Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
He трэба думаць, што калі f (a) = 0, то пункт х = а абавязкова
562
нага максімуму. Тлумачыцца гэта тым, што ў пункце х=0 вытворная f (х) = Зх2, ператвараючыся ў нуль, не мяняе свайго знака. Як пры х < 0, так і пры х > 0 яна дадатная.
Можна даказаць, што калі f (a) = 0 I пры пераходзе праз пункт х = а вытворная f (х) не мяняе знака («4» пераходзіць у »|» або «—» у *—»), то пункт х = а не з'яўляецца ні пунктам лакальнага мінімуму, ні пунктам лакальнага максімуму.
Пункты, у якіх вытворная f (х) функцыі / (х) ператвараецца ў нуль, называюцца стацыянарнымі пунктамі, а значэнні функцыі ў гэтых пунктах___стацыянарнымі значэннямі гэтай функцыі.
Практыкаванні
Для дадзеных функцый знайсці ўсе лакальныя экстрэмумы. Па магчымасці высветліць, якія з іх з’яўляюцца лакальнымі мінімумамі і якія — лакальнымі максімумамі:
1898. і/ = 4х2 — 6х — 7.
1899. _оо);
10) вобласць змянення функцыі.
Выкананне кожнага пункта гэтага плана карысна суправаджаць геаметрычнай інтэрпрэтацыяй, выконваючы крок за крокам пабудаванне графіка даследуемай функцыі.
У якасці прыкладу разгледзім функцыю у = х4 — 10х2 + 9.
1) Вобласцю вызначэння дадзенай функцыі з’яўляецца мноства ўсіх сапраўдных лікаў.
2) «Асобых» пунктаў ^тыпу пункта х = 0 для функцыі у = —^) гэта функцыя не мае.
3) Функцыя цотная, паколькі пры любым значэнні х
(— х)4 — 10 (х)2 + 9 = х4 — 10ха +9.
Гэта павінна знайсці сваё адлюстраванне і ў графіку функцыі. Ён павінен атрымацца сіметрычным адносна восі ардынат.
4) Разглядаемая функцыя, відавочна, неперыядычная.
Наогул перыядычнасць той ці іншай функцыі часта вызначаецца шляхам простага ўказання на перыядычныя састаўляючыя гэтай функцыі (напрыклад, 5441 ^’ cos х і да т. п.). Дадзеная функцыя падобных састаўляючых не мае. Безумоўна, гэта не можа служыць строгім доказам неперыядычнасці разглядаемай функцыі. Таму мы яшчэ вернемся да гэтага пытання пры разглядзе пункта 6
(Аднак магчымы 1 такі доказ неперыядычнасці. Калі б дадзеная функцыя была перыядычнай з перыядам 7 > 0, то пры любым значэнні х выконвалася б роўнасць
(х + 7)*10(х + 7)2 + 9 = х410х» + 9.
У прыватнасці, пры х = 0 мы атрымалі б
74 — Ю72 + 9 = 9,
адкуль 7 = /10. Такім чынам, у якасці перыяду можа быць толькі лік /10 Але, як мы ведаем, перыядычныя функцыі маюць бясконца многа дадатных перыядаў. Атрымана супярэчнасць. Значыць, дапушчэнне аб перыядычнасці дадзенай функцыі няправільнае.)
, 5) Стадыянаркыя пункты функцыі /х) знаходзяцца як корані ўраўнення / (х) = 0. У дадзеным выпадку f (х) = 4х3 20х, і таму нам трэба рашыць ураўненне ■ r г
4Х3 — 20х = 0.
* Гэты план толькі нязначна адрозніваецца ад плана, апісанага ў § 210.
565
Яно мае тры корані:
Xj = 0, х2 = — V 5, х2 = + К 5.
Каб высветліць, якія з гэтых трох стацыянарных пунктаў даюць лакальныя экстрэмумы і якія іменна экстрэмумы (мінімумы або максімумы), разгледзім паводзіны вытворнай f' (х) паблізу стацыянарных пунктаў. Маем:
f (х) = 4х3 — 20х = 4х (х2 — 5).
Калі х блізкае да нуля і х < 0, то абодва сумножнікі 4х і х2 — 5 адмоўныя. У гэтым выпадку f (х) > 0. Калі ж х блізкае да нуля і х > 0, то, множнік 4х будзе дадатным, а множнік х2— 5 — адмоўным. У гэтым выпадку /'(х)<0.
Пры пераходзе праз пункт х = 0 вытворная f (х) змяняе знак з «+ » на «— 5, Таму пункт х — 0 з’яўляецца пунктам лакальнага максімуму функцыі х4—10х + 9. _
Аналагічна ўстанаўліваецца (зрабіце гэта самастойна!), што пункты х = —У 5 і х = / 5 з’яўляюцца пунктамі лакальных мінімумаў.
Цяпер можна знайсці і самі лакальныя экстрэмумы. Пры х = 0 y = 9; пры х ± / 5 і/ = — 16.
Рыс. 324.
Такім чынам, функцыя х4 — Юх + 9 мае адзін лакальны максімум, роўны 9 (ён дасягаецца пры х = 0), і два лакальныя_мінімумы, кожны з якіх роўны — 16 (яны дасягаюцца пры х = — / 5 і х = / 5). Гэта дазваляе нам, дарэчы, адзначыць на каардынатнай плоскасці яшчэ тры пункты графіка нашай функцыі. Гэта будуць пункты з каардынатамі (0, 9), (—/5, — 16) і (/5,16), прычым першы з іх з’яўляецца пунктам лакальнага максімуму, а астатнія два — пунктамі лакальных мінімумаў (рыс. 324, а).
6) Знойдзем інтэрвалы ўзрастання і інтэрвалы убывання разглядаеман функцыі. Пасля даследавання стацыянарных пунктаў лёгка зразумець, што ПрЫ — / '5 < х < 0 і х > / 5 гэта функцыя ўзрастае, а пры х < — У 5 і 0 < х < / 5 — убывае (гл. рыс. 324, а). Але гэта можна даказаць і строга, не звяртаючыся да геаметрычнай інтуіцыі.
566
Сапраўды, вытворная
f (х) = 4х (? 5)
пры /5<х<0 і х> / 5 дадатная, а пры х < — V 5 і 0 < х < ^5 адмоўная. А гэта і служыць доказам таго, штб вышэй мы падмецілі, зыходзячы з геаметрычных меркаванняў.
Атрыманы рэзультат, між іншым, даказвае (і прытым зусім строга), тто функцыя у = X1— 10х2 49 нгперыядычная. Сапраўды, пры х >^5 яна манатон на ўзрастае і, значыць, значэнні яе не могуць паўтарацца перыядычна.
7) Нулі дадзенай функцыі знаходзяцца з ураўнення
х4 — 10х2 49 = 0.
Яно мае чатыры корані:
^і = 3, ^з = ^»
х2 = — 1, х4 = 3.
(Сіметрычнасць гэтых кораняў зразумелая: разглядаемая функцыя цотная.) Цяпер мы можам адзначыць на плоскасці каардынат яшчэ чатыры пункты якія належаць графіку нашай функцыі. Гэта пункты восі х з абсцысамі — 3 — 1’ 1 і 3 (гл. рыс. 324, б).
КНІГІ ОНЛАЙН
