Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
У гаспадарцы сабрана 126,0 тон бульбы. Тут нуль дарэчы, бо ён паказвае акругленне да дзясятых (±0,1 т), гэта значыць, што лік, паказаны ў справаздачы гаспадаркі, дапускае памылку не болей за 1 цэнтнер. Калі яго не напісаць (сабрана 126 тон бульбы), то лік ужо паказаны менш дакладна, з больш грубым акругленнем да тоны (±1 т).
Акругляйце правільна.
ПЕРЫЯДЫЧНЫЯ ДРОБЫ
Бясконцыя дзесятковыя дробы могуць быць перыядычнымі, калі нейкая група лічбаў, названая перыядам, паўтараецца бясконца. Перыядычныя дробы могуць быць чыстымі, калі перыяд пачынаецца адразу пасля коскі, або змешанымі, калі паміж коскай і перыядам ёсць некалькі іншых лічбаў.
Прыклады:
0,7777777..., 15,375375375..., 6,142857142857142857... чыстыя перыядычныя дробы.
51
0,127777..., 15,0375375..., 6,140142857142857142...змешаныя перыядычныя дробы.
Для спрашчэння запісу перыядычных дробаў перыяд (паўтаральную групу лічбаў) запісваюць адзін раз, узяўшы ў дужкі. Для паказаных вышэй лікаў гэты выглядае так: 0,(7); 15,(375); 6,(142857); 0,12(7); 15,0(375); 6,140(142857).
У кожным разе перыядычны дроб з’яўляецца рацыянальным лікам, яго можна пераўтварыць у звычайны дроб з цэлымі лічнікам і назоўнікам. Чыстыя перыядычныя дробы пераводзяцца ў звычайныя дробы проста: перыяд запісваюць у лічніку, а ў назоўніку запісваюць дзявяткі паводле колькасці, роўнай колькасці лічбаў у перыядзе.
0,(7) = (праверце, падзяліўшы 7 на 9);
«₁42857)6^g„.
Абгрунтаванне такога працэсу будзе дадзена пры вывучэнні геаметрычнай прагрэсіі. $
Адзначым, што 0,(9) гэта адзінка: 0,(9) = = 1, таму 9 у перыядзе звычайна не сустракаецца. 6,26(9) = 6,27; 51,00(9) = 51,01.
Змешаныя перыядычныя дробы пераводзяцца ў звычайныя дробы крыху даўжэй (праз выхад на чыстыя перыядычныя дробы):
0,12(7) 12,(7): 100= |₂ў 100 : 100
15,0(375)150,(375): 10 15og: н> ! >77 іі; 7 7 ' ^
Любы концы дзесятковы дроб можна лічыць перыядычным дробам з нулём або дзявяткай у перыядзе: 4,25 = 4,25000... = 4,25(0) = = 4,24(9). 1 нават цэлы лік можна лічыць бясконцым перыядычным дробам: 5 = 5,(0) = 4,(9).
52
ІРАЦЫЯНАЛЬНЫЯ ЛІКІ
Але калі дзесятковы дроб бясконцы і неперыядычны, то яго ўжо нельга паказаць звычайным дробам з цэлымі лічнікам і назоўнікам. Такія лікі называюць ірацыянальнымі (неразумнымі).
Пазнаёмімся з адным такім лікам, каб пераканацца, што такія лікі існуюць. Няхай трэба вылічыць даўжыню X дыяганалі квадрата з стараной 1. Адпаведна тэарэме Піфагора (квадрат гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка роўны суме квадратаў яго катэтаў) атрымаем X² = 2.
Калі дапусціць, што X лік рацыянальны і такім чынам можа быць запісаны звычайным дробам — з цэлымі лічнікам і назоўнікам, то выберам з такіх дробаў (іх жа шмат: —, —, —...) той, які нескап 2п 3«
рачальны. (— )² = 2. Тады атрымаем: т² = 2 х п², адкуль вынікае, што т цотны лік, г. зн. m = 2 х k, дзе к цэлы. Маем: (2 х £)² = 2 х п² і пасля скарачэння роўнасці на 2 атрымаем 2 * к² = п²,з чаго вынікае, . . . . . т
што і пцотны лік. Калі тіпцотныя лікі,тады дроб — можнаскап
раціць хаця б на 2. Але ж мы выбіралі дроб нескарачальны. Гэты парадокс сведчыць пра тое, што наша дапушчэнне непраўдзівае, а таму лік X не можа быць рацыянальным.
Досыць прыгожае разважанне. 1 яго варта паказаць вучням менавіта дзеля таго, каб яны адчулі прыгажосць мыслення. Тое самае датычыць і тэарэмы пра бясконцасць мноства простых лікаў. Увогуле прыгожыя разважанні (кароткія, імклівыя, з празрыстай даходлівай аргументацыяй) варта паказваць вучням нават тады, калі тыя разважанні не прадугледжаны праграмай. I тут настаўнік павінен стаць крыху артыстам, ён сам павінен любавацца на такое цячэнне думкі, здзіўляцца фіналу, нібыта для яго нечаканаму. Гэтыя эмоцыі вучні могуць заўважыць, адчуць і захапіцца імі.
Такім чынам, знайшоўся адзін ірацыянальны лік
V2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724...
Можна прапанаваць вучням самім даказаць па аналогіі, што а/З ці 710 не з’яўляюцца рацыянальнымі лікамі.
53
I ўзнікае пытанне: а колькі іх, ірацыянальных? Адказ у матэматыцы ёсць: іх шмат, іх бясконца многа, іх болей, чым рацыянальных лікаў, хаця колькасць рацыянальных лікаў таксама бясконцая. Выяўляецца, што некаторыя бясконцасці можна параўноўваць. Але пра тое вучні даведаюцца тады, калі стануць студэнтамі адпаведных факультэтаў.
Самы знакаміты ірацыянальны лік абазначаецца грэцкай літарай л (пі), першай літарай імя Піфагора, які ўважліва і доўга даследаваў гэты лік, спрабуючы знайсці яму рацыянальны адпаведнік. He знайшоў.
Адкуль гэты лік з’явіўся? Рэч у тым, што ён звязвае крывое з прамым. Дзель даўжыні С любой акружыны на даўжыню d яе дыяметра заўсёды роўна ^ (С : d = ^ або С = ^d = 2 ^R, дзе R даўжыня радыуса). Апошняй формулай часцей карыстаюцца для вылічэння даўжыні акружыны пры дадзеным яе радыусе.
Лік^ = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 2795...
Цяпер вядомыя два квадрыльёны лічбаў гэтага ліку. 1х вызначылі японскія аператары з дапамогай сістэмы кампутараў. Такія веды для чалавечай практыкі не патрэбныя. He толькі два квадрыльёны, нават сто знакаў ліку чалавек не будзе скарыстоўваць у сваёй практыцы. Сёння ў касмічных даследаваннях і пры разліку траекторый руху касмічных апаратаў выкарыстоўваюць 12 лічбаў. Магчыма, некалі будуць выкарыстоўваць 2025. А навошта два квадрыльёны? Проста на вылічэнні ўсё больш дакладных значэнняў ліку л вызначаюць магутнасць кампутараў.
Шмат хто з матэматыкаў (не толькі Піфагор) шукалі рацыянальнае значэнне ліку л. Доўжылася гэта тысячагоддзі. Піфагор (следам 22
за Франконам з Егіпта) лічыў такім значэннем дроб — = 3,14285714... Потым пераканаўся, што гэта недакладна. Як бачна, тут толькі тры лічбы правільныя. Індускі матэматык V стагоддзя Ар'ябхата назыeav лік —=3,14166... У XII стагоддзі італьянец Леанарда Пізанскі ¹²⁰ 864
(вядомы як Фібаначы) прымаў за ті лік — = 3,14181818... Адрыян
355
Антоніс з Галандыі (XVI ст.) скарыстоўваў дроб —= 3,1415929...
54
(тут, бачым, ужо 6 лічбаў правільных). У тым самым XVI стагоддзі Франсуа Віет назваў 9 дакладных лічбаў ліку it, а крыху пазней фламандзец Адрыян ван Ромэн ведаў ужо 15 дакладных лічбаў. На мяжы XVI і XVII стагоддзяў нідэрландскі матэматык Людольф ван Кёлен з дапамогай сваёй жонкі Адрыяны Сыманс разлічыў 35 правільных знакаў it і пакінуў запавет, каб іх высеклі на яго надмагільным камені. I толькі ў XVIII стагоддзі была даказана бясконцасць ліку it.
Калі паглядзець на геаграфію мясцін, дзе працавалі названыя матэматыкі (Егіпет, Грэцыя, Індыя, Францыя, Галандыя...) і на пазначаныя стагоддзі, то можна зразумець. якую ролю ў навуцы адыгрываў гэты інтрыгоўны лік, лік акружыны. Штогод 14 сакавіка адзначаецца
55
міжнародны дзень ліку “пі" (чаму 14 сакавіка? — бо яго традыцыйнае акругленне 3,14 і тут 3 — трэці месяц, 14 — чатырнаццаты дзень).
У рускай мове ёсць вершык, які дазваляе запомніць некалькі лічбаў ліку п, больш чым у традыцыйна школьным акругленні 3,14. У паказаным ніжэй варыянце паводле колькасці літар у слове:
Это (3)я (1) знаю (4) м (1) помню (5) прекрасно (9), но (2) многйе (6) цйфры (5) мне (3) лйшнй (5), напрасны (8)...
Ведаючы гэты вершык, настаўнік можа здзіўляць вучняў сваёй нібыта незвычайнай памяццю.
Магчыма, нехта створыць штосьці падобнае ў беларускай мове. Пакуль такога аўтар гэтага тэксту не сустракаў.
Шмат цікавага пра гэты лік знойдзеце ў кнізе румынскага папулярызатара навукі Флорыкі Кымпана ‘Тісторыя ліку тг (Флорнка Кымпан. Нсторня чнсла тг. Москва: Наука, 1971).
Яшчэ адзін прыкметны ірацыянальны лік
лік^ = 2,718281 828 459 045 235 360... ₎
Ён вызначаецца як ліміт яй ступені дробу (1 + ) пры бясконцым павелічэнні ліку п. Гэты лік вызначыў швейцарскі матэматык Якаб Бэрнулі напрыканцы XVII стагоддзя пры разлічванні складаных працэнтаў для атрымання найбольшага даходу. Літару е для абазначэння ліку (першую літару свайго прозвішча) скарыстаў Леанард Ойлер (Euler; дыфтонг ей у нямецкай мове чытаецца як ой) і гэты лік некаторы час называлі лікам Ойлера. Лік е стаўся вельмі зручным пры экспаненцыйных і лагарыфмічных вылічэннях і пераўтварэннях. Але пра гэта вучні даведаюцца, стаўшы студэнтамі.
I яшчэ адзін цікавы ірацыянальны лік, гучна названы ‘‘залатым сячэннем” або “боскай прапорцыяй'.
4ік^(фі) = 1,618 033 988 749 894 848...
Калі падзяліць адрэзак на часткі X і Y так, каб адносіна большай яго часткі да меншай была роўнай адносіне ўсяго адрэзка да
56
большай часткі, то такое дзяленне (адпаведна і лік —) называюць “залатым сячэннем”.
X _ X + Y X , Y „ . X
у ~ ~* У “ ¹ ⁺ У • Калі ТУТ у абазначыць ір, то атрымаем раўнанне ^=1 + ^.^²^і=о, адкуль ср = Гэта і ёсць той “залаты” лік. Пра гэты ўнікальны лік вы знойдзеце шмат цікавай інфармацыі ў сеціве. “Залатое сячэнне” скарыстоўваецца і ў архітэктуры, і ў мастацтве (нездарма ж на яго звярталі ўвагу і Леанарда да Вінчы, і Сальвадор Далі, і Ле Карбюзье), і ў іншых сферах творчасці.
Прамавугольнік з суадносінай старон, роўнай ср, называюць залатым прамавугольнікам. Прыемна глядзяцца вокны менавіта з такой суадносінай старон (парада для тых, хто збіраецца будаваць свой дом). Калі ад такога прамавугольніка адрэзаць квадрат, то застанецца прамавугольнік з такой жа суадносінай старон.
Залатым трохвугольнікам называюць раўнабокі трохвугольнік з суадносінай бакавой стараны да асновы, роўнай <р. Велічыні вуглоў такога трохвугольніка: 36° і два па 72°. Бісектрысай вугла пры аснове такі трохвугольнік падзяляецца на два раўнабокія трохвугольнікі, адзін з якіх зноў жа залаты. Залатыя трохвугольнікі ёсць на канцах правільнай пяціканцовай зоркі.
Возьмем квадрат з стараной 1 (на малюнку ніжэй ён выдзелены шэрым). Далучым да яго такі ж квадрат. Атрымаем прамавугольнік 1 х 2. Да большай яго стараны далучым квадрат.
57
Залатыя cnipani ў прыродзе
КНІГІ ОНЛАЙН
