Лікі ў нашым жыцці

Міхась Булавацкі

Выдавец: Тэхналогія

Памер: 95с.

Мінск 2024

40.35 МБ

Міхась Булавацкі для рэпетытараў, для бацькоў, у каго дзеці да 9 класа, для цікаўных школьнікаў, для ўсіх, хто цікавіцца матэматыкай ЛІКІ ў нашым жыцці Міхась Булавацкі ЛІКІ нашым жыцці Мінск “Тэхналогія” 2024 УДК 51 ББК 22.1 Б90 Булавацкі, М. П. Б90 Лікі ў нашым жыцці / Міхась Булавацкі. Мінск : Тэхналогія, 2024. 95 с. : іл. ISBN 9789854583716. У кнізе цікава апавядаецца пра лікавыя мноствы. Аўтар багата скарыстоўвае беларускі фальклор, згадвае сімволіку розных краін, паказвае асаблівасці вылічэнняў, пачынаючы ад табліцы множання, і карысныя прыёмы запамінання інфармацыі. Ён знаёміць чытача з новымі ідэямі ў навучанні матэматыцы, з метадычнымі знаходкамі беларускіх настаўнікаў, студэнтаў і нават школьнікаў пры вывучэнні аперацый з рацыянальнымі лікамі і алгебраічнымі выразамі. Для актыўных настаўнікаў матэматыкі, рэпетытараў і цікаўных школьнікаў, а таксама бацькоў, у каго дзеці да 9га класа, і ўсіх маладых людзей, зацікаўленых у падвышэнні свайго інтэлектуальнага ўзроўню. УДК 51 ББК22.1 ISBN 9789854583716 © Булавацкі М. П., 2024 © Афармленне. НВК “Тэхналогія”, 2024 3 М Е С Т 1. Натуральныя лікі......................................... 8 Складанне, множанне натуральных лікаў.....................27 2. Цэлыя лікі.............................................. 35 Складанне цэлых лікаў.................................... 35 Множанне, дзяленне цэлых лікаў. Схема ГайковаКрысіна.....37 3. Рацыянальныя лікі........................................44 Складанне звычайных дробаў. Варыянт Мікалая Ламазы........45 Узаемна адваротныя аперацыі...............................47 4. Рэчаісныя лікі...........................................49 Акругленне лікаў..........................................49 Перыядычныя дробы.........................................50 Ірацыянальныя лікі........................................52 5. Уяўныя лікі. Камплексныя лікі............................60 Стандартны выгляд ліку....................................61 Развагі для нематэматыкаў.................................62 Дадатак 1. Задачка з тэорыі імавернасцяў....................65 Дадатак 2. Навучанне матэматыцы буйнымі блокамі (на прыкладзе тэмы “Прагрэсіі”).............................67 Прыклады выкарыстання прагрэсій.............................88 Навука хаця й намучыць, ды жыць навучыць (народная прымаўка) Уменне вылічваць не менш важнае, чым уменне пісаць і чытаць, яно прыйшло да чалавека гістарычна раней. Здавалася б, з прагрэсам гэтае ўменне будзе шліфавацца, удасканальвацца. Але сёння назіраецца адваротнае: не такая ўжо рэдкая з’ява, калі шасцікласнік, каб памножыць 17 на 10, націскае кнопкі калькулятара. I не тое, каб ён не ўмеў сам перамножыць гэтыя лікі, але робіць гэта “на аўтамаце”, ён проста не верыць у свае магчымасці вусна перамнажаць двухзнакавыя лікі і, бачачы там па два знакі, бярэцца за калькулятар. Чалавек перадае адну за адной свае функцыі машынам, і сам страчвае ўменні, раней уласцівыя толькі яму. Адбяры ў яго машыну — і ён становіцца бездапаможным. Але чалавек прыдумляе ўсё новыя машыны, якім зможа перадаць астатнія свае функцыі. I вось ужо прыцэльваецца стварыць машыну, якая ўмее думаць. 3 жахам уяўляю: а раптам у яго гэта атрымаецца?! А пакуль такой машыны няма, трэба вучыць думаць чалавека. I тут матэматыка ў авангардзе працэсу. Пачынаць навучанне матэматыцы сёння, як і раней, трэба з навучання вылічэнням: натуральныя лікі складанне, адыманне; цэлыя лікі множанне, дзяленне; рацыянальныя лікі дзеянні з дробамі... Этымалогія слова “лік” даволі багатая. У ніжнялужыцкай мове “лічь'іць” азначала “рабіць яўным”. Яно і сапраўды вылічэнні робяць яўнымі суадносіны велічынь. Вось двое чабаноў пасвяць авечак. У аднаго атара белых авечак, у другога чорных. I паспрачаліся, у каго авечак болей. А лічыць не ўмеюць. Што рабіць? Выйсце знайшлося. Заганяюць у кашару адну белую авечку і адну чорную, потым яшчэ адну белую і адну чорную... I так заганялі па адной, пакуль усе авечкі аднаго чабана 7 не апынуліся ў кашары, тым часам як у другога яшчэ некалькі авечак засталіся на волі. Атары вялікія, і змарнавалі яны на спрэчку ўвесь дзень. I самі стаміліся, і авечкі галоднымі засталіся. А калі б умелі лічыць, то спрэчка скончылася б нашмат хутчэй. “He спрачаймася, лепш вылічым ісціну”, — раіў нямецкі матэматык Готфрыд Вільгельм Ляйбніц яшчэ ў XVII стагоддзі. Дык пачнем жа знаёмства з лікамі, якія суіснуюць побач з намі. 1. НАТУРАЛЬНЫЯ ЛІКІ Пра натуральныя лікі варта расказваць з павагай да іх, згадваючы прыклады навакольнага асяроддзя і шмат прыказакпрымавак. Нямецкі матэматык Леапольд Кронэкер так выказаў сваю павагу да гэтых лікаў: “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” (“Натуральныя лікі стварыў Бог, усе астатнія справа чалавека”). Натуральны лік панятак неазначальны (тое, паводле Кронэкера, ад Бога). Мы карыстаемся натуральнымі лікамі ў падліку нейкіх рэчаў, напрыклад, кніг на палічцы ці алоўкаў у скрынцы. I пачынаем з ліку 1. Гэта галоўны лік (кароль) Каралеўства натуральных лікаў, хаця ён самы маленькі з іх. 3 гэтай прычыны ён абазначаецца самым простым знакам (вертыкальнай рыскай) і прыходзіць да маленькага чалавека першым. Пра 1 маем шмат выслоўяў і прыродных сведчанняў: адно сонца зямлю грэе; адна галаваў чалавека; адзін хвост у сабакі; адно дрэва — не лес; адна пчала мёду не наносіць; адной рукой вузла не завяжаш; адзін у полі не ваяр (але, здараецца, і адзін у полі ваярў з адной кветкі вянка не спляцеш; адзін шпак вясны не робіць; з аднаго гнязда птушкі, з аднаго балота чэрці; праз аднаго барана ўвесь статак паганы; адным арэхам падзеліцца (пра шчодрага чалавека). У музыцы: сола (з лаціны solus адзін) выкананне музычнага твора ці яго тэматычнай часткі адным голасам або адным інструментам. 9 Наступны лік 2 =1 + 1 (пара). Пра лік 2 таксама шмат і выслоўяў, і сведчанняў прыроды: у птушкі два крылы; у ракі два берагі; у чалавека дзве рукі, дзве нагі, два вокі, два вухі; двое глядзяць, двое слухаюць, а адзін кажа (загадка пра чалавека); двум мядзведзям у адной бярлозе не ўжыцца; хто два зайцы гоніць ніводнага не здагоніць (аналагі: сядзець на двух крэслах; служыць двум гаспадарамў, скупы двойчы плоціць, а дурань двойчы ходзіць; за аднаго бітага двух нябітых даюць; не рабі другому, што не люба самому; адна галава добра, а дзве лепей; адно вока бачыць далёка, а два яшчэ далей; пасмяяўся гаршчок з катла абодва чорныя; сябруюць як два каты ў меху; падобныя як дзве кроплі вады; між двух агнёў (так кажуць пра цяжкое, амаль безвыходнае становішча). Сям’ю ствараюць два чалавекі мужчына і жанчына. Інь і ян ключавыя паняткі даоскай філасофіі, што сімвалізуюць дзве супрацьлегласці, якія непарыўна звязаныя і дапаўняюць адна адну (цемра святло, вада агонь, адмоўнае дадатнае, пасіўнае актыўнае, жаночае мужчынскае, мяккае цвёрдае, ніжняе — верхняе...). Дуэт ансамбль з двух выканаўцаў. Нярэдкі сінонім “пары” “дубль” (ад лацінскага duplex падвойны). Калі футбольная каманда выйграе і чэмпіянат, і кубак краіны, то кажуць: “Яна зрабіла залаты дубль”. Дублікат другі асобнік нейкага дакумента. Лацінскае bis (двойчы) выгукваюць на канцэртах, калі просяць паўтарыць песню, якая спадабалася. Адсюль і прыстаўка “Ьі” (біятлон лыжнае двухборства; у матэматыцы біном двухсклад, 10 напрыклад, A + В; білінгвізм, або двухмоўе папераменнае карыстанне дзвюма мовамі; бінарная аперацыя нейкая аперацыя з двума элементамі, напрыклад, множанне). Здабытак двух аднолькавых множнікаў называюць квадратам ліку (36 = 6x6, таму 36 ёсць квадрат ліку 6). Двухгаловыя арлы сустракаюцца на гербах розных краін, напрыклад, Албаніі, Расійскай Федэрацыі, Сербіі, Чарнагорыі. Раней такія істоты былі на гербах некаторых іншых еўрапейскіх краін (напрыклад, Аўстрыі), але ад іх паступова адмаўляюцца. Ямб і харэй варыянты двухскладовай рытмікі ў вершах. Далей лік 3 = 1 + 1 + 1. Лік 3 асвечаны Бібліяй (“Святая Тройца”). I тут шмат выслоўяў: заблукаць у трох соснах (заблытацца ў нечым зусім простым); дзе двое б ’юцца, там трэці карыстаецца; на рабоце “вой ” ды “вох ”, а за сталом адзін за трох; уваткнуць свае тры грошы (рэпліка да чыёйсьці прамовы). Квартал гэта тры месяцы, чацвертая частка года. Трыё ансамбль з трох выканаўцаў. Народная задачазагадка: два сыны, два бацькі і дзядуля з унукам колькі ўсіх? Адказ: 3. “Тры дарожанькі” знакамітая песня на словы Янкі Купалы. Яе варта б ведаць кожнаму беларусу. Тры найменшая колькасць старон многавугольніка. Трохвугольнік, у адрозненне ад іншых многавугольнікаў, фігура жорсткая, г. зн. нельга змяніць вуглы, не змяняючы старон. Менавіта таму трохвугольнік часта скарыстоўваюць, напры клад, пры будаўніцтве мастоў для большай іх трываласці. Здабытак трох аднолькавых множнікаў называюць кубам ліку (8 = 2 х 2 х 2, таму 8 ёсць куб ліку 2). Даўжыня, шырыня і вышыня вымярэнні трохмернай прасторы, у якой мы існуем. Двухмерная прастора плоскасць, там размяш 11 чаюцца фігуры, што маюць толькі даўжыню і шырыню. Аднамерная прастора простая лінія, на якой можна змясціць фігуры, што характарызуюцца толькі даўжынёй. Лік 3 другі з трохкутных лікаў (першым быў лік 1, наступнымі будуць 6, 10, 15, 21... г. зн. колькі кружочкаў можна размясціць у выглядзе правільнага трохвугольніка): Більярдная піраміда правільны трохвугольнік з 15 шароў (15 пяты трохкутны лік, і на кожным баку піраміды 5 шароў)