Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
45
mille на тысячу, абазначаецца знакам %о, адсюль міліграм як тысячная доля грама, міліметр як праміле метра, 1 мм = 1 %о м, 1 мл (мілілітр) = 1 %о л.
Пры павелічэнні лічніка дадатны дроб павялічваецца, а пры павелічэнні назоўніка памяншаецца. Гэтую акалічнасць скарыстаў Леў Талстой у сваім выказванні: “Чалавек ёсць дроб. Лічнік гэта, параўнальна з іншымі, вартасці чалавека, назоўнік гэта ацэнка чалавекам самога сябе. Павялічыць свой лічнік свае вартасці чалавек не можа, але ўсякі можа зменшыць свой назоўнік сваё меркаванне пра самога сябе, і гэтым змяншэннем наблізіцца да дасканаласці”. Мабыць, трэба разумець, што дасканаласць дробучалавека ў разуменні пісьменніка гэта адзінка, тобок дроб, у якога лічнік і назоўнік роўныя.
СКЛАДАННЕ ЗВЫЧАЙНЫХ ДРОБАЎ.
Варыянт Мікалая Ламазы
Множанне і дзяленне звычайных дробаў засвойваюцца хутчэй, чым іх складаннеадыманне. Там варта толькі навучыць своечасова скарачаць дробы. Таму тут засяродзімся на складанні (яно ж і адыманне).
Пачаць можна з такіх дзіўных пытанняў.
2 кнігі + 5 кніг гэта 7 кніг. А калі 2 кнігі + 5 альбомаў? Ці 2 асадкі + 5 алоўкаў? Можна для асадкаў і алоўкаў знайсці нейкую агульную назву. Напрыклад, пісальнікі. Тады 2 пісальнікі + 5 пісальнікаў 7 пісальнікаў. Зразумеем, што складваць (і адымаць) можна толькі падобныя рэчы: яблыкі з яблыкамі, дрэвы з дрэвамі, машыны з машынамі. Адпаведна далей будзе прывядзенне падобных: 2 м + + 5 м = 7 м, 12 х 9 х = 3 х, 3 абв + 2 абв = 5 абв. Але 2 ю + 3 я або 1 ну5но так і застануцца 2 ю + 3 я і 7 ну 5 но, бо там найменні непадобныя.
Тады 2 сёмыя + 3 сёмыя = 5 сёмых паводле прынцыпу складання падобных. A 2 дзявятых і 1 шостую нельга скласці з прычыны непадобнасці найменняў. Але тут можна пашукаць агульнае найменне (агульны назоўнік), успомніўшы, што кампаненты дробу можна змяняць, не змяняючы велічыні дробу. I далей настаўнік паказвае, як той агульны назоўнік знаходзяць раскладаннем кожнага назоўніка на простыя множнікі.
46
450
72 270
36 135 225 2
18 ^2
9 <_2
3 45 75
1 15 25 ^З
5 ^З
1 5 5
1 ^5
Здавалася б, якія могуць быць адкрыцці пры навучанні аперацыям са звычайнымі дробамі? Але магілёўскі настаўнік Мікалай Якаўлевіч Ламаза некалі змог здзівіць мяне сваім падыходам.
Гаворка ідзе пра складаннеадыманне звычайных дробаў з вялікімі назоўнікамі. Сама па сабе гэтая аперацыя для масавай практыкі малакарысная, і таму маюць нейкую рацыю настаўнікі, якія не вельмі рупліва адпрацоўваюць гэты навык у сваіх вучняў ці нават цалкам ігнаруюць вялікія назоўнікі. Але некаторым з іхных вучняў, хто намерваецца стаць студэнтам, для чаго ім давядзецца здаваць матэматыку, узнікне патрэба засвоіць аперацыі з алгебраічнымі дробамі на больш грунтоўным узроўні. I тут разуменне сутнасці адпаведных аперацый з лікавымі дробамі вельмі дапаможа. А алгарытм, “сканструяваны” Мікалаем Ламазам, і вылучае гэтую сутнасць, робіць яе відавочнай.
Як звычайна мы выконваем, напрыклад, такія вылічэнні: JL₊J____________________________із_₇ 72 270 450 '
Раскладваем паасобку кожны назоўнік на простыя множнікі і па найбольшых ступенях атрыманых множнікаў збіраем агульны назоўнік. Потым дзяленнем агульнага назоўніка на назоўнік кожнага дробу знаходзім дадатковыя множнікі для лічнікаў і г. д.
М. Ламаза прапануе рабіць тое самае, але не паасобку, а разам.
Паставім пасля апошняга назоўніка вертыкальную рысу і будзем запісваць справа ад яе простыя множнікі, на якія дзеліцца хаця б адзін з назоўнікаў, а насупраць злева вынікі такога дзялення, ставячы прочырк насупраць таго назоўніка, які на пазначаны лік не дзеліцца (гэта можна рабіць і на падкладзенай паперцы). Першае дзяленне на 2. Вынік дзялення: 36,135,225. Другое дзяленне на 2. Вынік дзялення: 18 і два прочыркі. I гэтак далей, да моманту, калі ў кожным слупку атрымаюцца адзінкі. Атрыманы справа ад вертыкальнай рысы слупок змяшчае ўсе простыя множнікі агульнага назоўніка: 2³ х З³ х 5² = 5400.
Каб знайсці цяпер дадатковыя множнікі да лічнікаў, не абавязкова
47
дзяліць 5400 на кожны з назоўнікаў. Знаходзіцца іншае дзеянне перамножыць тыя лікі правага слупка, насупраць якіх пад дадзеным дробам стаяць прочыркі: да першага лічніка дадатковы множнік 3 х 5 х 5 = 75, да другога 2 х 2 х 5 = 20, да трэцяга 2x2x3=12. Атрымалі:
11 _7____13 ₌ 11 ■ 75 + 7 20 + 13 ■ 12 ₌
72 270 450 “ 5400
Далей традыцыйна...
Ці ж не праўда, зручней? I шмат што спрашчаецца.
Гэткім чынам мы знаходзім найменшае агульнае кратнае дадзеных лікаў.
НАК (72; 270; 450) = 5400.
Калі ж паўстане пытанне пра найбольшы агульны дзельнік, то дастаткова выбраць лікі з правага слупка, насупраць якіх няма прочыркаў.
НАД (72; 270; 450) = 2x3x3=18.
Падзякуем разумнаму настаўніку за цікавую і карысную ідэю.
УЗАЕМНА АДВАРОТНЫЯ АПЕРАЦЫІ
Для кожнай матэматычнай аперацыі (матэматычнага дзеяння) звычайна разглядаюць аперацыі адваротныя. Для складання адваротная аперацыя адыманне. Для адымання адваротная аперацыя?.. Хочацца сказаць: складанне. Але спачатку засяродзімся на тым, што такое адваротная аперацыя.
Калі ў аперацыі ўдзельнічаюць толькі два аб’екты, то тут усё проста. Напрыклад, стаіць чарга ў касу (у краме, у тэатры, у цырку...). I трэба вызначыць, хто за кім або (адваротна) хто перад кім, то зразумела: калі А за Б, то адваротна Б перад А.
Але пры складанні ўдзельнічаюць тры лікі (два складнікі і сума). Адваротным дзеяннем будзе пошук невядомага складніка пры вядомых суме і другім складніку. Тут неістотна, які з складнікаў невядомы, бо іх можна мяняць месцамі, сума ад гэтага не зменіцца. У любым выпадку адваротным дзеяннем будзе адыманне.
А цяпер прыгледзімся да адымання.
85 = 3. Тут 8 і 5 месцамі не памяняеш. Таму пошук невядомага кампанента адымання мае два варыянты: 15 = 3 або 81 = 3.
48
У першым выпадку невядомы лік знаходзіцца складаннем, у другім адыманнем. Такім чынам, для адымання адваротных аперацый існуе дзве складанне і адыманне.
Успомнім схему ГайковаКрысіна, якая і тут прыдасца:
Для складання (закрываем плюс, бачым два мінусы) адваротныя дзеянні адыманне і адыманне. Для адымання (закрываем мінус, бачым плюс і мінус) адваротныя дзеянні складанне і адыманне.
Аналагічна атрымаем: адваротныя дзеянні для множання дзяленне і дзяленне, для дзялення множанне і дзяленне.
Калі з’явіцца аперацыя ступенявання (узвядзення ў ступень), то ў ёй таксама бяруць удзел тры лікі (аснова, паказнік, ступень). Таму аперацыямі, адваротнымі для ступенявання, будуць дзве: пошук невядомай асновы = здабыванне кораня і пошук невядомага паказніка = лагарыфмаванне.
2³ = 8 + I³ = 8 (^8 = 2); 2* = 8 (lg₂ 8 = 3).
Тады для здабывання кораня адваротнымі аперацыямі стануць ступеняванне і лагарыфмаванне, а для лагарыфмавання адваротныя аперацыі ступеняванне і здабыванне кораня.
Гэтыя тры аперацыі ўзаемазвязаныя, таму вывучэнне іх карысна рабіць паралельна. Здабыванне кораня і знаходжанне лагарыфмаў варта паказаць амаль адразу, як пачалося вывучэнне ступеняў і іх уласцівасцяў.
Разумную ідэю супольнага вывучэння ўзаемна адваротных аперацый вылучыў і адстойваў у свой час калмыцкі прафесар, доктар педагагічных навук Пюрвя Эрдніеў.
4. РЭЧАІСНЫЯ ЛІКІ
Трэба памераць таўшчыню стальніцы (крышкі стала). Прыкладваем лінейку і вызначаем: 2,6 см. Калі скарыстаем больш дакладны вымяральны інструмент (напрыклад, штангенцыркуль), то атрымаем яшчэ адну лічбу: 2,63 см. Калі ў руках з’явіцца яшчэ больш дакладны інструмент, то лік дапоўніцца яшчэ адной лічбай, напрыклад, 2,628 см. 1 з кожным усё больш дакладным вымярэннем будзем атрымліваць новыя лічбы ліку, сярод якіх можа быць і нуль, але і ён не будзе апошнім. Такім чынам, лічбы, якія з’яўляюцца ў чалавечай вымяральнай практыцы, уяўляюць сабой бясконцыя дзесятковыя дробы. Цалкам іх запісаць немагчыма. Але і не трэба. Бо чалавеку ўсе тыя лічбы непатрэбныя. Ён працуе з нейкімі іх прыбліжанымі значэннямі. Для таўшчыні стальніцы звычайна дастаткова адной лічбы пасля коскі, у асобных выпадках — дзвюх. Далейшыя лічбы чалавека не цікавяць. Ён іх адкідае па правілах акруглення лікаў.
Распрацавана грунтоўная тэорыя прыбліжаных вылічэнняў, якая дазваляе сачыць за магчымымі адхіленнямі ад дакладнага значэння велічыні, бо пры выкананні дзеянняў з прыбліжанымі лікамі, асабліва пры множанні і дзяленні хібнасць істотна нарастае. Пры множанні двухскладаў (X ± АХ) і (У ± АУ) атрымаем чатырохсклад, у якім гэтае А (дэльта, магчымае адхіленне) будзе прысутнічаць ажно ў трох складніках.
Але тут гэтую тэорыю разглядаць не будзем. Закранем толькі лікавыя акругленні.
АКРУГЛЕННЕ ЛІКАЎ
Калі пры акругленні адкідаюцца лічбы, першая з якіх 5 ці вышэй, то да апошняй лічбы з тых, што застаюцца, дадаецца 1. У іншых выпадках апошняя лічба дый усе іншыя не змяняюцца. Адкінутыя лічбы знікаюць, а не замяняюцца нулямі, як гэта дзенідзе ў падручніках паказваецца.
50
Прыклады:
28 950,972 = 28 950,97 (акруглена да сотых) ~ 28 951,0 (акруглена да дзясятых, і тут апошні нуль адкідаць нельга, бо тады лік стане акругленым да адзінак: 28 951)» 2 895 дзяс. (акруглена да дзясяткаў, нельга тут напісаць = 28 950, бо тады гэта стане няправільным акругленнем да адзінак) ~ 290 сот. (акруглена да сотняў, адкінутыя лічбы заменены словам, нельга іх замяніць нулямі)= 29 тыс. (а не 29 000) ~ 3 дзяс. тыс.
У сродках масавай інфармацыі і ў рознай літаратуры часта падаюцца лікі з словамі.
Напрыклад, насельніцтва Францыі складае 67 млн чалавек тут лік пададзены з акругленнем да мільёна, г. зн. памылка ў адзін ці другі бок можа быць не болей за 500 000; так у матэматыцы, але на практыцы лічаць дапушчальным адхіленне ў I мільён, бо колькасць насельніцтва лік рухомы, зменлівы.
Або: насельніцтва Магілёва складае 3814 сот. чалавек тут лік пададзены з дакладнасцю да сотні, магчымае адхіленне не можа перавышаць 50 (на практыцы ±100). Нельга запісаць, што насельніцтва Магілёва складае 381 400 чалавек, бо гэта выглядае на дакладны лік, а не прыбліжаны. А як прачытаць такі запіс? У Магілёве жыве 381 тысяча і 4 сотні чалавек.
КНІГІ ОНЛАЙН
