Каралева дакладных навук: Соф’я Кавалеўская
Вольга Гапоненка
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 72с.
Мінск 2010
Соф’я Кавалеўская з дачкой Софай. Стакгольм, 1886 год
Уладзімір Кавалеўскі, заснавальнік эвалюцыйнай палеанталогіі, дацэнт Маскоўскага ўніверсітэта
Юлія Лермантава, першая ў Расеі жанчына доктар хіміі. Абараніла дысертацыю ў Гётынгенскім універсітэце. 1880 год
Стакгольм — горад, дзе Соф’я Кавалеўская
мела найбольшы навуковы і творчы плён
Магнус Гёста МітагЛёфлер, прафесар Стакгольмскага ўніверсітэта, заснавальнік «Acta mathematica». 1890 год
Соф’я Кавалеўская з сваёй сяброўкай — шведскай пісьменніцай АннайПІарлотай Лёфлер
Адна з рукапісных старонак матэматычных разлікаў С.Кавалеўскай. Арыгінал захоўваецца ў архіве Інстытута МітагЛёфлера (Швецыя)
3 рукапіснай спадчыны С. Кавалеўскай. Захоўваецца ў Архіве Шведскай акадэміі навук
Паведамленне аб прысуджэнні Соф’і Кавалеўскай Парыжскай акадэміяй навук у 1888 годзе прэміі імя Бардэна
Ліст С. Кавалеўскай да Гуга Гюльдэна, дырэктара абсерваторыі ў Стакгольме, за 21 траўня 1888 года. Захоўваецца ў Архіве Шведскай акадэміі навук
Прафесар Стакгольмскага ўніверсітэта Соф’я Кавалеўская. 1890 год
Мемарыяльны кабінет у музеісядзібе С. В. Кавалеўскай у вёсцы Палібіна
Мемарыяльны музейсядзіба С. В. Кавалеўскай у вёсцы Палібіна (цяпер у Вялікалуцкім раёне Пскоўскай вобласці, Расея)
Помнік на магіле Соф’і Кавалеўскай. Стакгольм, Новыя могілкі
навукі — палеаэкалогіі. Гэтыя высновы былі абагульненыя ў працы “Спроба натуральнай класіфікацыі выкапнёвых жывёл”, якую У.Кавалеўскі прысвяціў Ч.Дарвіну.
Соф’я і Уладзімір зноў сталі дзяліцца радасцямі і нягодамі, сумневамі і ідэямі. Паступова прыходзіла перакананне, што ім трэба быць поруч. Кавалеўскія вярталіся ў Берлін разам. На сэрцы ў Соф’і было спакойна. Яна была гатовая да змагання за дыплом доктара навук.
ЗАДАЧЫ ДЛЯ САМАСТОЙНЫХ РАЗВАЖАННЯЎ
Заняткі матэматыкай крок за крокам адчынялі перад упартай вучаніцаю шырокія магчымасці тэорыі функцый* і яе дадаткаў.
Тры незалежныя праблемы былі пастаўлены перад С.Кавалеўскай прафесарам Ваерштрасам. Першая з іх датычыла развязання раўнанняў у частковых вытворных. Яшчэ Айзэк Ньютан заўважыў, што ступеневыя шэрагі з’яўляюцца магутным сродкам для развязання дыферэнцыяльных раўнанняў. Аднак тады, бадай, ніхто не разважаў над пытаннем, ці мае ўсялякі ступеневы шэраг суму, ці ёсць тая сума на самой справе развязкам дадзенага раўнання. Новыя магчымасці пабудовы дакладнай тэорыі з’явіліся дзякуючы падыходу, прапанаванаму незалежна адзін ад аднаго А.Кашы** і К.Ваерштрасам. Цяпер у руках матэматыкаў быў крытэр, які даваў упэўненасць, што дадзенае раўнанне развязваецца з дапамогаю ступеневага шэрагу.
С.Кавалеўская здолела даказаць самую агульную тэарэму — існавання галаморфнага развязання сістэмы раўнанняў з частковымі вытворнымі нармальнага віду. Яна паказала, што развязанне сістэмы раўнанняў
*Тэорыя функцый — галіна матэматыкі, прысвечаная вывучэнню ўласцівасцяў розных функцый. Падзяляецца на тэорыю функцый рэчаіснай зменнай і тэорынз функцый камплекснай зменнай.
**Кашы Агюстэн Люі (17891857) — французскі матэматык, сябар Парыжскай акадэміі навук.
37
агульнага віду аналітычнае, г. зн. можа быць пададзенае праз ступеневыя шэрагі. Яе талент дапамог знайсці арыгінальны шлях развязання аналагічных задач — яна распрацавала паступовы пераход ад больш простага да больш складанага, а потым прывяла ўсё складанае да простага. Даследуючы развязанне аднаго з грунтоўных раўнанняў, якое апісвала распаўсюджванне цяпла ў стрыжні, С.Кавалеўская знайшла некаторыя адметныя ўласцівасці гэтага развязання, што сталася нечаканым не толькі для яе настаўніка.
Вядома, што Кашы ў 1842 годзе прапанаваў тэарэму існавання для лінейнай сістэмы раўнанняў з частковымі вытворнымі і паказаў, як прывесці да гэтага выпадку нелінейную сістэму. He ведаючы пра вынікі згаданых даследванняў*, С.Кавалеўская даказала існаванне адзінага аналітычнага развязання задачы Кашы з частковымі вытворнымі.
Незалежна ад Кашы яна знайшла лінейнае пераўтварэнне аргументаў, якое прыводзіла раўнанне да нармальнай формы. Прапанаваны С.Кавалеўскай доказ быў прасцейшы за доказ Кашы і, паводле слоў А.Пўанкарэ**, яна дала тэарэме яе канчатковую форму.
Высновы, атрыманыя С.Кавалеўскай, былі нагэтулькі смелымі для таго часу, што некаторыя навукоўцы нават ставілі пытанне пра ступень яе самастойнасці ў навуковых даследваннях. У гэтай сувязі Карл Ваерштрас зазначаў: “У дысертацыі я — калі не ўлічваць таго, што паправіў шматлікія граматычныя памылкі, — не браў іншага ўдзелу, акрамя таго, што паставіў задачу перад аўтарам...”
С.Кавалеўская знайшла, што існуюць шэрагі, якія фармальна праўдзяць раўнанне з частковымі вытворнымі, але якія нідзе не збягаюцца. Гэта падштурхнула К.Ваерштраса да далейшага даследвання пытання аб структуры развязанняў найбольш простага раўнання парабалічнага тыпу.
*Мяркуючы па матэрыялах навуковай перапіскі, ні С.Каваледская, ні КВаерштрас на той час не былі знаёмыя з працамі А.Кашы.
**Пданкарэ Анры (1854—1912)— выдатны французскі матэматык, сябар Парыжскай акадэміі навук.
38
Так адна з найбольш складаных задач матэматычнага аналізу была развязаная ў поўным аб’ёме і набыла дзякуючы С.Кавалеўскай ідэальна завершаную форму. У залаты фонд матэматыкі даследванне ўвайшло пад назовам “Тэарэма КашыКавалеўскай”, і яна выкладаецца ў асноўных курсах аналізу.
Ужо ў ліпені 1874 года праца “Да тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў з частковымі вытворнымі” набыла канчатковы выгляд*. Яна была пададзеная С.Кавалеўскай як частка дысертацыйнага даследвання на філасофскі факультэт Гётынгенскага ўніверсітэта і адначасова накіраваная ў прэстыжнае матэматычнае выданне Нямеччыны таго часу — часопіс “Journal fiir die reine und angewandte Mathematik”**. Права надрукавацца ў ім заслугоўваў далёка не кожны матэматык, і для пачаткоўца гэта быў вялікі гонар.
Сталае майстэрства і тонкае разуменне прыватнага, але вельмі няпростага пытання праявілася ў наступным даследванні нашай суайчынніцы — “Аб прывядзенні аднаго класа абэлевых інтэгралаў трэцяга рангу да інтэгралаў эліптычных”***. Ёю былі знойдзеныя ўмовы прывядзення ультраэліптычнага інтэграла, які ўтрымліваў пад знакам кораня паліном восьмай ступені, да эліптычнага інтэграла першага роду.
Гэтая, здавалася б, чыста матэматычная задача мела велізарнае значэнне для развязання праблем практычнай механікі. Яшчэ ў старажытныя часы ўзнікла прынцыповае пытанне — як вылічыць плошчу фігуры, калі крывая, якая яе абмяжоўвае, мае складаную форму. Развязак быў знойдзены з дапамогаю інтэгральнага вылічэння. Фігуру дзялілі на прастакутнікі як мага
* На пачатку 1875 года g "Дакладах Парыжскай акадзміі навук" з’явідся артыкул Дарбу, прысвечаны гэтаму самаму пытанню. "Я ганаруся, што маёй вучаніцы ддалося выперадзіць сваіх канкурэнтад як па часе, так і д самім прадмеце", — пісад К.Ваерштрас 21 красавіка 1875 года д лісце да С.Каваледскай.
**Zur Theorie der par Hellen Differentialgleichungen // Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. 1875. Bd 80. S. 1—32.
***"Абэлевы інтэгралы" назеаны д гонар Нільса Генрыха Абэля (18021829) — нарвежскага матэматыка, адтара падставоеых працад па тэорыі аналітычных функцый.
39
меншай плошчы. Склаўшы суму плошчаў, атрымалі значэнне плошчы фігуры. Самы дакладны вынік будзе пры бясконцым мностве прастакутнікаў, калі сума плошчаў імкнецца да ліміту — да інтэграла. Ступень складанасці інтэграла залежыць ад формы крывой лініі, якая абмяжоўвае плошчу. Чым яна складанейшая, тым вышэйшы ранг мае абэлевы інтэграл. Развязанне задачы патрабавала грунтоўнага ведання тэорыі абэлевых функцый — адной з найбольш складаных тэорый матэматычнага аналізу.
Задачай спрашчэння абэлевых інтэгралаў другога рангу займаўся прафесар Л.Кёнігсбэргер, у якога вучылася С.Кавалеўская. Вучаніца перасягнула настаўніка: яна змагла спрасціць больш складаны інтэграл — інтэграл трэцяга рангу. І зноў, “разгледзеўшы вельмі складаныя, вельмі агульныя ўмовы, пры якіх адзін з гэтых [абэлевых] інтэгралаў прыводзіцца да іншых больш простых, С.В.Кавалеўская помайстэрску развязвае складанае і ў той жа час далікатнае пытанне”, — так характарызаваў навуковы стыль і ровень навукоўца адзін з яе сучаснікаў*.
Нягледзячы на значнасць вынікаў і навуковую завершанасць, гэтую працу С.Кавалеўская апублікавала толькі ў 1884 годзе**.
У 1802 годзе французскі матэматык, механік і астраном П.Ляпляс у працы “Нябёсная механіка” выказаў меркаванне, што колца Сатурна складаецца з некалькіх тонкіх вадкіх*** колцаў, якія не ўзаемадзейнічаюць адно з адным, і вызначыў яго папярочнае сячэнне як эліпс. С.Кавалеўская знайшла больш высокую ступень набліжэння ў параўнанні з развязаннем Ляпляса, што дазволіла ёй даказаць, што колца Сатурна, каб аказацца ва ўстойлівым стане раўнавагі, павінна быць у вадкім стане і мець не эліптычную (паводле Ляпляса),
*Некрасов П.А. 0 трудах С.В.Ковалевской no чйстой математйке // Математйческйй сборнйк. 1391. Т. 16, вып. 1. С. 3555.
**Ober die Reduction einer bestimmten Klasse Abefscher Integrate 3en Ranges auf elliptische Integrale // Acta mathematica. 1884. Vol. 4. S. 393414.
*** Unnep вядома, ійто колца Сатурна складаецца з астэроідаі).
40
а яйкападобную форму (г. зн. форму авала, сіметрычнага толькі адносна адной простай лініі).
Ці можна вызначыць элементы колца (паўвосі эліпса, адлегласць яго цэнтра ад восі авароту) і яго вуглавую хуткасць так, каб вадкасць захоўвала стан раўнавагі адносна паверхні колца? П.Ляпляс зыходзіў з меркавання, што адлегласць ад цэнтра, які ўтварае эліпс, да восі авароту вельмі вялікая параўнальна з паўвосямі эліпса. Такое дапушчэнне дазволіла замяніць колца бясконцым эліптычным цыліндрам. С.Кавалеўская пайшла іншым шляхам. Яна палічыла, што лінія, якая ўтварае колца, неістотна адрозніваецца ад эліпса і мае вось сіметрыі, якая перасякае пры сваім прадаўжэнні вось колца пад простым кутом. Абмяжоўваючы вылічэнне набліжэннем 2й ступені, яна атрымала ўдакладненне да ляплясавага развязку, якое дае яйкападобную форму папярочнага сячэння колца, і знайшла залежнасць паміж вуглавой хуткасцю авароту, масай цела і параметрамі а і 0.
Гэтую працу С.Кавалеўская накіравала ў друк толькі праз дзесяць гадоў. Яе адразу змясціў на сваіх старонках нямецкі астранамічны часопіс “Astronomische Nachrichten”, а потым падрабязна выклаў у “Курсе нябёснай механікі” французскі астраном Ф.Тысэран. Асноўныя вынікі, якія датычылі паводзін вадкай масы, былі ўключаныя Г.Лямбам у курс гідрадынамікі.
КНІГІ ОНЛАЙН
