Лікі ў нашым жыцці
Міхась Булавацкі
Выдавец: Тэхналогія
Памер: 95с.
Мінск 2024
Няўжо гэта праўда? гучна ўсклікнула настаўніца, пачуўшы маё тлумачэнне, чым развесяліла слухачоў. Ну чаму ж я гэтага раней не ведала?!
Вось так бывае: працавала ўсё жыццё, пакутуючы з вучнямі пры множанні на 9, а элементарнага сакрэціка, які б палегчыў тыя пакуты, не ведала.
Жанчына скончыла педагагічную ВНУ, дзе ёй гаварылі пра мэты навучання, у прыватнасці навучання матэматыцы, пра прынцыпы, пра розную каляматэматычную і каляпедагагічную філасофію і выціскалі залікамі ды іспытамі, каб студэнты (у недалёкай будучыш настаўнікі) гэтую філасофію ведалі, а на тое, каб паведаміць такія простыя “маленькія сакрэты ”, не заставалася часу. Дый выкладчыкі (дацэнты, прафесары), хутчэй, самі іх не ведалі ды нават не лічылі патрэбным апускацца з сваіх навуковых вышынь да такіх дробязяў. А ў выніку настаўніца даўно забыла пра тое, шпю здавала на заліках ды іспытах, яно ёй у практычнай дзейнасці амаль не патрэбнае, а карысныя маленькія прыёмчыкі або сама адкрывала, або запазычвала ў калег, якія аднекуль (адкуль заўгодна, але не зуніверсітэта) іх ведалі.
_________________\ ч
32
Для засваення прыёмаў хуткаснага вылічэння вельмі карысныя формулы скарочанага множання, якія разумныя настаўнікі вытрэніроўваюць у вучняў не толькі на пераўтварэнні літарных выразаў, але і на ліках.
Напрыклад, формула квадрата бінома (A ± В)² = А² ± 2АВ + В² дазваляе імгненна ўзводзіць у квадрат лікі з пяцёркай на канцы:
(10 A + 5)² = 100 х А² + 100 х A + 25 = 100 х А х (A + 1) + 25.
Прыгледзімся да апошняга выразу: колькасць дзясяткаў А памнажаецца на лік, на адзінку большы, (A + 1), і на сто, атрымаецца лік з двума нулямі на канцы, якія пасля дадавання 25 заменяцца на 25. Адсюль рэкамендацыя: каб узвесці ў квадрат лік з пяцёркай на канцы, трэба лік перад пяцёркай памножыць на лік, на адзінку большы, і дапісаць 25:
65² = 4225 х (6 х 7 = 42);
115² = 13 225 х (11 х 12=132);
205² = 42 025 (20 x 21 =420);
195² = 38 025 ды інш.
Проста і эканомна, тут і калькулятар не патрэбен.
Карысная і формула рознасці квадратаў (A В) х (A + В) = A² В².
Напрыклад:
77 х 83 = (80 3) х (80 + 3) = 80² З² = 6400 9 = 6391;
37 х 33 = (35 + 2) х (35 2) = 35²2² = 1225 4= 1221;
125 х 75 = (100 + 25) х (ЮО 25) = 10 000 625 = 9375.
Такія множанні сустракаюцца нярэдка, і адпрацоўванне гэтага прыёму ў вусных вылічэннях дазволіць навучэнцам эканоміць час. Радзей сустракаецца супрацьлеглае дастасаванне формулы:
76² 24² = (76 + 24) х (76 24) = 5200;
157² 43² = (157 43) х (157 + 43) = 114 х 200 = 22 800.
Формулы з кубамі не такія папулярныя ў вылічальнай практыцы, але яны сустракаюцца ў пераўтварэннях выразаў і праграмай патрабуюцца. Вучні запамінаюць іх кепска. Аднойчы я паказаў сваім вучням лікавы трохвугольнік Паскаля і здзівіў іх прапановай: “Хочаце, я пакажу вам, як узвесці двухсклад A + В у восьмую ці адзінац
33
цатую ступень?” I пасля гэтага яны ўзводзілі A + В у куб, малюючы чатыры радкі трохвугольніка Паскаля. Вось так бывае лягчэй не ад прыватнага да агульнага, а наадварот.
Трохвугольнік Паскаля
1
1
1
1 3
1 4
1 5 10
1 6 15
1
1
2 1
3 1
6 4 1
10 5 1
20 15 6 1
1
У кожным радку тут па краях адзінкі, а іншыя лікі атрымліваюцца складаннем двух лікаў, што над імі.
Выпісваннем такога лікавага трохвугольніка забаўляў сябе французскі хлопчык Блез Паскаль у шасцігадовым узросце. Выявілася, што забава карысная не толькі хлопчыку: у кожным радку гэтага трохвугольніка каэфіцыенты ўзвядзення бінома ў ступень п:
(А + В)° = 1 першы радок;
(А + В)' = 1хА + 1хВ другі радок;
(A + В)² = 1 х А² + 2 х А х В + 1 х В² трэці радок;
(А + ВГ = 1 х А³ + 3 А² х В + 3 х А х В² + 1 х В³ чацвёрты радок...
Для паўнаты карціны тут выпісаны і каэфіцыенты 1, якія звычайна не пішуцца.
Літарныя часткі кожнага складніка маюць тую самую ступень п, перацякаючы ад А" паступовай заменай аднаго А на В да В”.
(A + В)⁷ = (дапішыце радок трохвугольніка з другім лікам 7) =
= А⁷ + 7хА⁶хВ + 21 хА⁵хВ² + 35хА⁴хВ³ +
+ 35 х А³ х В⁴ + 21 х А² х В⁵ + 7 х А х В⁶ + В⁷.
Прыгледзімся да гэтых васьмі складнікаў:
A⁷—» A⁶ ^ А⁵ —>■ A⁴ —» A³ ^ А² ^ А’ ^ А° (А знікае), В° (В адсутнічае) —> В' —> В² —+ В³ —► В⁴ —> В⁵ —> В⁶ —► В⁷.
34
Мяне такая прыгажосць цешыць не менш, чым таго хлопчыка. А вас?
Для бінома (A В) будзе тое самае, толькі з чаргаваннем знакаў: (A В)⁸ = А⁸ 8 х А⁷ х В + 28 х А⁶ х В² 56 х А⁵ х В³ +
+ 70 х A⁴ х В⁴ 56 х A³ х В⁵ + 28 х А² х В⁶ 8 х А х В⁷ + В⁸.
Калі ў класе ёсць разумныя дзеткі (а ў якім класе іх няма?), пакажыце ім гэтую забаву, каб і яны палюбаваліся. Гэта запамінаць не трэба, таму вучні паставяцца з цікавасцю.
“Запамінаць не трэба”. Гэтую параду не ўсе прымуць, і час ад часу вы заўважыце, што на перапынку (або нават на ўроку) нехта з вучняў будзе цешыць сябе выпісваннем радкоў трохвугольніка Паскаля і ўзвядзеннем у 15ю ступень двухсклада (X + У). А ўзвядзенне ў куб на фоне 15й ступені гэта ўжо зусім проста.
9 o*SL* £^0°^ £№>
2. ЦЭЛЫЯ ЛІКІ
СКЛАДАННЕ ЦЭЛЫХ ЛІКАЎ
З’яўленне адмоўных лікаў як супрацьлеглых натуральным звычайна падаецца праз іх выяву на лікавай (каардынатнай) прамой, што разумна. Таму і складаннеадыманне цэлых лікаў варта напачатку праводзіць на гэтай прамой.
0 1 2 3 4 5 6 7
О—О 0—0—0—0 0—0—0 О О 0—0—0—0—0—0►
9 8 7 6 5 4 3 2 1
35 =
Знаходзім на прамой 3 і рухаемся ўлева (бо мінус) на 5 адзінкавых адрэзкаў. Маем 8.
3 + 5 =
Знаходзім на прамой 3 і рухаемся ўправа (бо плюс) на 5 адзінкавых адрэзкаў. Маем 2.
Варта выпрацаваць разуменне, што мінус гэта змена кірунку на прамой. I тут карысныя забавы з мноствам мінусаў:
((10)) + ((((((6)))))) (((2))) =
Змяніць кірунак два разы азначае тое, што й не мяняць яго. Цотная колькасць мінусаў ёсць плюс, няцотная колькасць мінусаў азначае мінус.
Перад першым лікам тры мінусы гэта тое ж, што адзін мінус. Перад другім 6 мінусаў гэта плюс. Перад трэцім 4 мінусы (улічваецца і знак дзеяння) гэта плюс. Тады выраз спрашчаецца:
10 + 6 + 2 = ...
I далей перасоўванне пункта па лікавай прамой.
Правілы (скласці модулі ці ад большага модуля адняць меншы і паставіць знак ліку з большым модулем) з’явяцца пазней, калі
36
ўзнікне патрэба выконваць такія дзеянні з вялікімі лікамі, яшчэ пазней з дробнымі лікамі.
Фактычна цяпер знікае дзеянне адымання, бо адыманне гэта складанне з супрацьлеглым лікам: 68 = 6 + (8). I можна забыць правілы “як знайсці невядомы адымнік” ці “як знайсці невядомае меншыва”, з чаго відаць, што тыя правілы мелі часовае прызначэнне. Фактычна, усе тыя правілы “як знайсці невядомае” маюць часовы характар і без іх можна ўвогуле абысціся. Адпаведныя раўнанні можна развязваць з апорай на таблічку “Закрый невядомае” (лікі там, натуральна ж, могуць быць іншымі):
3 + 4 = 7
складнік + складнік = сума
83 = 5
меншыва адымнік = рознасць
2 х 5 = 10
множнік х множнік = здабытак
6:3 = 2
дзеліва : дзельнік = дзель
Калі трэба развязаць раўнанне 831 X = 512, то зірнем на таблічку, знойдзем там радок з адыманнем і закрыем у тым радку другі лік, бо менавіта другі лік невядомы ў раўнанні, затым падумаем: як гэты лік (3) атрымаць з іншых лікаў (відавочна, ад 8 адняць 5). Таму Х = 831 512.
Такая аналогія заменіць правілы, якіх “чамусьці” вучні не любяць завучваць. He любяць з вядомай прычыны: там спачатку трэба запомніць назвы кампанентаў (іх дзесяць), а потым правілы, якіх шэсць і якія блытаюцца ў памяці праз іх падабенства. Тым болей што гэтыя правілы, як ужо сказана, маюць часовае прызначэнне. Гэта як у мове: мала які чалавек помніць правілы правапісу прыназоўнікаў,
37
прыставак, канчаткаў ды інш., але піша правільна з прычыны іншай начытаўсянаслухаўся такіх слоў за жыццё і яны натуральным чынам замацаваліся ў памяці.
Адсюль парада настаўніку: калі вучань правільна развязвае раўнанні, але не ведае правілаў “як знайсці...”, не трэба яго караць зніжэннем адзнакі.
Праўда, гледзячы на тую таблічку, і правілы можна самому вывесці.
МНОЖАННЕ I ДЗЯЛЕННЕ ЦЭЛЫХ ЛІКАЎ.
Схема ГайковаКрысіна
Гэтыя дзеянні адрозніваюцца ад адпаведных дзеянняў з натуральнымі лікамі толькі правілам знакаў. Вучні звычайна лёгка прымаюць, чаму мінус, памножаны на плюс, дае мінус, але чаму мінус, памножаны на мінус, дае плюс тут іх свядомасць супраціўляецца. Вось добрая з метадычнага погляду задача.
Уявім (напрыклад, з дапамогай лікавай прамой) човен на рацэ, які плыве з хуткасцю 3 км/гадз (будзем лічыць з адпаведнымі знакамі: +3 км/гадз, калі плыве па цячэнні, традыцыйна направа, або 3 км/гадз, калі плыве супраць цячэння, налева).
Дзе гэты човен будзе праз 2 гадзіны (можна падкрэсліць: праз плюс дзве гадзіны)? Адказ: на адлегласці 6 км справа, калі плыве па цячэнні, або на адлегласці 6 км злева, калі плыве супраць цячэння. Вынік: +3 х (+2) = +6; 3 х (+2) = 6.
А дзе гэты човен быў праз мінус дзве гадзіны (гэта значыць дзве гадзіны назад, бо мінус змяняе кірунак)? Адказ: на адлегласці 6 км злева, калі плыў па цячэнні, або на адлегласці 6 км справа, калі плыў супраць цячэння. Вынік: +3 х (2) = 6; 3 х (2) = +6.
Хачу расказаць пра адну маленькую метадычную знаходку, звязаную з гэтымі дзеяннямі, зробленую маімі вучнямі.
Навучыўшы крыху сваіх пяцікласнікаў працаваць з лістамі апорных сігналаў (ЛАС), я пачаў даваць заданні на іх стварэнне.
Вось і пры вывучэнні аперацый з дадатнымі і адмоўнымі лікамі прапанаваў скласці апору для множаннядзялення такіх лікаў. Гаворка, натуральна ж, ішла пра множанне знакаў, бо множанне модуляў ужо засвоілі.
38
На наступным уроку нехта паказаў просценькую таблічку з трыццаці двух сігналаў. Пашукалі магчымасць спрасціць апору, зменшыць колькасць сігналаў. Заўважылі, што з улікам перамяшчальнага закона множання другі і чацвёрты радок дублююць адзін аднаго і на адным з іх можна зэканоміць. Яшчэ замянілі
КНІГІ ОНЛАЙН
