Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
два выніковыя плюсы адным. Адкінулі знакі
множання, бо і для дзялення схема працуе.
Ніякага далейшага ўдасканалення не знайшлося. Спыніліся на такім варыянце, які справа (19 сігналаў).
Такое самае заданне даў студэнтам фізічнаматэматычнага факультэта, у якіх выкладаў методыку матэматыкі. Адзін з іх (Алесь Гайкоў) прынёс такую схему (18 сігналаў):
Знакі дадзеных лікаў месцяцца ў кружочках, знак іх здабытку ці дзелі шукаем у квадраціках пры руху насустрач. Схема Гайкова несумненны крок наперад, яна кампактная і лёгказапамінальная. Гэта я і сказаў сваім “зяблікам” (клас 5зэ). Вось, маўляў, што значыць думка студэнта. Меркаваў, што гэтым усё тут і закончыцца. Але нечакана адчуў нейкае супраціўленне. “Зяблікі” даволі крытычна паставіліся да схемы Гайкова, сказалі, што там шмат лішніх сігналаў. Напрыклад, множанне плюса на мінус паказана ажно чатыры разы. Вынікам спрашчэння стала вось такая фігура (12 сігна
39
лаў). Мне яна падалася менш запамінальнай, але “зяблікі” былі задаволеныя сваім удзелам, і я прызнаў, што для гэтай задаволенасці ёсць падставы.
Назаўтра перад урокам Саша Крысін падышоў і паведаміў, што схему з знакамі можна яшчэ спрасціць. “Прынясеш ідэю на гурток”, спачатку адказаў я, каб не траціць на
гэта час урока. Але ўбачыўшы, што таго аж распірае ад жадання выказацца, прапанаваў яму паказаць новую схему на ўроку. Вучань намаляваў на дошцы тры кругі, два сінія і адзін чырвоны, паставіўшы ў сініх кругах мінусы, а ў чырвоным плюс.
“Мінус на мінус, ён закрыў рукамі два мінусы, будзе плюс, мінус на плюс, закрыў кружочкі з мінусам і плюсам, — будзе мінус. А плюс на плюс мы і ў першым класе ўмелі множыць”.
Клас адрэагаваў воплескамі. He стрымаўся і я, далучыўся да апладысментаў. Так гэтая схема і пачала называцца ў нас схемай ГайковаКрысіна.
Пазней, калі мы пакруцілі гэтую схему на гуртку, знайшлі ёй яшчэ адно дастасаванне. Акрамя правіла знакаў пры множанні і дзяленні лікаў, тут змяшчаецца правіла модуляў пры складанні такіх лікаў: пры складанні двух адмоўных лікаў (закрываем два мінусы, бачым плюс) іх модулі складваюцца, а пры складанні двух лікаў з рознымі знакамі (закрываем мінус і плюс, бачым мінус) іх модулі адымаюцца яд большага меншы. А складваць два дадатныя лікі, сказаў бы Саша Крысін, мы і ў першым класе ўмелі. Для знака сумы схема не патрэбная, там заўсёды знак ліку з большым модулем.
Раю настаўнікам на пачатку выканання дзеянняў з дадатнымі і адмоўнымі лікамі павесіць у класе малюнак з схемай Гайкова—Крысіна.
Гэта паскорыць засвоііванне гэтых дзеянняў. Праверана!
40
Дзяленне, як ужо сказана, не заўсёды выконваецца ў мностве цэлых лікаў. I тады ўзнікае пытанне пра распазнаванне такой магчымасці г. зн. пра прыкметы падзельнасці.
Папулярныя прыкметы на 2", на 5" (калі лік, утвораны апошнімі п лічбамі дадзенага ліку дзеліцца на 2” ці на 5", то і дадзены
лік дзеліцца на той самы лік) і на 3 (калі сума лічбаў дадзенага ліку
дзеліцца на 3, то і сам лік дзеліцца на 3, тое самае ні на 9).
Аргументацыя грунтуецца на трох тэарэмах:
1) тэарэма падзельнасці сумы (калі кожны складнік кратны нейкаму ліку, то і сума кратная гэтаму ліку);
2) тэарэма непадзельнасці сумы (калі адзін складнік не кратны нейкаму ліку, а ўсе астатнія
і пры дзялен
/ ^атуралЬНа X
/ „ершыя дзве \ тэарэмы
ₜ '’Рыдатныя / \ ' д^я рознасці z
яму кратныя, то сума не кратная гэтаму ліку);
3) тэарэма падзельнасці здабытку (калі адзін з множнікаў кратны нейкаму ліку, то і здабытак кратны гэтаму ліку).
Доказы ў 5 класе можна праводзіць на канкрэтных ліках у варыянце, які прыдатны і для агульных разважанняў. Напрыклад, для падзельнасці на 2 і на 5.
8376 = 837 х Ю + 6
Першы складнік дзеліцца на 2 і на 5, бо адзін з множнікаў (10) дзеліцца на гэтыя лікі. Таму паводле тэарэмаў аб падзельнасцінепадзельнасці сумы вынік залежыць ад апошняга складніка. A гэта апошняя лічба дадзенага ліку.
Калі пры вывучэнні тэмы “Дзяленне з астачай” добра адпрацаваны запіс ліку з лічбай т на канцы (10 х « +т), то можна доказ правесці і ў агульным выглядзе.
Увогуле тэма “Прыметы падзельнасці” вельмі прыдатная для таго, каб паказаць вучням сутнасць матэматычных разважанняў, структуру матэматычнай тэорыі, паказаць, як з адных сцверджанняў вынікаюць іншыя, і г. д.
Паглядзім на доказ прыкметы падзельнасці на 3 (на 9). Слова доказ не выдзяляю двукоссем, хаця разважанне будзе паказана на канкрэтным ліку, яно прыдатнае і ў агульным выглядзе пры замене канкрэтных лічбаў на літары.
41
Адпаведны ліст апорных сігналаў (ЛАС), распрацаваны Віктарам Шаталавым і паказаны ніжэй, можна агучыць прыкладна наступным чынам.
Раскладзём дадзены лік 7285 па разрадах: сем тысяч плюс дзве сотні плюс восем дзясяткаў плюс пяць адзінак. Гэта адпаведна перамяшчальнаму закону множання можна сказаць іначай: 1000 сямёрак (аддзелім адну сямёрку) плюс 100 двоек (аддзелім адну двойку) плюс 10 васьмёрак (аддзелім адну васьмёрку) плюс пяць. I аб’яднаем атрыманыя складнікі ў дзве групы у адной групе складнікі з дзявяткамі, у другой групе астатнія складнікі. Сума лікаў першай групы кратная тром (і дзевяці), бо кожны яе складнік кратны тром (і дзевяці). Тады выяўляецца, што пытанне пра падзельнасць усёй сумы на 3 або на 9 залежыць ад другой групы, якая ўяўляе сабой суму лічбаў дадзенага ліку. У выніку маем: калі сума лічбаў дадзенага ліку дзеліцца на 3 (на 9), то і сам лік дзеліцца на 3 (на 9).
Можна паведаміць вучням, ужо без доказу, і “сакрэтную” (непраграмную) інфармацыю прымету падзельнасці на 11: калі сума лічбаў ліку, узятых з пераменнымі знакамі, кратная 11, то і сам лік кратны 11. Напрыклад, каб высветліць падзельнасць на 11 ліку 29 172, трэба вылічыць суму 29+17 + 2. Яна роўная 11, таму дзеліцца на 11. А значыць, і сам лік 29 172 падзеліцца на 11.
Падзельнасць на іншыя лікі можна высвятляць з апораю на вышэйназваныя тэарэмы. Напрыклад, каб высветліць, ці падзеліцца на 7 лік 855, разаб’ём яго на складнікі 700 + 140 + 15. Два першыя складнікі відавочна на 7 дзеляцца (таму іх і вылучалі), апошні
42
не дзеліцца, таму 855 на 7 не падзеліцца. Можна нават дадаць, што пры такім дзяленні астачай будзе 1. А таму лік, меншы на 1 ці большы на 6, падзеліцца на 7.
Вучні звычайна лёгка пагаджаюцца з тым, што дзяліць, напрыклад, 5 на нуль нельга. Але нуль на нуль у іх дзеліцца: будзе нуль. Як пераканаць, што і нуль нельга дзяліць на нуль?
Варта тут успомніць азначэнне: каб падзяліць А на В, трэба знайсці лік С, пры множанні якога на В атрымаецца А. Такім чынам, дзяленне правяраецца праз множанне.
5 :0 = ?—>0х? = 5.Іне існуе ліку, які можна паставіць на месца пытальніка.
0:0 = ?—>0х? = 0. Цяпер жа на месца пытальніка можна паставіць любы лік. I незразумела, які з іх выбраць. Тады лепш не выбіраць ніякі.
Лікі, якія маюць роўна два дзельнікі, называюць простымі, а якія маюць больш, чым два дзельнікі, састаўнымі. 1, як кароль гэтага каралеўства, не ўваходзіць ні ў партыю простых, ні ў партыю састаўных лікаў. Кароль (ці прэзідэнт, ці дырэктар, а ўвогуле любы іншы кіраўнік нейкага соцыюму) не павінен уваходзіць ні ў якую партыю (частку гэтага соцыюму), як тут, або ўваходзіць ва ўсе партыі: 1 і трохкутны лік, і квадратны, і кубічны ды іншы ступенны лік.
Простыя лікі: 2 (адзіны цотны і самы меншы сярод іх), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Цікава, які апошні ў гэтым шэрагу? Ёсць прыгожае разважанне пра тое, што апошняга не існуе, г. зн. што шэраг простых лікаў бясконцы. Калі дапусціць, што апошні (самы вялікі) просты лік існуе (назавем яго Р), тады разгледзім лік X на 1 большы за здабытак усіх простых лікаў (3^=2 х 3 х 5 х 7 х ... х р + 1). Паколькі X большы за Р, тады X павінен быць састаўным, а значыць павінен дзяліцца на нейкі просты лік. Але пры дзяленні на любы з простых лікаў ён дае астачу 1. Гэты парадокс і прыводзіць да высновы, што наша дапушчэнне непраўдзівае. I таму: найбольшага простага ліку няма.
Некаторы час многія людзі шукалі формулу простых лікаў формулу, па якой можна разлічыць, які просты лік будзе сотым па ліку ці 397м. Некаторыя шукаюць такую формулу і цяпер. Але большасць усё ж схіляюцца да таго, што такой формулы не існуе.
43
Мабыць, у мностве простых лікаў ніякага парадку няма. Ці мы яшчэ таго парадку не заўважылі?
Састаўныя лікі раскладваюцца ў здабытак двух ці болей простых лікаў. Гэтае раскладанне скарыстоўваюць пры знаходжанні найбольшага агульнага дзельніка (НАД) ці найменшага агульнага кратнага (НАК) некалькіх лікаў. A НАК (як найменшы агульны назоўнік) звычайна шукаюць пры складанні звычайных дробаў. Там пра гэта і пагаворым.
3. РАЦЫЯНАЛЬНЫЯ ЛІКІ
У мностве цэлых лікаў заўжды выканальныя аперацыі (дзеянні) складанняадымання і множання. А вось пры дзяленні цэлых лікаў не заўсёды атрымліваецца цэлы лік. Узнікае патрэба пашырыць лікавае мноства, каб стала выканальным і дзяленне.
Лікі, атрыманыя пры дзяленні цэлых т і п (варыянты запісаў т
т : п, т / п або —) пры ўмове, што дзельнік не нуль (п ^ 0), назып
ваюць рацыянальнымі лікамі (ад лацінскага rationalis разумны).
У беларусаў ёсць выраз “ты маеш рацыю” так кажуць, калі пагаджаюцца з суразмоўцам: твая праўда, твае аргументы разумныя.
Лік 5 рацыянальны, бо 5 атрымліваецца дзяленнем цэлых лікаў, напрыклад 5 на 1: 5 = 5 : 1 = 10 : 2 = 30 : (6) = ... (заўважым, што такіх дзеляў шмат); лік 0 рацыянальны, бо 0 ёсць дзель цэлых 4 4
лікаў: 0 = 0 : 8 = 0 : 10...; лік Зу рацыянальны, бо Зу =25 : 7 = = 50 : 14 = ...; лік 2,73 рацыянальны, бо 2,73 = 273 : 100. Такім чынам, рацыянальныя лікі гэта ўсе цэлыя лікі, усе звычайныя і концыя дзесятковыя дробы.
Самыя знакамітыя дробныя лікі: 36,6 норма тэмпературы чалавечага цела, 273,15 абсалютны тэмпературны нуль па шкале Цэльсія (ніжэйшай тэмпературы не існуе). Паводле шкалы Кельвіна гэта і ёсць нуль.
Самыя папулярныя дробныя лікі маюць невялікі назоўнік: 1/2 (палова), 1/3 (траціна), 1/4, 3/4 (чвэртка, тры чвэрткі); або назоўнік выяўлены ступенню дзясяткі: 1/10 (дзесяціна; раней такі падатак з свайго даходу плацілі людзі на карысць царквы; таксама старажытная мера плошчы квадрат з бакамі па 1/10 вярсты; вярста крыху большая за кіламетр, таму дзесяціна крыху большая за гектар); 1/100 адсотак, або працэнт, ад лацінскага pro zentum на сто, абазначаецца знакам %; цэнтыметр, як сотая доля метра, у нашай мове перастварылася ў сантыметр; 1/1000 праміле, ад лацінскага pro
КНІГІ ОНЛАЙН
