Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
Прасочым за рухам Ахілеса: ён прайшоў 1000 ярдаў, потым яшчэ 100 ярдаў, і яшчэ 10 ярдаў... Заўважаем бясконцую спадальную па модулі геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 0,1. Яе сума = 1000 : (1 0,1)= 10 000 : 9 = 1111^.
Адказ: Ахілес сапраўды не дагоніць чарапаху, прайшоўшы адлегласць у 1111 (крыху болей) ярдаў.
Калі перайсці на меры часу, тады адказ стане больш выразным. Прымем, што хуткасць Ахілеса 3 ярды за секунду (ярд крыху меншы за метр; такая звычайна хуткасць кроку чалавека), і выявім, што Ахілес не дагоніць чарапаху на працягу 370,(370) секунд, гэта 6 мінут і крыху больш за 10 секунд. Але яшчэ праз секунду Ахілес будзе наперадзе чарапахі.
89
4. Як не спакусіцца лёгкай “эканомікай”. У сваёй кнізе “Займальная матэматыка” Якаў Перэльман распавёў такую гісторыю. На адным велазаводзе прыдумалі, як паскорыць продаж веласіпедаў. Веласіпед каштаваў 50 рублёў. Жыхарам горада прапаноўвалася набыць веласіпед за 10 рублёў. Пачуўшы пра такое, чалавек прыходзіў на завод і яму за 10 рублёў выдавалі 5 квіткоў, якія ён павінен быў распаўсюдзіць сярод сваіх знаёмых па 10 рублёў за квіток. Прыносіў тыя 50 рублёў на завод і атрымоўваў веласіпед. Той, хто набыў квіток, ішоў на завод, там мянялі квіток на пяць новых, якія ён павінен быў распрадаць па 10 рублёў. Прыносіў 50 рублёў на завод і вяртаўся з веласіпедам. I так далей.
Прыгледзімся да працэсу. Найперш заўважым, што завод нічога не губляў, бо прадаваў веласіпеды за тыя ж 50 рублёў. А як з людзьмі? Няхай гэта будзе ў горадзе з насельніцтвам у мільён аматараў веласіпедных прагулак. 1 чалавек уцягнуў у “забаву” 5 чалавек. Тыя ўцягнулі яшчэ 25 новых (бо таму, хто набыў веласіпед, квіток ужо непатрэбны), ад іх квіткі набылі яшчэ 125 чалавек. I так працэс ідзе
з нарастаннем паводле геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 5. Сума
ванне ідзе па формуле
«iGfl) , ■
—, дзе q = 5,a = 1.1 гэтая сума не павін
91
на перавышаць мільён: 0,25 х (5” 1) < 1 000 000 => 5" < 4 000 001. Максімальнае п у гэтым выпадку роўнае 9. На восьмым кроку з веласіпедамі будуць ужо 97 656 чалавек. Апошняя група з 78 125 чалавек яшчэ змогуць “ашчаслівіць” квіткамі за 10 рублёў чарговых 390 625. Але тыя ўжо не змогуць прадаць свае квіткі, бо практычна ўжо няма каму. Такім чынам, хто выйграў і хто прайграў? Завод змог распрадаць каля ста тысяч веласіпедаў, не зніжаючы кошту, таму выйграў. Каля ста тысяч жыхароў займелі па веласіпедзе, заплаціўшы толькі па 10 рублёў, яны несумненна выйгралі. Магчыма, да іх далучыцца яшчэ пятая частка шчасліўцаў апошняй групы, тым самым колькасць гэтых шчасліўцаў узрасце да 170180 тысяч. А ўсе астатнія застануцца ў пройгрышы, бо набытыя імі квіткі ніхто не будзе купляць, і іх дзесяцірублёўкі страчаныя незваротна. Атрымліваецца, што 800 тысяч жыхароў горада дапамаглі заводу збыць сваю прадукцыю і падарылі па веласіпедзе астатнім жыхарам. Іх агульныя страты каля васьмі мільёнаў рублёў.
90
Прыблізна тое самае адбывалася з сумна вядомай расійскай кампаніяй “МММ” на пачатку 90х гадоў мінулага стагоддзя.
Падагрэтыя даходамі першых (успомніце першыя хвалі пакупнікоў веласіпедаў, якія сапраўды набылі веласіпеды па 10 рублёў) і адпаведнай назойлівай рэкламай, людзі ўкладвалі вялікія (хтоніхто нават апошнія) сродкі ў білеты МММ. А ў выніку пацярпелі каля 10 мільёнаў расійскіх грамадзян, каля 50 з іх скончылі жыццё самагубствам.
Падобная эканамічная бурбалка, так і названая “Бурбалкай Паўднёвых мораў” здарылася на пачатку XVIII стагоддзя ў Вялікабрытаніі. “Кампанія Паўднёвых мораў” хацела разбагацець продажам афрыканскіх рабоў у Паўднёвай Амерыцы і на выспы Паўднёвых мораў. На гэты гандаль кампанія атрымала ад дзяржавы манапольнае права, і яе акцыі імкліва выраслі. Людзі, прывабленыя вялікімі прыбыткамі, укладвалі вялікія сродкі, якія на пачатку акупляліся. Але Паўднёвыя моры кантралявалі Іспанія і Партугалія, да таго ж Вялікабрытанія была ўцягнута ў вайну за іспанскую спадчыну. Кампанія не атрымала дый не магла атрымаць прыбытку ад сваёй манаполіі і доўгі час (некалькі гадоў) трымалася на ўкладах інвестараў. Але ўсё скончылася як і павінна быць. Акцыі кампаніі ўрэшце сталі непрыбытковымі. Тысячы інвестараў апынуліся ў галечы. Нібыта адным з акцыянераў кампаніі быў і Ісаак Ньютан, які ўкладваў свае сродкі двойчы. Першы раз атрымаў прыбытак, а другі раз увесь свой немалы ўнёсак страціў. I да канца сваіх дзён не мог слухаць ні пра якія акцыі: “Я магу прадказваць рух нябесных целаў, але не глыбіню чалавечага вар’яцтва”.
Варта ведаць пра такое, каб чарговы раз не карміць сваімі сродкамі новых авантурыстаў.
5. Гуляйце з дзецьмі!
Аднойчы да мяне прывялі хлопчыка, пяцікласніка, у якога былі вельмі нізкія адзнакі па матэматыцы. Непрацяглая гутарка выявіла, што дома з ім ніхто не займаецца. Ён не ведае ніводнага вершыка, мае праблемы з табліцай множання нават на ўзроўні 3 на 6. “У якія гульні вы з ім гуляеце?” пытаюся. “Няма ў нас часу на гульні!” Яны, мабыць, думаюць пра шашкі ці нават шахматы. Але ж ёсць гульні, для якіх хапае пяцідзесяці хвілін.
91
“Вось кучка з дзесяці гузікаў, прапаную яму. За адзін раз можна ўзяць з кучкі 1, або 2, або 3 гузікі. Выйграе той, хто забярэ апошні гузік. Хто пачне?” “Пачынайце вы.” Пачынаю і хутка выйграю. “Ну што, яшчэ раз? Хто пачне?” Ён пачынае і прайграе. Згулялі разоў дзесяць, і ўсе ён прайграў. I нават не задумаўся пра тое, як тут можна выйграць. Мысленне ў чалавека на ўзроўні дашкольніка.
Хлопцу 11 гадоў. Бацькі не ведаюць, што фарміраванне клетак кары галаўнога мозгу чалавека заканчваецца недзе ў 1213 гадоў. Пасля гэтага паправіць нешта ў мысленні чалавека амаль немагчыма. Над хлапцом навісла рэальная пагроза застацца ў жыцці дурнем з усімі адпаведнымі наступствамі. Чым гэта можна хаця б крыху выправіць? Просценькімі задачкамі, рэбусамі, галаваломкамі (у тым ліку дротавымі), лабірынтамі... I абавязкова гульнямі, на якія варта знаходзіць хаця б паўгадзіны на дзень. I назіраць, як чалавек шукае ў гульні выйгрышную стратэгію.
Розных настольных гульняў (крыжыкінулікі, марскі бой, нескладаныя крыжаванкі ды іншыя гульні з словамі...) шмат. Я памянуў адну з іх. Гэтая просценькая гульня з гузікамі (каменьчыкамі, палачкамі) называецца нім. Тут не трэба вялікіх мазгавых звілін, каб здагадацца, што для выйгрышу варта пакінуць партнёру 4 гузікі. А гэта лёгка зрабіць, калі ў кучцы застанецца 8 гузікаў. 1 першы крок ужо бачны. Тут хто пачне (разумна пачне), той і выйграе.
Але памяняем колькасць гузікаў у кучцы. Няхай іх стане 17, 27, 111 і г. д. (можна гуляць з віртуальнымі гузікамі, запісваючы астатнюю пасля хода колькасць гузікаў на паперы). Варта гуляць да таго часу, калі ваш маленькі партнёр зможа сказаць, як выйграць, калі ў кучцы 1523 гузікі.
4, 8, 12, 16... Усе лікі, кратныя чатыром. Добра, калі ён гэта заўважыў. Тады падзяліць 1523 на 4... Атрымаецца неістотна колькі, а істотна якая будзе рэшта. Яе і забраць першым ходам.
Далей памяняць крыху сітуацыю. Адным ходам можна забраць ад 1 да 5 гузікаў. Як тут выйграць?
А калі адным ходам можна забраць ад двух да чатырох гузікаў?..
I ўрэшце новае правіла: хто забярэ апошні гузік, той прайграе. Тут сітуацыя істотна змяняецца. Пачаць зноў жа з дзесяці гузікаў. 1 забіраць 123. Ці здагадаецца ваш гулец, што цяпер трэба пакінуць партнёру пад канец 5 гузікаў. А перад гэтым 9, а перад дзявяткай 13.
92
1, 5, 9, 13, 17... Гэта арыфметычная прагрэсія з рознасцю 4 (якой была і папярэдняя). Чалавек яшчэ не ведае пра прагрэсіі, але можа заўважыць, што кожны лік гэтай паслядоўнасці на 1 большы за лік, кратны чатыром. I тады ў кучцы трэба пакідаць колькасць гузікаў, якая пры дзяленні на 4 дасць рэшту 1.
I далей зноў мяняць колькасць гузікаў у кучцы, мяняць велічыню хода. Да поўнага разумення: як выйграць у такой сітуацыі, калі ў кучцы 987 гузікаў, а браць за адзін ход можна ад 1 да 5 (ад 2 да 4)? Давесці да таго, каб чалавек мог сфармуляваць выйгрышную стратэгію.
Натуральна, гэта ўсё не за адзін дзень. Па 510 хвілін у дзень можна знайсці.
А ў выніку і мозг трэніруецца (яго ж трэба трэніраваць не менш, чым цела!), і калі дойдзе справа на ўроках матэматыкі да вывучэння прагрэсій, для яго гэтая тэма будзе выглядаць даступнай і лёгка зразумелай.
Пазней, калі вучні на тых уроках навучацца ўзводзіць у ступень, настаўнікам карысна прапаноўваць сваім выхаванцам задачкі: якой лічбай закончыцца лік 5¹'⁷? Адказ тут зусім просты, як і з лікам 6³⁸. Крыху складаней з лікам 9²⁸⁴. А вось цяпер якая апошняя лічба ў ліку 2³³¹ ці ў ліку З⁷⁰⁵? Тут таксама знойдзецца прагрэсія.
Ці вось такая задача: колькі часу быў у дарозе цягнік, які выйшаў з Масквы а 14й гадзіне і прыбыў у Хабараўск а 7й гадзіне па мясцовым часе? (Вялікія прасторы Расійскай Федэрацыі дазваляюць ставіць такія задачы. Неабходныя велічыні ўзяць з інтэрнэта.)
Такімі пытаннечкамізадачкамі вы рыхтуеце маленькіх людзей да перыядычных працэсаў, што асабліва ўзгадаецца пры вывучэнні трыганаметрыі. Але пра тое будзе іншая кніга.
Таты і мамы! Бабулі і дзядулі! Гуляйце з сваімі дзецьмі і ўнукамі ў разумовыя гульні! Дапамагайце ім стаць разумнымі.
Скарыстаная ў кнізе матэматычная тэрміналогія адпавядае наступным крыніцам:
Русскобелорусскішмателіатйческіш словарь. Подредакцйей доктора фйзйкоматематйческйх наук, профессора Я. Радыно. Мйнск: Вышэйшая школа, 1993;
Матэматычная эшіыклапедыя. Галоўны рэдактар В. Бернік. Мінск: Тэхналогія, 2001.
Міхась Булавацкі
вядомы ў Беларусі і за яе межамі настаўнік. Выкладаў матэматыку ў школах, гімназіях, ліцэі, чытаў курс методыкі выкладання матэматыкі студэнтам фізічнаматэматычнага факультэта. Шмат падарожнічаў па Савецкім Саюзе, вывучаючы досвед розных
настаўнікаў, потым ездзіў з лекцыямі і семінарамі, распавядаючы настаўнікам пра новыя ідэі ў навучанні матэматыцы. Удзельнік некалькіх міжнародных канферэнцыіі, прысвечаных праблемам навучання. Аўтар падручнікаў “Матэматыка: 5бг” для пятых класаў беларускіх гімназій і “Цалкам зразумелая трыганаметрыя ”, а таксама шматлікіх публікацыйу метадычных часопісах.
КНІГІ ОНЛАЙН
