Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Мноства лікаў, у якім заўсёды выксінсільньі дзвянні склйойння і множання, падпарадкаваныя пяці асноўным законам, а таксама дзеянні адымання I дзялення (акрамя дзялення на нуль), называецца полем. Мноства ўсіх рацыянальных лікау з’яўляецца найпрасцейшым лікавым полем.
Дарэчы адразу заўважыць, што мноства ўсіх ірацыянальных лікаў поля не ўтварае. Сапраўды, любое з чатырох дзеянняў (складанне, множанне, адыманне і дзяленне) над ірацыянальнымі лікамі можа прывесці да ліку рацыянальнага. Так, напрыклад,
/1 + (/1) =0, j/l. ]/"2 = 2
і г д А вось мноства ўсіх сапраўдных лікаў утварае поле. Як адзначалася ў другім раздзеле, дзеянні складання, множання, адымання і дзялення сапраўдных лікаў (акрамя дзялвння на нуль) не выводзяць нас за межы сапраўдных лікаў, прычым складанне і множанне падпарадкаваны пяці асноўным уласцівасцям.
572
Прывядзём яшчэ адзін, больш _складаны, прыклад лікавага поля. Разгледзім усе сапраўдныя лікі віду r fl &У 2, дзе r і s — рацыянальныя лікі, Няхай aflЬУ 2 і cfldy 2 — адвольныя два лікі разглядаемага віду. Тады
(а Ч~ b У 2) fl (с fl d У 2) = (a fl с) fl (b fl d) У 2;
(aflb /’2) — (с fl d У"2) = (a — с) fl (b — d) /"2;
(а + ьУ 2 ) • (cfld / 2) = acfl adyTfl be У~2\ 2bd =
= (acfl 2bd) fl (ad fl be) У~2.
Дапусцім цяпер, што лік с + d У~2 не роўны нулю. Тады, відавочна, і супрэжаны з ім лік с — d У~2 будзе адрозны ад нуля. Таму можна напісаць
aflby^ _ (aflb /Д (с d /У) = (ас — 2bd) fl (be — ad) У~2 _ cfldy 2 (c fl dy 2) (c — d У ~2) c2 — 2d2 ~
_ ac — 2bd | be — ad ._ c2 — 2d2 + c2 — 2d2 r 2
Як мы бачым, кожнае з чатырох_дзеянняў (складанне, адыманне, множанне і^ дзяленне) над лікамі віду r fl sy 2 прыводзіць да ліку таго ж самага віду оразумела таксама, што складанне і множанне ўсіх гэтых лікаў падпарадкавана кожнаму_з пяці дадзеных вышэй законаў. Таму сукупнасць усіх лікаў віду rflsy2, дзе a і 6 — рацыянальныя лікі, утварае лікавае поле,(
Практыкаванні
1967. Ці ўтварае кольца:
а) мноства ўсіх цотных лікаў;
б) мноства ўсіх няцотных лікаў;
в) мноства ўсіх лікаў, кратных некатораму ліку р?
1968. Ці ўтварае поле:
* а) мноства ўсіх дробаў а назоўнікам 3;
б) мноства ўсіх дробаў, назоўнікі якіх ёсць цэлыя ступені ліку 3? }
1969. Дакажыце, што мноства ўсіх канечных дзесятковых дробаў утварае кольца, але не ўтварае поле.
1970. Дакажыце, што любое лікавае поле або супадае з мноствам усіх рацыянальных лікаў, або змяшчае ў сабе гэта мноства.
1971. Дакажыце, што мноства ўсіх лікаў віду aflbVW, дзе a і b — рацыянальныя лікі, з’яўляецца полем. Ці змяшчае гэта поле:
а) усе рацыянальныя лікі;
б) усе ірацыянальныя лікі;
в) усе сапраўдныя лікі?
673
§ 243. Пастаноўка задачы аб пашырэнні поля сапраўдных лікаў. Камплексныя лікі
Патрэбы матэматыкі ўжо даўно ўказвалі на сур’ёзную неабходнасць пашырэння поля сапраўдных лікаў. Як мы ведаем, у ім, акрамя складання, адымання, множання і дзялення, выканальна яшчэ і дзеянне ўзвядзення ў ступень, якое ўяўляе сабой не што іншае, як мнагакратнае множанне. А вось здабываннекораняў, гэта значыць дзеянне, адваротнае ўзвядзенню ў ступень, выканальна не заўсёды.Мы неведаем, напрыклад, які сэнс можна надаць выразам V^, К — 16 ТамУ Ў полі сапраўдных лікаў невырашальныя нават такія, на першы погляд, простыя ўраўненні, як х2ф! = 0; х4+16 = 0 і г. д.
Перад матэматыкай паўстала задача пашырыць поле са^ праўдных лікаў шляхам далучэння да яго новых лікаў так, као пашыранае мноства ўтварала лікавае поле, у якім было б выканальна дзеянне здабывання кораняў.
Канчаткова гэта задача была рэшана толькі ў XIX стагоддзі.
Паглядзім, якія ж элементы павінна змяшчаць новае, пашыранае поле. Перш за ўсё яно павінна змяшчаць усе сапраўдныя лікі. Далей, у ім павінна быць вырашальна ўраўненне х =1, паколькі дзеянне, адваротнае ўзвядзенню ў ступень, у гэтым полі выканальна. Лік, квадрат якога роўны —1, прынята абазначаць літарай «і» і называць уяўнай адзінкай. Такім чынам, па азначэнню ліку і
і2=1.
Мы патрабуем, каб новае мноства лікаў было полем. Таму пазам з сапраўдным лікам b і ўяўнай адзінкай і яму павінен належаць і іх здабытак Ы. Зусім гэтак жа разам з сапраўдным лікам а і здабыткам Ы новаму лікаваму полю павінна належаць і іх сума а+Ы. Такім чынам, новае мноства лікаў павінна змяшчаць усе лікі віду а+Ы, дзе a і b адвольныя сапраўдныя лікі, а і__уяўная адзінка. Гэтыя лікі мы назавём камплекснымі лі
Лік а прынята называць сапраўднай часткай, а выраз Ы йяйнай часткай камплекснага ліку а+Ьі. Лік b называецца каэфіцыентам пры ўяўнай частцы. Напрыклад, для камплекснага ліку 2+Зі сапраўднай часткай з’яўляецца лік 2 а уяунам вьіпаз Зг каэфіцыент пры ўяўнай частцы роўны 3. Для ліку 0 3t сапраўднай часткай з’яўляецца лік 0, а ўяўнай — выраз —Зі; каэфіцыент пры ўяўнай частцы роўнія —З. Для ліку 5+0і сапраўднай часткай з’яўляецца л]к 5, а ўяунан — выраз 0t; каэфіцыент пры ўяўнай частцы роўны 0. . „ .
Два камплексныя лікі лічацца роўнымі, калі роуныя іх сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках. Іншымі словамі,
574
a\bi•— c^di тады i толькі тады, калі a = c, b=d.
Як мы ведаем, для няроўных сапраўдных лікаў вызначаны суадносіны «больш» і «менш». Так, 5>4, 0<7 і г. д. Для няроўных камплексных лікаў такія суадносіны вызначыць немагчыма. Нельга, напрыклад, сказаць, які з двух лікаў большы: 2+3/ або 5—7і, 0+2/ або 044/ і г. д.
Практыкаванні
1972. Што значыць, што два камплексныя лікі аДbi і c\di:
а) роўныя адзін другому; б) не роўныя адзін другому?
1973. Знайсці сапраўдныя значэнні х і у з ураўненняў:
а) (*—//) + (Зх+//)/ = 3—3/,
б) (х—5у) + (2х—і/)/=6+3/.
§ 244. Складанне камплексных лікаў. Процілеглыя лікі
Азначэнне. Сумай двух камплексных лікаў a+bi і c+di называецца камплексны лік (a}c)\(b\d)i:
{a^bi) \ (c\di) = (a\c)\(b\d)i.
Іншымі словамі, пры складанні камплексных лікаў іх сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяўных частках складваюцца.
П р ы к л а д ы.
1) (1 +0 + (243/) = (1 +2) 4 (1 +3) / = 3+4/;
2) (5+6/) + (76/) = (5+7) + (66)/= 12+0;;
3) (4+9/) + (4+/) = (44) + (9+1)/ = 0+10/;
4) (37/) + (3+7/) = (33) + (7+7)/=0+0/.
У вобласці сапраўдных лікаў ёсць лік 0, дадаванне якога да любога іншага сапраўднага ліку не мяняе гэтага ліку:
#+0 = //.
Аналагічным лікам у вобласці камплексных лікаў з’яўляецца лік 0+0/. Сапраўды, які б ні быў камплексны лік а+Ы,
(а+bi) + (0+0/) = (а+0) + (6+0) І=а+Ы.
Як мы ведаем, два сапраўдныя лікі а і —а, сума якіх роўна нулю, называюцца процілеглымі. Па аналогіі з гэтым два камплексныя лікі а+Ы і —а—Ы таксама называюцца процілеглымі.
575
Практыкаванні
197р(Вусна.) Назваць камплексныя лікі, процілеглыя дадзеным:
а) зіі; б) 1—57; в) 2+0І; г) 0+4і; д) 0+0t; е) 7+й
f 1975.^ Знайсці сапраўдныя значэнні х і у з ураўненняў:
а) (5х4~3уі) 4(2у хі) =3 і;
б) (2х—5і) + (7у+2хі) = — 124Зуі;
в) (х + Зуі) + ^у у 4 2xt j = 4 4 8/.
§ 245. Адыманне камплексных лікаў
Азначэнне. Рознасую двух камплексных лікаў zt=a+bi і z2=c\di называецца такі камплексны лік z3=x\yi, які ў суме з z2 дае Zi. . . ,
Іншымі словамі, для камплексных лікаў гэтак жа, як 1 для сапраўдных, роўнасць
z3=zi—z2
па азначэнню азначае тое ж самае, што і роўнасць
Z24“Z3 = Z1.
Само па сабе ўведзенае намі азначэнне не гарантуе, што ад кожнага камплекснага ліку можна адняць любы іншы камплексны лік. Магчымасць такога адымання і яго адназначнасць устанаўліваюцца наступнай тэарэмай.
Тэарэма. Для любых камплексных лікаў z^ a + + Ы і Zi^c + di рознасць z3 — Zi — z3 вызначана і прытым адназначна.
ФакТычна нам трэба даказаць, што існуе і прытым адзіны камплексны лік z3=x+yi, які ў суме з z2 дае гц
(c{di) + (x+yi)^a+bi. (1)
Па азначэнню сумы камплексных лікаў:
(с4<Ю + (х+уО = k+x) + (d+y) I.
Таму ўраўненне (1) можна перапісаць у выглядзе!
(с+х) + (djy) І=а+Ьі.
Два камплексныя лікі роўныя тады і толькі тады, калі роўныя іх сапраўдныя часткі і каэфіцыенты пры ўяуных часГках. Таму
f с+х—а, \d+y = b<
576
Гэта сістэма ўраўненняў заўсёды мае і прытым адзінае рашэнне:
х—а—с, y=bd.
Таму існуе і прытым адзіная пара сапраўдных лікаў (х, у), якая задавальняе ўраўненне (1). Тым самым тэарэма даказана.
Па сутнасці мы даказалі, што
(a{bi) — (c+di) — (а—с) + (b—d) і.
Каб ад аднаго камплекснага лікў адняць другі, дастаткова гэта адыманне выканаць асобна для сапраўдных частак гэтых лікаў і каэфіцыентаў пры ўяўных частках.
П р ы к л а д ы.
1) (5+60 (3+7І) = (53) + (67) і=2і;
2) (2+і) (9+0 = (29) + (1 — 1)4 = 7+0і;
3) (3+40 — (3—і) — (3—3) + (4+1) і=0+5і;
4) (70(70 = (77) + (1 + 1)і=0+0/.
Практыкаванні
1976. . Што выражае кожная з дадзеных формул — азначэнне або тэарэму:
a) (ajbi)i(c}di)~(a+c) + (bid)i;
б) (a\bi) — (c+di) — (a—c)\(b—d)if
1977. Знайсці сапраўдныя значэнні х і у з ураўненняўі
а) (0 + Зхі) — (Юх + 2уі) = — 5у + 3t;
б) ^3
КНІГІ ОНЛАЙН
