КНІГІ ОНЛАЙН
Пошук сярод кніг, што прайшлі індэксацыю гуглам. Некаторыя кнігі гугл не знаходзіць
* А менавіта:
пункту гледжання былі апаненты. Супрацьлеглы погляд заснаваны на тым, што матэматычныя гіпотэзы трэба адрозніваць ад тэорый пабудовы сусвету. Згодна з такой думкай адна рэч — “захаваць вонкавасць”, наклаўшы матэматычныя ўзаемасувязі на з’явы, і зусім іншая — растлумачыць, чаму з’явы менавіта такія, якія яны ёсць.
Адрозненне паміж фізічна слушнымі тэорыямі і гіпотэзамі, якія “захоўваюць вонкавасць", зрабіў у I ст. да н.э. Гемін. Гемін пазначыў два падыходы да вывучэння нябесных з’яў. Адзін з іх — гэта падыход фізіка, які выводзіць рух нябесных целаў з іх сутнаснай прыроды. Другі — гэта падыход астранома, які выводзіць рухі нябесных целаў з матэматычных мадэляў і рухаў. Ен заявіў: “He справа астранома ведаць, якім целам па прыродзе наканаваны стан спакою, а якія целы маюць здольнасць да руху, аднак ён прыводзіць гіпотэзы, у адпаведнасці з якімі некаторыя целы застаюцца нерухомымі, а іншыя рухаюцца, а пасля вырашае, якім гіпотэзам адпавядаюць з’явы, фактычна бачныя на нябёсах".3
Пталемей аб матэматычных мадэлях
У II ст. н.э. Клаўдзій Пталемей сфармуляваў шэраг матэматычных мадэляў, па адной для кожнай з вядомых тады планет. Важнай рысай мадэляў з’яўляецца выкарыстанне эпіцыклічна-дэферэнтных акружнасцей, якія перадаюць бачныя рухі планет адносна задыяка. Згодна з эпіцыклічна-дэферэнтнай мадэллю планета Р рухаецца па эпіцыклічнай акружнасці, цэнтр якой рухаецца па дэферэнтнай акружнасці вакол Зямлі. Адкарэктаваўшы хуткасці абарачэння пунктаў Р і С, Пталемей змог перадаць перыядычна бачныя зваротныя рухі планет. Праходзячы ўздоўж эпіцыкла ад А да В, планета для назіральніка на Зямлі стварае бачнасць перамены кірунку руху на фоне зорак.
Пталемей падкрэсліваў, што для “захавання вонкавасці’ ў справе планетных рухаў можна пабудаваць не адну матэматычную мадэль. У прыватнасці, ён зазначыў, што можна пабудаваць рухома-эксцэнтрычную сістэму, якая з пункту гледжання матэматыкі эквівалентная прыведзвнай эпіцыклічна-дэферэнтнай сістэме*.
* Пталвмей аддаў належнае Апалонію Пергскаму (тварыў каля 220 г да н.э.) за тов, што той першым дакаэаў гэту эквівален-
тнасць.
Эпіцыклічна-дэферэнтная мадэль
Рухома-эксцэнтрычная мадэль
Згодна з рухома-эксцэнтрычнай мадэллю, планета Р рухаецца па акружнасці з цэнтрам у эксцэнтрыку С, прычым пункт С рухаецца ў супрацьлеглым кірунку па акружнасці з цэнтрам Е, Зямлёй. Што датычыць матэматычнай эквівалентнасці абедзвюх мадэляў, дык астраном вольны выбіраць тую, якая найбольш зручная.
У астраноміі ўзнікла традыцыя, згодна з якой астраном будуе матэматычныя мадэлі для "захавання вонкавасці", а не тэарэтызуе пра "сапраўдныя рухі" планет. Традыцыя ў значнай ступені паўстала дзякуючы працы Пталемея ў галіне планетных рухаў. Аднак самому Пталемею не ставала паслядоўнасці пры абароне гэтай пазіцыі. У "Альмагесце" ён даў зразумець, што матэматычныя мадэлі — гэта не болей чым сродак разліку, і што не варта трактаваць сітуацыю так, нібыта ён сапраўды прэтэндуе на адкрыццё эпіцыклічнага руху ў фізічнай прасторы. Аднак у больш позняй працы “Планетарныя гіпотэзы” ён абвясціў, што яго складаная сістэма акружнасцей выяўляе структуру фізічнай рэчаіснасці.
Занепакоенасць Пталемея абмежаваннвм астраноміі да “захавання вонкавасці" рэхам паўтарыў неаплатаніст Прокл, які жыў у V ст. Прокл скардзіўся, што астраномы знішчылі правільны навуковы метад. Замест дэдукцыі яны твораць гіпотэзы адзіна дзеля прыпадабнення да іх з'яў. Прокл сцвярджаў, што адпаведнай аксіёмай для
астраномаў з’яўляецца прынцып Арыстоцеля, паводле якога любы просты рух — гэта альбо рух вакол цэнтра сусвету, альбо да ці ад гэтага цэнтра. Ён палічыў няздольнасць астраномаў вывесці рух планет з гэтай аксіёмы за ўказанне на Боскае абмежаванне рамак чалавечага пазнання.
Заўвагі пад тэкстам
’ Galileo, The Assayer, trans, by S. Drake, in The Controversy on the Comets of 1618, trans. S. Drake and C.D. O'Malley (Philadelphia: University of Pennsylvania Press, 1960), 183-4.
2 D.R. Dicks, Early Greek Astronomy to Aristotle (London: Thames and Hudson, 1970), 104-7.
3 Геміна цытуе Сімпліцый, глядзі Commentary on Aristotle's Physics, in T.L. Heath, Aristarchus of Somos (Oxford: Clarendon Press, 1913), 275-6; reprinted in A Source Book in Greek Science, ed. M. Cohen and IE. Drabkin (New York: McGraw-Hill, 1948), 91.
ІДЭАЛ ДЭДУКЦЫЙНАЙ СІСТЭМАТЫЗАЦЫІ
ЭЎКЛІД (тварыў каля 200 г. да н.э.), паводле Прокла, быў настаўнікам і заснаваў сваю школу ў Александрыі. Найважнейшая праца, якая дайшла да нас, — гэта “Пачаткі’. Нельга нават з невялікай доляй упэўненасці сцвярджаць, у якой ступені гэта праца была кадыфікацыяй Існуючых геаметрычных ведаў, а ў якой — плёнам арыгінальнага досведу. Здаецца праўдападобным, што ў дадатак да прадстаўлення геаметрыі ў якасці дэдукцыйнай сістэмы Эўклід стварыў шэраг уласных доказаў.
АРХІМЕД (287—212 гг. да н.э.), сын астранома, нарадзіўся ў Сіракузах. Лічыцца, што ён правёў пэўны час у Александрыі, магчыма, вучыўся ў пераемнікаў Эўкліда. Вярнуўшыся ў Сіракузы, прысвяціў сябе даследаванням у галіне чыстай і прыкладной матэматыкі.
У антычнасці Архімед стаўся славутым у значнай ступені дэякуючы сваім дасягнвнням у галіне вайсковай інжынерыі. Даходзілі звесткі, што катапульты яго канструкцыі паспяхова выкарыстоўваліся ў змаганні супраць рымлян у часе аблогі СІракузаў. Казалі, нібыта сам Архімед болей цаніў свае тэарэтычныя дасягненні ў галінах канічных сячэнняў, гідрастатыкі і раўнавагі з ужываннем эакону рычага. Паводле падання, Архімед эагінуў ад рукі рымскага салдата, калі рашаў задачу па геаметрыі.
Сярод старажытных аўтараў быў шырока распаўсюджаны тэзіс, нібыта структура закончанай навукі павінна быць дэдукцыйнай сістэмай сцвярджэнняў. Арыстоцель рабіў націск на дэдукцыі высноў з першых прынцыпаў. Шмат якія аўтары ў позняй антычнасці лічылі, што ідэал дэдукцыйнай сістэматызацыі рэалізаваны ў геаметрыі Эўкліда і ў статыцы Архімеда.
Эўклід і Архімед сфармулявалі сістэмы сцвярджэнняў, якія ўключаюць у сябе аксіёмы, дэфініцыі і тэарэмы, арганізаваныя такім чынам, што ісціннасць тэарэм вынікае з мяркуемай ісціннасці аксіём. Напрыклад, Эўклід
даказаў, што яго аксіёмы разам з дэфініцыямі такіх тэрмінаў, як “вугал” і ‘трохвугольнік’, выводзяць: сума вуглоў трохвугольніка роўная суме двух прамых вуглоў. А Архімед даказаў на падставе сваіх аксіём аб рычагу, што дзве няроўныя вагі ўраўнаважваюцца на адлвгласцях ад кропкі апоры, якія зваротна прапарцыянальныя да вагі.
Тры аспекты ідэалу дэдукцыйнай сістэматызацыі — гэта (1) дэдукцыйная ўзаемасувязь аксіём і тэарэм; (2) відавочная ісціннасць саміх аксіём; (3) згоднасць тэарэм з назіраннямі. Філосафы навукі займалі розныя пазіцыі наконт другога і трэцяга аспектаў, аднак што да першага аспекта, дык панавала агульная згода.
Нельга прыняць дэдукцыйны ідэал, не прызнаўшы дэдукцыйнай узаемасувязі тэарэм з аксіёмамі. Эўклід з Архімедам выкарыстоўвалі два важныя слосабы, каб даказаць тэарэмы, зыходзячы з адпаведных аксіём: доказы тыпу reductio ad absurdum і метад вычарпання.
Тэхніка доказу тэарэмы “Т" шляхам reductio ad absurdum заснавана на дапушчэнні таго, што рэчаіснасці адпавядае “не-Т", і на дэдукцыі з ’не-Т" і з аксіём сістэмы як сцвярджэння, так і яго адмовы. Калі такім чынам можна дэдукаваць два супярэчлівыя сцвярджэнні і калі аксіёмы сістэмы слушныя, то тады “Т" таксама адпавядае рэчаіснасці*.
Метад вычарпання — гэта працяг тэхнікі reductio ad absurdum. ён палягае на даказванні таго, што любая з магчымых антытэарэм мае вынікі, якія ўступаюць у супярэчнасць з сістзмай**.
* Архімед выкарыстаў доказ шляхам reductio ad absurdum, каб дакаэаць, што ‘вагі, якія энаходэяцца ў стане раўнавагі на аднолькавай адлегласці ад кропкі апоры, — роўныя* ('Т'). Напачатку ён дапусціў правільнасць супярэчлівага сцвярджэння, што 'вагі ў отане балансу —роэныя па велічыні’ ("нв-Т"), а пасля прадэманстраваў памылковасць 'не-Т’, таму што яе высновы супярэчаць аксіёмам сістэмы. Бо калі б “не-V была ісціннай, то можна было б зменшыць большую вагу да дасягнення роўнавялікасці вагаў. Аднак трэцяя аксівма абвяшчае, што калі паменшыць адну э вагаў, якія першапачаткова знаходзіліся ў стане раўнавагі, то рычаг пахіліцца ў бок няэменшанай вагі. Рычаг болвй не будзе знаходэіцца ў стане раўнавагі. Аднак гэта пярэчыць тэарэмв ’нв-П, тым самым пацвярджаючы ’Т’.'
*• Архімед выкарыстаў метад вычарпання пры доказе таго, што плошча круга роўная плошчы прамавугольнага трохвугольніка, асновай якога з’яўляецца радыус круга, а вышынёй — даўжыня акружнасці. Архімед даказаў тэарэму, прадэманстраваўшы, што калі плошча круга большая ці меншая за плошчу трохвугольніка, то гэта супярэчыць геаметрычнай аксіяматычнай сістэме? Гл. малюнак на с.34.
Архімедава сувязь круг-трохвугольнік
Улічваючы неабходнасць дэдукцыйных адносін паміж аксіёмамі і тэарэмамі, эўклідава геаметрыя была ашчаднай. Эўклід дэдукаваў цэлы шэраг сваіх тэарэм, выкарыстаўшы аперацыі па накладанні фігур адна на другую для ўсталявання іх кангрузнтнасці. Але ў аксіёмах не робіцца спасылак на аперацыю накладання. Такім чынам, Эўклід “даказаў" некаторыя са сваіх тэарэм, выходзячы за аксіёмную сістэму. Эўклідава геаметрыя была пераліта ў жорсткую дэдукцыйную форму напрыканцы XIX ст. Дэвідам Хілбертам*. Паводле рэканструкцыі Хілберта, кожная тэарэма сістэмы з'яўляецца дэдукцыйным вынікам аксіём і дэфініцый.
Другім, больш супярэчлівым аспектам ідэалу дэдукцыйнай сістэматызацыі з'яўляецца патрабаваннв да саміх аксіём прадстаўляць сабой відавочныя ісціны. Гэта патрабаванне выразна сфармуляваў Арыстоцель, які настойваў на тым, каб першыя прынцыпы адпаведных навук былі неабходнымі ісцінамі.
Патрабаванне да аксіём дэдукцыйнай сістэмы быць відавочнымі ісцінамі таксама адпавядае піфагарэйскаму падыходу да натурфіласофіі. Перакананы піфагарэец лічыць, што ў прыродзе існуюць матзматычныя адносіны, якія могуць быць спасцігнуты розумам. Зыходзячы з гэтага пункту гледжання, натуральна лічыць, што пачат-
* Сустракаецца і такое напісанне гэтага прозвішча — Гільберт. — Заўв. перахл.
ковым пунктам дэдукцыйнай сістэматызацыі павінны быць тыя матэматычныя адносіны, якія ляжаць у аснове з'яў.