першы кран напаўняе сасуд на 5 гадзін больш, чым адзін другі?
2111. Поезд быў затрыманы на 16 мін. і нагнаў спазненне на перагоне 80 км, павялічыўшы скорасць на 10 км/гадз у параўнанні са звычайнай. Знайсці звычайную скорасць поезда.
2112. На ўзорванне поля адзін трактарыст затрачвае часу ў 1,2 раза больш за другога, але на 3 гадзіны менш за трэцяга трактарыста. Працуючы разам, тры трактарысты ўзаралі поле за 4 гадзіны. За колькі гадзін можа ўзараць поле кожны з трактарыстаў?
2113. Веласіпедыст зрабіў паездку з А ў В і назад. Шлях складаўся з пад’ёму, гарызантальнага ўчастка і спуску. На гарызантальным участку ён ехаў са скорасцю 20 км/гадз, на спуску — 25 км/гадз, а на пад’ёме—15 км/гадз. 3 А ў В веласіпедыст ехаў 2 гадзіны 22 мінуты, а з В у A — 2 гадзіны 14 мінут. Вызначыць даўжыню пад’ёму і даўжыню спуску, калі гарызантальная частка шляху складае 30 км.
2114. Два самалёты вылятаюць адначасова насустрач адзін другому з гарадоў A і В, адлегласць паміж якімі роўна 1800 км. Сустрэча паміж імі адбылася праз гадзіну пасля вылету. Першы самалёт прыляцеў у горад В на 27 мінут раней, чым другі ў горад А. Знайсці скорасці самалётаў.
2115. Адзін сплаў складаецца з двух металаў, якія ўваходзяць у адносіне 1:2, а другі змяшчае тыя ж металы ў адносіне 3:4. Колькі частак кожнага сплаву трэба ўзяць, каб атрымаць трэці сплаў, што змяшчае тыя ж металы ў адносіне 15:22?
2116. Два пешаходы, якія знаходзяцца адзін ад другога на адлегласці 10,2 км, выходзяць адначасова з пунктаў A і В, рухаючыся па прамой АВ. Яны сустрэнуцца праз 1 гадзіну 12 мін., калі будуць ісці насустрач адзін другому, і праз 6 гадз. 48 мін., калі будуць ісці ў адным напрамку. Знайсці скорасць кожнага пешахода.
2117. У шахматным турніры двое з удзельнікаў выбылі, згуляўшы па пяць партый кожны. Таму ў турніры згулялі ўсяго 38 партый. Колькі ўдзельнікаў было ў пачатку турніру? Ці згулялі паміж сабой выбыўшыя з турніру шахматысты?
2118. Параход ідзе ад Горкага да Астрахані 5 сутак, а ад Астрахані да Горкага 7 сутак. Які час будуць плыць ад Горкага да Астрахані плыты?
616
2119*. Два канькабежцы выбягаюць адначасова: першы з АўВ, а другі з В у A — і сустракаюцца на адлегласці 300 л ад Л. Прабегшы дарожку АВ да канца, кожны з іх паварочвае назад і сустракае другога на адлегласці 400 м ац В. Знайсці даўжыню дарожкі АВ.
2120. Рашыць ураўненні:
a) a2x — 1 = a + x;
a(l—bx) ’ a + b
КНІГІ ОНЛАЙН
