КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

—►
3 кожным пунктам плоскасці А можна звязаць вектар 0/1, які выходзіць з пачатку каардынат і заканчваецца ў пункце /1 (рыс. 328). Таму камплексныя лікі дапускаюць і другую геаметрычную інтэрпрэтацыю. Кожны камплексны лік аАЬі можна геаметрычна інтэрпрэтаваць як вектар ОА з каардынатамі (а, 6). Каардынаты вектара ОА пры гэтым будуць такімі ж, як і каардынаты пункта A, а іменна (а, 6). Лёгка паказаць, што такая адпаведнасць паміж усімі камплекснымі лікамі і ўсімі вектарамі плоскасці, якія выходзяць з пачатку каардынат, з’яўляецца таксама ўзаемна адназначнай.
584
Выкарыстоўваючы вектарную інтэрпрэтацыю камплексных лікаў, лёгка вытлумачыць тое азначэпне, якое мы прынялі для сумы двух камплексных лікаў:
(/z+6/) + (c+d/) = (o+c) + (6+d)/'.
Як вядома, пры складанні вектараў іх адпаведныя каардынаты складваюцца. Таму калі вектар ОА (рыс. 329) мае каардынаты (a, b), а вектар ОВ — каардынаты (с, d), то іх сума — вектар —►
ОС — будзе мець каардынаты (а+с, б+d). Гэты вектар якраз і адпавядае камплекснаму ліку (а+с) + (б+d)/, які з’яўляецца сумай камплексных лікаў a\bi і cAdi.
На жаль, вызначэнне здабытку двух камплексных лікаў
(ajbi) (c\di) — (ac—bd) + (adAbc)i
не дапускае такой простай інтэрпрэтацыі.
Практыкаванні
1996. Дадзеныя камплексныя лікі касці:
паказаць пунктамі плос
а)	1+/; б) 1/; в) 2+3/; г) —32І; д) 5+0/; е) —6+0/; ж) 0+5/; з) 0—4і.
1997. Якія камплексныя лікі абазначаюць на рысунку 330 пункты A, В, С, D і О?
1998. Даць геаметрычную інтэрпрэтацыю формулам:
а) (1+2/)+ (12j) = =2+0/;
б)	(34/)+ (1+2/) =
1999. Няхай пункт М служыць ізабражэннем на плоскасці камплекснага ліку а\Ьі. Пабудаваць на той жа плоскасці пункты, якія паказвалі б камплексныя	Рыс. 330.
лікі:
а) а—Ы; б) —а+Ьі; в) —а—Ьг, г) а+0/; д) 0+6/; е) —а+0/; ж) 0—Ьі.
2000.	Няхай пункт М служыць ізабражэннем на плоскасці камплекснаму ліку а—Ы. Дзе на той жа плоскасці размешчаны пункты, якія паказваюць лікі:
а) За+0/; б) —5а+0/; в) 0—Ьі; г) 0+26/; д) 4а+36/?
585
§ 250. Сапраўдныя і чыста ўяўныя лікі
Разгледзім асобна ўсе пункты плоскасці, якія ляжаць на воеі абсцыс. Яны маюць каардынаты (а, 0) і, значыць, адпавядаюць камплексным лікам віду ajOi. Няхай аі+Оі і аг+Ot — два такія лікі. Лёгка пераканацца ў справядлівасці наступных суадносін:
(oi+Ot) 4* (oj+Oi) — (йі+аг) +0G (яі4~00 — (йг+Оі) = (оі—йг) 404 (<2і —fOi) • (йгЧ'Оі) =йій2|0(;
Ог +01  Oj
Й2 4" ^І ^2
+ 0/
(а2 ¥= 0).
Гэтыя суадносіны паказваюць, што ўсе камплексныя лікі віду «+0І, гэта значыць лікі з нулявым каэфіцыентам пры ўяўнай частцы, складваюцца, адымаюцца, памнажаюцца і дзеляцпа адзін на другі як адпаведныя ім сапраўдныя лікі. Геаметрычнае ізабражэнне гэтых лікаў таксама супадае з геаметрычным ізабражэннем адпаведных сапраўдных лікаў: як адны, так і другія паказваюцца пунктамі восі абсцыс. Гэта дазваляе нам не рабіць адрознення паміж камплексным лікам а4~0і і сапраўдным лікам а. Таму ў далейшым мы ўсюды замест йфОі будзем пісань проста а. У прыватнасці, 040і=0. Па гэтай прычыне вось абсцыс, на якой размешчаны пункты, што адпавядаюць сапраўдным лікам або камплексным лікам віду а+0і, называенца сапраўднай воссю.
Цяпер нам зразумела, якім чынам сапраўдныя лікі ўваходзяць у сукупнасць усіх камплексных лікаў.
Пункты восі ардынат маюць каардынаты (0, Ь) і таму адпа вядаюць лікам віду 0 + Ь4 гэта значыць камплексным лікам, сапраўдныя часткі якіх роўны нулю. Такія лікі характарызуюцца тым, што квадраты іх заўсёды адмоўныя (калі толькі b^Q). Сапраўды,
(04W)2=(0+6i) (046і)=0406і4
4b.0ife2 = />240i = t2.
У прыватнасці,
(0+/)2=1.
Калі камплексныя лікі яшчэ не былі ўведзены ў матэматыку, цяжка было ўявіць сабе, што квадраты лікаў могуць быць адмоўнымі. Таму камплексныя лікі віду 04^і атрымалі назву чыста ўяўных лікаў. У далейшым гэтыя лікі мы будзем абазначаць не 0 + Ы, а проста bi. Вось ардынат, на якой размяшчаюцца ўсе чыста ўяўныя лікі, называецца ўяўнаіі воссю.
586
Умовімся ў далэйшым камплжны лік 0 4/ абазначаць нроста і Пасля гакой згоды мы можам гаварыць не толькі аб я к і м с ь ц і с і м в а л е ». але і аб камплгксным ліку (, падразумяваючы пад ім лік 0 4 '• Як былэ паказана вышэй, (0 +/)а = — 1. Таму камплексны лік і характарызуецца тым, што квадрат яго роўны — 1:
іг =  1.
Лік I атрымаў назву ўяўнай адзінкі. Разглгдзім здабытак адвольнага сапраўднага ліку b на ўяўную адзінку і\
J . / = (Н Оі) (0 + ;) = 6 ■ 0 + W f 0 • 0« + 0 ■ (’ = 0 4 М.
Такім чынам,
b • / = 0 + W.
Гэтым і апраўдваецца прынятая вышэй згода абазначаць лікі віду 0 f Ьі проста Ьі.
У § 248 мы гаварылі, што па азначэнню a 4 bi ёсць проста асобае абазначэнне, а не выражэнне сумы лікаў а і Ы. Бо тады ж мы яшчэ не ведалі, што ўяўляюць сабой камплексныя лікі а і Ы; тым больш мы не маглі ведаць, йк складваюцца гэтыя лікі. Цяпер жа мы ведаем, што ўяўляюць сабой камплексныя лікі а і Ы і што ўяўляе сабой сума двух камплексных лікаў. Таму цяпер законна паставіць пытанне: а ці нельга выраз a 4 bi разглядаць як суму двух лікаў a і bif Для раіпэння гэтага пытання заўважым, што
a = а \ 0/;
W = 0 4 bi.
Таму сума лікаў а і Ы роўна:
(а 4 0;) 4 (0 4 Ы) = (а 4 0) 4 (0 4 b) і = a 4 Ы.
Гэта дае дадатны адказ на пастаўленае вышэй пытанне. Камплексны лік о4 Ьі можна разглядаць як суму двух камплексных лікаў: сапраўднага ліку а і чыста ўяўнага ліку Ы.
Практыка занні
2001.	Што азначае кожны з выразаў:
а)	камплексны лік а\Ы роўны нулю;
б)	камплексны лік а^bi не роўны нулю?
2002.	Знайсці сапраўдныя значэнні х і у з ураўненняў:
а)	(x+y)j(x—y)i=2+4i;
б)	(х\у) + (х—у)і=4і;
в)	(х+у) + (х—у\і=2\
г)	(z/+2x) + (2(/+4x)t=0;
д)	(x+1,5//) + (2x+3(/)(=13z.
2003.	Знайсці чыста ўяўныя лікі ы 1 u з ураўненняў:
а)	ujiv — —342/;
б)	5u—6/у — — 24—5/.
2004.	Што можна сказаць аб двух камплексных ліках, калі іх сума і рознасць адначасова ўяўляюць сабой:
а)	сапраўдныя лікі;
б)	чыста ўяўныя лікі?
587
2005. Вылічыць:
a)	U(20]2;
б)	[2i(34i)]2.
2006. Даказаць, што квадрат камплекснага ліку ajbi ўяўляе сабой сапраўдны лік тады і толькі тады, калі або а=0, або 6=0.
§ 251.	Супрэжаныя лікі. Практычны спосаб дзялення камплексных лікаў
Камплексны лік a — Ы называецца супрэжаным да камплекснага ліку a + Ы. Напрыклад, лік 2 — Зі з’яўляецца супрэжаным да ліку 2 j 3/, лік 5 + 4/ — супрэжаным да ліку 5 — 4/, лік — 6/ (=0 — 6:) — супрэжаным да ліку 6і (= 0 + 6») і г. д.
Няхай a — адвольны сапраўдны лік. Тады
a = a + Оі = a — 0i.
Таму любы сапраўдны лік роўны свайму супрэжанаму. Правільнае і адваротнае сцверджанне: калі камплексны лік a + bi роўны свайму супрэжанаму, гэта значыць
а + Ы = а — Ы,	(1)
то гэты лік сапраўдны. На самай справе, з (1) вынікае, што b = — Ь, або 6 = 0. Значыць, а + Ы = а\0і=а, што і трэба было даказаць.
Такім чынам, з усіх камплексных лікаў сапраўдныя лікі (і толькі яны) роўны сваім супрэжаным лікам.
Лік а — Ы з’яўляецца супрэжаным да ліку а + Ы. Але лік a + Ы будзе, відавочна, супрэжаным да ліку a — bi. Такім чынам, лікі а^Ьі і а — bi з’яўляюцца супрэжанымі адзін другому. Таму яны называюцца ўзаемна супрэжанымі камплекснымі лікамі. Відавочна, што любыя ўзаемна супрэжаныя камплексныя лікі a^bi і a — bi абазначаюцца на плоскасці пунктамі, сіметрычнымі адзін другому адносна сапраўднай восі (гл. рыс. 331).
Здабытак двух узаемна сўпрэжаных камплексных лікаў ёсць лік сапраўдны.
На самай справе,
(a + Ьі) (а — Ы) = а2 — (Ы)2 =
= а2 — Ь2І2.
Але і2 = — 1. Таму
^а+Ы
6
0

4 аЫ
Ь
Рыс. 331.
(a + bi) (a — Ьі) = а2 + Ь2.
588
Даказаная ўласцівасць узаемна супрэжаных лікаў дазваляе даволі проста выконваць дзяленне камплексных лікаў. Няхай трэба знайсці дзель
a + Ы с + di
(c + di^ 0).
Памножым лічнік і назоўнік гэтага дробу на лік с — di, супрэжаны назоўніку. У рэзультаце мы атрымаем дроб, назоўнік якога будзе сапраўдным лікам:
a + bi _ (a 4 bi) (с — di) _ (ас + bd) + (be — ad) i
c + di (c + di) (c — di) — c2 + d2 ' Цяпер, выкарыстоўваючы дыстрыбутыўны закон множання адносна складання, атрымаем:
= ?TJ1(® + bd) + (bc~ad)і]
с2 + d2 сг ± d2
У § 247 гзта формула была атрымана іншым шляхам. Пры к лады.
7 — і (7 — і)(3 — і) 21 —7« —3« —1
' 3 + «	(3 + 0(3/)	9+1
20—10« о . ’
= —io— ^2^
JHJ _ (1 + 0(1 + 0 _ 1 + 2«  1 2i \~i (10(1+0	1 + 1	2
Практыкаванні
2007. Назваць камплексныя лікі, супрэжаныя дадзеным: Паказаць дадзеныя і супрэжаныя да іх лікі пунктамі плоскасці.
а) 1 + 0 б) 2 — 3«; в) 5; Вылічыць:	г) 6«; д) 0; е) 2« — 1.
2008. V 3 + / 2009. 3 + 5« 7 — 2« 2Ш0 2 + 7«2011. 4.	2012. —2 ^’ — 6 — 7і 4 + «	4 —« ’ 2013. 2+J+ —* 3 — о/ і — 1 2014.	— b + ai	a + bi '
589
§ 252. Ступені ўяўнай адзінкі
Па азначэнню першай ступенню ліку і з’яўляецца лік і, а другой ступенню лік — 1.
f = /, ^ = —1.
Больш высокія ступені ліку I знаходзяцца наступным чынам:
/3 = /2 . / = — 1  ( = — /;
р = р ■ і = — іг = 1;
р = р . I = і;
р = р . і = р = — 1
і г. д. Відавочна, што пры любым натуральным п
ііп = 1;
^«+1 = /;
Р"+г == — 1;
рп+з = _ /.
Напрыклад,
/125_ /26 _ /124+1 _ /24+2 _ / _ /2 = / 4. 1;
/100 _|_ /98 _р /03 _ /100 _|_ /96+2 _|_ /60+3 = [_]_/ = _/,
Практыкаванні
Вылічыць:
2015. і« + f8 4 Г6 + z38 + iw + t5e.
2016. i3 + i13 + r23 + t33 + i™ + t53.
2017. i + i2 4 i3 411 4 .... 4 in (« > 4).
2018. i • z2 • t3 ■ i*... iwa.
2019. 1.
1111
2020.	ЛГ 4 75	1023 •
2021. Пры якім сапраўдным значэнні а лік 3z3 — 2aza4(l — — a)« 4 5 будзе: а) сапраўдным; б) чыста ўяўным; в) роўным нулю?
§ 253. Здабыванне кораняў квадратных з адмоўных лікаў. Рашэнне квадратных ураўненняў з адмоўнымі дыскрымінантамі
Як мы ведаем,
Разам з тым
(_/)2 = ( 1  /У=( 1)2і2 = 1.
590
Такім чынам, існуе па крайняй меры два значэнні кораня квадраТ' нага з —1, а іменна і і —і. Але мсжа ёсць яшчэ якіянебудзь камплексныя лікі, квадраты якіх роўны — 1?
Каб высветліць гэта пытанне, дапусцім, што квадрат камплекснага ліку а + Ы роўны —1. Тады
(a + bi)2 = — 1, а2 + 2аЫ — Ь2 = — 1.
Два камплексныя лікі роўныя тады і толькі тады, калі роўныя іх сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках. Таму
Згодна з другім ураўненнем сістэмы (1) хоць бы адзін з лікаў a і b павінен раўняцца нулю. Калі b = 0, то з першага ўраўнення атрымліваецца а2 ~—1. Лік а сапраўдны, і таму а2 > 0. Неадмоўны лік а2 не можа раўняцца адмоўнаму ліку — 1. Таму роўнасць 6 = 0 у дадзеным выпадку немагчыма. Застаецца прызнаць, што a = 0, але тады з першага ўраўнення сістэмы атрымліваем: