• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    — Ь2 = — 1, 6 = + 1.
Значыць, камплекснымі лікамі, квадраты якіх роўны —1, з’яўляюцца толькі лікі і і —і. Умоўна гэта запісваюць у выглядзе:
= ±і.
Аналагічнымі разважаннямі вучні могуць пераканацца ў тым, што існуе роўна два лікі, квадраты якіх роўны адмоўнаму ліку — а. Такімі лікамі з’яўляюцца Уаі і —У а і. Умоўна гэта запісваецца так:
У—a = ±У аі.
Пад У а тут падразумяваецца арыфметычны, гэта значыць дадатны корань; напрыклад: У 4 = 2, У 9 = 3, таму
V — 4 = + 2/, /—9 = + 3/ і г. д.
Калі раней пры разглядзе квадратных ураўненняў з адмоўнымі дыскрымінантамі мы гаварылі, што такія ўраўненні не маюць кораняў, то цяпер так гаварыць ужо нельга. Квадратныя ўраўненні з адмоўнымі дыскрымінантамі маюць камплексныя корані. Гэтыя корані атрымліваюцца па вядомых нам формулах. Няхай, напрыклад, дадзена ўраўненне х2 + 2х + 5 = 0; тады
Хдз = — 1 + |/1 — 5 = — 1 і У — 4 = — 1 +2/.
Такім чынам, дадзенае ўраўненне мае два корані: хх = — 1 + 2і\ х2 = — 1—2і. Гэтыя корані ўзаемна супрэжаныя. Цікава адзначыць, што сума іх роўна —2, а здабытак 5, таму выконваецца тэарэма Віета!
69’
Практыкаванні
2022. Шхсна.) Рашыць ураўненні:
а)	х2 = — 16;
б)	х2 •= — 2;
в)	Зх2 = — 5.
2023. Знайсці ўсе камплексныя лікі, квадраты якіх роўны: а>‘; б)т2~‘
2024. Рашыць квадратныя ўраўненні:
а)	х2 — 2х + 2 = 0;
б)	4х2 + 4х + 5 = 0;
в)	х2 — 14х + 74 = 0.
Рашыць сістэмы ўраўненняў:
2025.
( х + у = 6, [ ху = 45.
1 2х — Зі/ = 1
1^=1
2027.	Даказаць, што корані квадратнага ўраўнення з сапраўднымі каэфіцыентамі і адмоўным дыскрымінантам з’яўляюцца ўзаемна супрэжанымі.
2028.	Даказаць, што тэарэма Віета правільная для любога квадратнага ўраўнення, а не толькі для ўраўненняў з неадмоўным дыскрымінантам.
2029.	Скласці квадратныя ўраўненні з сапраўднымі каэфіцыентамі, коранямі якога з’яўляюцца:
а)х1 = 5 —г, х2 = 5 + і; б) хх = 3t, х2 = —Зі.
2030.	Скласці квадратныя ўраўненні з сапраўднымі каэфіцыентамі, адзін з кораняў якога роўны (3 — t) (2/ — 4).
2031.Скласці квадратнае ураўненне з сапраўднымі каэфіцыен*'	„	\	32і
тамі, адзін з кораняу якога роуны —.  „. .
§ 254. Двухчленныя ўраўненні 3й ступені з сапраўднымі каэфіцыентамі
Так называюцца ўраўненні віду
ах3 = Ь,
дзе а і 6 —адвольныя сапраўдныя лікі, адрозныя ад нуля.
Рашэнне такіх ураўненняў мы разгледзім на некаторых прыватных прыкладах.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне х3 = 8.
592
Перапішам дадзенае ўраўненне ў выглядзе х’ — 8 = 0. Скарыстоўваючы формулу для рознасці кубаў, атрымаем (х — 2) (х2 ф + 2х + 4) = 0. Калі х — 2 = 0, то х = 2; калі ж х2 + 2х + 4 = 0, то х = — 1 + / 1— 4 = — 1± |/—3 = — 1 ± / Зі. Такім чынам, дадзенае ўраўненне мае тры корані:
х, =2; х2 = 1/^і; х3 = —l + ]/"3t.
Сапраўдным сярод іх з’яўляецца толькі адзін корань х = 2.
П р ы к л а д 2. Рашыць ураўненнех3 = 4.
Памножыўшы абедзве часткі гэтага ўраўнення на — 2, мы прыйдзем да ўраўнення Xs = —8. Гэта ўраўненне прынцыпова не адрозніваецца ад раней разгледжанага ўраўнення х3 = 8. Таму мы прыводзім яго рашэнне без тлумачэнняў:
х3 + 8 = 0,
(х + 2) (х2 — 2х + 4) = 0, адкуль
хх = — 2; х2 = 1 — ]/ 3 Z; х3 = 1 + Р 3 г.
Прыклад 3. Рашыць ураўненне ух8 =— 2.
Памножыўшы абедзве часткі гэтага ўраўнення на 3, атрымаем х3 = — 6, адкуль х3 + 6 = 0. Разглядаючы лік 6 як куб ліку >/ 6, раскладзём х3 + 6 на множнікі:
х3 + 6 = (х + Кб) [х2 —Убх+(Кб)2].
Значыць, або х + |/1 = 0, або Xs — /бх+^ б)а = 0. Першае з гэтых ураўненняў мае корань хх = — р^ 6. Другое ўраўненне дае:
= лыНЕІОІЕ^
2	2
Такім чынам, дадзенае ўраўненне мае тры корані:
Хз = ^(1/3і).
20 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
593
3 гэтых трох кораняў лікам.
толькі адзін з’яўляецца сапраўдным
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
2032. Зх3 = 81.	2035. х3 = — 5.
2033. х3 = — 27.	2036. Зх3 = 2.
»' — —
2034. х3 = 3.	2037. — 4х3 = у.
2038.	Даказаць, што сума ўсіх кораняў ураўнення х3 = — 4 роўна 0.
2039.	Знайсці здабытак усіх кораняў ураўнення х8 = 6.
§ 255. Двухчленныя ўраўненні 4й ступені з сапраўднымі каэфіцыентамі
Так называюцца ўраўненні віду
ах4 = Ь, дзе a і b — адвольныя сапраўдныя лікі, адрозныя ад нуля.
Рашэнне такіх ураўненняў мы разгледзім на некаторых прыватных прыкладах.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне х4 = 16.
Перапішам дадзенае ўраўненне ў выглядзе:
х4 — 16 = 0.
Левую частку гэтага ўраўнення раскладзём на множнікі: х4 — 16 = (х2 — 4) (х2 + 4) = (х + 2) (х — 2) (х2 + 4).
Адсюль вынікае, што коранямі ўраўнення х4 = 16 будуць:
X! = 2; х2 = — 2; х3 = 2і; х4 = — 2і.
Сапраўднымі сярод гэтых кораняў з’яўляюцца толькі два корані:
Xj = — 2 і х2 = 2.	»
Прыклад 2. Рашыць ураўненне х4 = — 16.
У міюстве сапраўдных лікаў гэта ўраўненне не мае кораняў, таму што цотная ступень любога сапраўднага ліку неадмоўная. У вобласці ж камплексных лікаў гэта ўраўненне, як мы зараз пакажам, мае 4 розныя корані.	
Перапішам дадзенае ўраўненне ў выглядзе:
х4 + 16 = 0.
594
Выраз х4 + 16 можна разглядаць як суму квадратаў лікаў х2 і 4. Дапоўніўшы гэту суму да дакладнага квадрата, атрымаем:
х4 4 16 = х4 4~ 16 4~ 2 ■ 4х2 — 2 • 4х2 = (х2 + 4)2 — 8х2.
Цяпер выкарыстаем формулу для рознасці квадратаў двух лікаў: (Х2 + 4)2_8х3 = (х2 + 4 + ПН (х2 + 4/8?) = = (х2 + 2 /Іх 4 4) (х2 — 2/1х + 4).
Такім чынам,
х4 + 16 = (х2 4 2 /1х 4 4) (х2 — 2 /1х 4 4).
Таму ўраўненне х4 = — 16 можна запісаць у выглядзе: (х2 4 2 /^х 4 4) (х2 — 2 /1х 4 4) = 0.
Калі х2 4 2 /2 х 44 = 0, то
хг = — /1 — / 2/;
х2 = —1/14 К^;
калі ж х2 — 2 fix 44 = 0, то хм = / 2 +/2 — 4, або
х3 = ) 2 — У 2z;
х4 = /1 + Уіі.
Мы атрымалі чатыры корані ўраўнення: х* = — 16. Сярод іх няма ні аднаго сапраўднага кораня.
Прыклад 3. Рашыць ураўненне Зх4 = —6. Прынцыпова гэта ўраўненне не адрозніваецца ад папярэдняга. Таму мы прыводзім яго рашэнне без тлумаэнняў.
х4 = — 2.
х4 + 2 = х4 4 (fl)’ = х4 + (/І)2 4 2х2 /1 — 2х2 /1 =
= (Х2 + /1)2— 2/1х2 = (х2 4 /І)2— (К^*)2 = (*2 + К 8х 4
4	/1) • (х2 — К^х 4 /1).
Калі х2 4 /~8х 4 К"2 = 0, то
— К"8 ± К(К'8)2—4/1	Л±К2/1
Х1’2 "	2	~	2
— /1 + /Iz
“	2
20*
595
Калі ж х5 — / 8х+ / 2 = 0, то аналагічна атрымаем:
*3.4 = .
Такім чынам, дадзенае ўраўненне мае чатыры розныя корані. Сярод іх няма ні аднаго сапраўднага кораня.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні: 2040. х4 = 81. 2041. х4 = —81. 2042. х4 = 2.
2043. х4 = — 3.
2044. Зх4 = 5.
2045. Знайсці суму ўсіх кораняў ураўнення х4 = 4.
2046. Знайсці здабытак усіх кораняў ураўнення х4 = — 7.
§ 256. Трыганаметрычная форма камплексных лікаў
—>
Няхай камплекснаму ліку a + Ы адпавядае вектар ОА з каардынатамі (а, Ь) (рыс. 332). Абазначым даўжыню гэтага вектара праз г, а вугал, які ён утварае з воссю х, праз <р. Па азначэнню сінуса і косінуса:
a	b
— = cos <р; — = sin ср.
Таму a = rcos = —==,
Такая форма запісу камплексных лікаў называецца трыганаметрычнай.
596
Лік r y формуле (1) называецца модулем, a вугал 
    

    


   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты