Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
Атрымаем прамавугольнік 2 х 3. Зноў да большай стараны атрыманага прамавугольніка далучым квадрат. I г. д.
Стораны атрыманых такім чынам квадратаў утвараюць паслядоўнасць: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Кожны лік у гэтай паслядоўнасці, пачынаючы з трэцяга, роўны суме двух папярэдніх.
Гэты лікавы шэраг, вядомы яшчэ індусам, заўважыў Леанарда Фібаначы Пізанскі (Фібаначы сын Баначы, Пізанскі бо з горада Пізы), калі спрабаваў падлічыць рост папуляцыі трусоў, пра што напісаў у кнізе “Liber Abaci” (“Кніга абака” або "Кніга арыфметыкі ) у 1202 годзе. 3 тых часоў гэты лікавы шэраг носіць імя “шэраг Фібаначы”. Адсюль і літара <р першая літара прозвішча даследніка.
58
Пазней высветлілася, што гэты шэраг сустракаецца ў прыродзе неаднакроць.
Спіраль, утвораная чвэрткамі акружын, умежаных у такія квадраты, называюць спіраллю Фібаначы, ці залатой спіраллю.
Такую спіраль можна заўважыць на розных прыродных з’явах. Спіралі на большасці шышак, на ананасах адпавядаюць спіралі Фібаначы. Дзве спіралі, закручаныя ў супрацьлеглыя бакі, якія ўтвараюць семкі сланечніка, нагадваюць залатую спіраль.
Разгалінаванне дрэва і яго каранёвай сістэмы адбываецца ў паслядоўнасці, блізкай да паслядоўнасці Фібаначы. Абрысы птушынага яйка ўтвораны элементамі залатой спіралі. Прырода досыць багатая на такую спіральнасць.
Спіраль Фібаначы скарыстоўваюць мастакі і асабліва фотамастакі для стварэння найлепшага візуальнага эфекту ад кампазіцыі.
Прыгледзімся да шэрагу Фібаначы ўважлівей. Ацэнім суадносіну суседніх лікаў:
1:1 = 1;
2:1=2;
3:2 = 1,5;
5:3 = 1,666...;
8:5 = 1,6;
13 : 8 = 1,625;
21 : 13 = 1,615...
Можна заўважыць, што гэтая суадносіна з кожным крокам становіцца ўсё бліжэй да ліку ср. Ужо даказана, што ліміт бясконцай паслядоўнасці такіх суадносін сапраўды роўны ^. Цяпер становіцца зразумелым, чаму гэты лік так узнёсла названы: боская прапорцыя, залатое сячэнне. Ён звязаны з прыродай, з мастацтвам, з тым, што чалавек лічыць прыгожым.
Вось табе і “неразумныя” лікі!
Боскую прапорцыю можна знайсці і ў выяве чалавека, у структуры ягонага вуха, твару, пальца, фігуры. Паводле старажытных скульптураў, якія захаваліся, можна вызначыць, што адлегласць ад пяткі да пупка чалавека стасуецца з астатняй часткай яго росту ў боскай прапорцыі. Або так: стасунак росту чалавека да вышыні яго пупка ёсць залатое сячэнне. Калі гэтая прапорцыя парушана, то фігура чалаве
59
ка выглядае менш прыгожа. На гэтай падставе адзін з выкладчыкаў некалі вучыў сваіх студэнтак правільна падбіраць вышыню абцасадля кожнай сваю.
Выяўляецца, што “звяраць алгебрай гармонію’ калінікалі і магчыма, і варта.
Вельмі багаты лік ср сваімі вартасцямі.
Пра яго больш падрабязна прачытаеце ў кнізе Мікалая Васюцінскага“Залатая прапорцыя” (Н. Васютннскнй. Золотая пропорцня. Москва: Молодая гвардня, 1990).
Іншыя ірацыянальныя лікі не такія адметныя. як названыя тры.
Узнікае праблема: калі лік мае бясконцае мноства лічбаў, то яго цалкам нават запісаць немагчыма — і як тады выконваць дзеянні з такімі лікамі? Справа ў тым, што ўсе лічбы ліку чалавеку для яго практычнай дзейнасці непатрэбныя. Чалавек працуе з нейкімі прыбліжанымі значэннямі лікаў, якія атрымліваюцца акругленнем ліку да патрэбнага разраду і запісваюцца ў стандартным выглядзе, пра што асобны раздзел.
Аб’яднанне рацыянальных і ірацыянальных лікаў стварае мноства лікаў, якія называюць рэчаіснымі або сапраўднымі. А што, — спытаеце вы, ёсць і несапраўдныя? Ёсць. Іх называюць уяўнымі. Але пра іх вучні даведаюцца стаўшы студэнтамі. Тут пра іх зусім коратка, каб паказаць як далей ідзе развіццё паняцця аб лікавых
мноствах.
5. УЯЎНЫЯ ЛІКІ. КАМПЛЕКСНЫЯ ЛІКІ
Разгледзім аперацыю квадратавання (узвядзення ў квадрат) як прыватны выпадак ступенявання. Адваротнай ёй аперацыяй будзе здабыванне квадратнага кораня. Але калі квадратаванне выконваецца заўсёды, бо гэта множанне двух аднолькавых лікаў, а на множанне ніякіх абмежаванняў няма, то здабыванне квадратнага кораня мае абмежаванні: квадратны корань здабываецца толькі з неадмоўных лікаў. Таму ў мностве рэчаісных лікаў раўнанне X² = 1 не мае развязкаў.
Тады ўзнікае патрэба пашырыць лікавае мноства. Лік, квадрат якога роўны 1, назвалі ўяўнай адзінкай, гэты лік сталі абазначаць літарай і.
і = VT,тады V9 = V9 х 7f = 3z; V5 = V5 х 7л = іу[5...
Увогуле ўсе ўяўныя лікі роўныя с х /, дзе с лік рэчаісны. А суму а х | + с х ;; дзе a і с рэчаісныя лікі, называюць камплёксным лікам.
Італьянскія матэматыкі XVI стагоддзя, якія сутыкнуліся з неабходнасцю скарыстаць такія лікі пры развязванні раўнанняў 3й і 4й ступеняў, усё ж лічылі іх бескарыснымі, нікому не патрэбнымі, нават лічылі іх сафістычнымі, містычнымі. Але здзіўляла тое, што іх выкарыстанне прыводзіць да правільных высноў, напрыклад, да праўдзівых каранёў раўнання, якія без выкарыстання новых лікаў знайсці не ўдавалася. Пазней матэматыкі XVIIIXIX стагоддзяў вынайшлі шэраг карысных уласцівасцяў камплексных лікаў, якія дазволілі скарыстоўваць іх у розных галінах фізіцы, геадэзіі, гідрадынаміцы ды інш. I сёння матэматычная тэорыя камплексных лікаў даволі развіты і шырока дастасавальны раздзел матэматыкі.
Есць цікавая роўнасць (надзіва дакладная), якая звязвае некалькі знакамітых лікаў: е" = 1 (тоеснасць Ойлера).
Ірландскі матэматык, фізік, астраном XIX стагоддзя Уільям Гамільтан пашырыў лікавае мноства да гіперкамплексных лікаў, бо
61
калі могуць быць лікавыя мноствы з дзвюма адзінкамі, то чаму б не быць лікавым мноствам з трыма, чатырма рознымі адзінкамі...
Гэтай заўвагай і спынім наша знаёмства з лікавымі мноствамі.
СТАНДАРТНЫ ВЫГЛЯД ЛІКУ
Бываюць лікі даволі вялікія, найперш у астраномаў (напрыклад, маса Зямлі 5 973 600 000 000 000 000 000 000 000 кг або адлегласць ад Зямлі да Сонца 150 000 000 км; тут нулямі заменены іншыя лічбы, якія або невядомыя, або змяняюцца). А бываюць вельмі маленькія (напрыклад, маса атама вадароду 0,00000000000000000000000167 г). Такія лікі і прачытаць цяжка, тым болей выконваць з імі якіянебудзь дзеянні. Для спрашчэння гэтых праблем уведзена стандартная форма запісу лікаў.
Стандартным запісам ліку называюць здабытак А х 10", дзе першы множнік, названы асновай ліку, знаходзіцца паміж 1 і 10 (дакладней так: 1 < А< 10), an цэлы лік, названы парадкам дадзенага ліку.
Прыклады:
572 000 = 5,72 х Ю⁵ лік пятага парадку;
0,068 = 6,8 х Ю'² лік мінус другога парадку.
Каб запісаць лік у стандартным выглядзе, трэба паставіць коску пасля першай ненулявой лічбы і палічыць лічбы да ранейшай коскі (калі ўлева, то са знакам мінус, калі ўправа, то са знакам плюс).
5,863 = 5,863 х Ю° гэты лік нулявога парадку.
Толькі адзін лік (0) у стандартным выглядзе не запішацца.
Для цэлых лікаў парадак на 1 меншы за колькасць іх лічбаў. 1000 чатыры лічбы, таму гэталік трэцяга парадку (1000 = 1 х 10³). 999 тры лічбы, таму гэты лік другога парадку (9,99 х 10²).
Паказаныя вышэй вельмі вялікія ці вельмі малыя лікі цяпер будуць запісаны так: маса Зямлі = 5,973 • 10²⁷ кг, адлегласць да Сонца = 1,5 х Ю⁸ км, маса атама вадароду = 1,67 х Ю⁷⁴ г. Запіс і карацейшы і лепш успрымаецца. I дзеянні з такімі лікамі прасцей выконваць:
0,0525 х 0,00024 = 5,25 х Ю’² х 2,4 х Ю⁴ = 5,25 х 4 х 0,6 х 10 ⁶ = = 21 х 0,6 х Ю‘⁶ = 12,6 х Ю‘⁶ = (першы множнік атрымаўся нестандартны, ён павінен быць паміж 1 і 10, таму пераводзім у стандарт) = 1,26 х Ю х 10б = 1,26 х IO⁵.
62
На гэтым тут можна было б і спыніцца з гледзішча матэматыкі. Але варта сказаць не пра матэматыку.
РАЗВАГІ ДЛЯ НЕМАТЭМАТЫКАЎ
Выраз "на парадак болей” стаў папулярным у журналістаў, пісьменнікаў, дыктараў ды іншых словакарыстальнікаў.
“У гэтым годзе ў гаспадарцы сабралі 643 т бульбы. Гэта на парадак болей, чым у мінулым годзе.” Колькі ж было ў мінулым годзе? Выяўляецца: 487 т. Добра, што сабралі болей. Але ж не на парадак. У лікаў 643 і 487 аднолькавы парадак. Чалавек ляпнуў, не разумеючы таго, што ён ляпнуў.
Але што такое “на парадак болей”? Прыгледзімся і ўдумаемся.
Лік 100 большы за лік 99 на парадак, бо 100 — лік другога парадку (I х ю²), a 99 лік першага парадку (9,9 х ю¹). Лік 999 (лік другога парадку) большы за лік 10 (лік першага парадку) таксама на парадак. Але ў першым выпадку лікі амаль роўныя, а ў другім адзін лік амаль у сто разоў большы за другі. Таму панятак “на парадак большы” вельмі размыты, і яго выкарыстанне ў літаратуры ці журналістыцы бессэнсоўнае.
ІНе трэба выкарыстоўваць тэрмін, сэнсу якога не разумееце. Замест “на парадак болей” скажыце прасцей, без мудрагелістых вычварэнстваў: “нашмат болей”, “у некалькі разоў болей” ці | “шматкроць болей”.
Вельмі часта людзі, далёкія ад матэматыкі, трапляюць з выкарыстаннем лікаў і матэматычных тэрмінаў у недарэчныя сітуацыі. Бывае такое нават у самых знакамітых пісьменнікаў.
Прывяду некалькі прыкладаў.
Чытаю ў аповесці расійскага пісьменніка Уладзіміра Цендракова: Сталі яны ў калону па чатыры ў рад і пайшлі. Чалавек трыста іх было, вось і расцягнулася калона на паўкіламетра”. Нематэматык гэта прыме і будзе чытаць далей. А чалавек, блізкі да матэматыкі, спыніцца і пралічыць: трыста чалавек у калоне па чатыры — гэта 75 радоў; прамежкі паміж радамі ў калоне крыху болей за метр, ну няхай паўтара метра; памножым паўтара на 74 (калі радоў 75, то пра
63
межкаў паміж імі 74) атрымаем крыху болей за сто метраў; дзе ж тыя паўкіламетра?! Каб атрымалася калона ў паўкіламетра з трохсот салдат, трэба каб прамежкі паміж радамі былі прыблізна па сем метраў тады што ж гэта за калона?
А вось цытата з аповесці Васіля Быкава “Воўчая зграя”: “На першай пляцоўцы было чатыры кватэрныя нумары ад 40га да 44га". Але ж яд 40га да 44га гэта пяць нумароў. У пяціпавярховых дамах звычайна па чатыры кватэры на пляцоўцы, у пад’ездзе 20 кватэр. Таму кватэры трэцяга пад’езда пачынаюцца ад нумара 41.
Дакараць пісьменніка не варта. У школьныя гады яму трапіўся няўдалы настаўнік матэматыкі, і на ўроках матэматыкі ён чытаў прыгодніцкія кнігі, пра што і расказаў у “Пункцірах жыцця' . У выніку сярод усіх адзнак “выдатна” зеўрала адна “пасрэдна”, натуральна ж, па матэматыцы.
КНІГІ ОНЛАЙН
