Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
A. B. ПАГАРЭЛАЎ
ГСАШТРЫЯ
ПАДРУЧНІК ДЛЯ 7—11 КЛАСАЎ СЯРЭДНЯН ШКОЛЫ
Дапушчана Міністэрствам адукацыі Расійскай Федэрацыі
Рэкамендавана Міністэрствам адукацыі і навукі Рэспублікі Беларусь
Выданне пятае
МІНСК «НАРОДНАЯ АСВЕТА» 199S
ББК 22.151я721
П12
УДК 514.11(075.3)
Падручнік заняў прызавое месца
на Усесаюзным конкурсе падручнікаў па матэматыцы для сярэдняй агульнаадукацыйнай школы
Пераклад зроблены па выданню: Погорелов A. В. Геометрня: Учебннк для 7—11-х кл. сред. шк.— М.: Просвеіценне, 1990.— 303 с.
Перакладчыкі:
Б. A. Кі м б а р, A. М. К р у г л е й, Ю. М. Сувораў
Пагарэлаў A. В.
П 12 Геаметрыя: Падруч. для 7 — 11-х кл. сярэд. шк.— 5-е выд.— Мн.: Нар. асвета, 1995.— 383 с.: іл.
ISBN 985-03-0171-6.
Погорелов A. В. Геометрня: Учеб. для 7 —
11-х кл. сред. ШК.
5140110000—160
П-----------—----117—95
М 303(03)—95
985-03-0171-6
БВК 22.151я721
© A. В. Погорелов, 1990
© Пераклад на беларускую мову, Б. А. Кімбар, A. М. Круглей. Ю. М. Сувораў, 1990
7 клас
ПЛАНІМЕТРЫЯ
§ 1. АСНОЎНЫЯ ЎЛАСЦІВАСЦІ НАЙПРАСЦЕЙШЫХ ГЕАМЕТРЫЧНЫХ ФІГУР
1. ГЕАМЕТРЫЧНЫЯ ФІГУРЫ
Геаметрыя — гэта навука аб уласцівасцях геаметрычных фі-гур. Слова «геаметрыя» — грэчаскае, у перакладзе на бела-рус^ую мову азначае «землямер’е». Такая назва звязана з пры-мяненнем геаметрыі для вымярэнняў на мясцовасці.
Прыклады геаметрычных фігур: трохвугольнік, квадрат, акружнасць (рыс. 1).
Геаметрычныя фігуры бываюць вельмі разнастайнымі. Част-ка любой геаметрычнай фігуры з’яўляецца геаметрычнай фігу-рай. Аб’яднанне некалькіх геаметрычных фігур ёсць зноў геа-метрычная фігура. На рысунку 2 фігура злева складаецца з трохвугольніка і трох квадратаў, а фігура справа скла-даецца з акружнасці і частак акружнасці. Усякую геаметрыч-ную фігуру мы ўяўляем сабе складзенай з пунктаў.
Геаметрыя шырока прымяняецца на практыцы. Яе трэба ве-
Рыс. 1
4
7 клас
Рыс. 2
даць і рабочаму, і інжынеру, і архітэктару, і мастаку. Адным словам, геаметрыю трэба ведаць усім.
Геаметрыя, што вывучаецца ў школе, называецца еўкліда-вай, па імю Еўкліда, які стварыў дапаможнік па матэ-матыцы пад назвай «Пачаткі». На працягу доўгага часу геа-метрыю вывучалі па гэтай кнізе.
Мы пачнём вывучэнне геаметрыі з планіметрыі. Планімет-рыя — гэта раздзел геаметрыі, у якім вывучаюцца фігуры на плоскасці.
Еўклід — старажыт-нагрэчаскі вучоны (III ст. да н. э.)
2. ПУНКТ I ПРАМАЯ
Асноўнымі геаметрычнымі фігу-рамі на плоскасці з’яўляюцца пункг і прамая. Пункты прынята абазначаць вялікімі лацінскімі літарамі: A, В, С, D, ... . Прамыя абазначаюцца малыМі лацінскімі літарамі: a, b, с, d, ... .
На рысунку 3 вы бачыце пункт A і прамую а.
Прамая бесканечная. На рысунку мы паказваем толькі частку прамой, але ўяўляем яе сабе неабмежавана прадоўжанай у абодва бакі.
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур 5
Паглядзіце на рысунак 4. Вы бачыце прамыя a, b і пункты A, В, С. Пункты A і С ляжаць на прамой а. Можна сказаць таксама, што пункты A і С належаць прамой а або што пра-мая а праходзіць праз пункты A і С.
Пункт В ляжыць на прамой Ь. Ен не ляжыць на прамой а. Пункт С ляжыць і на прамой а, і на прамой Ь. Прамыя a і b пе-расякаюцца ў пункце С. Пункт С з’яўляецца пунктам пера-сячэння прамых а і Ь.
На рысунку 5 вы бачыце, як з дапамогай лінейкі будуец-ца прамая, што праходзіць праз два зададзеныя пункты A і В.
Асноўнымі ўласцівасцямі прыналежнасці пунктаў і прамых на плоскасці мы будзем называць наступныя ўласцівасці:
I. Якая б ні была прамая, існуюць пункты, што належаць гэтай прамой, і пункты, што не належаць ёй.
Праз любыя два пункты можна правесці прамую, і толькі адну.
Прамую можна абазначаць двума пунктамі, якія ляжаць на ёй. Напрыклад, прамую а на рысунку 4 можна абазначыць AC, а прамую b можна абазначыць ВС.
6
7 клас
3 а д а ч a (3)1. Ці могуць дзве прамыя мець два пункты перасячэння? Растлумачце адказ.
Р а ш э н н е. Калі б дзве прамыя мелі два пункты пера-
сячэння, то праз гэтыя пункты праходзілі б дзве прамыя. А гэта немагчыма, таму што праз два пункты можна пра-весці толькі адну прамую. Значыць, дзве прамыя не
могуць мець два пункты перасячэння.
3. АДРЭЗАК
Паглядзіце на рысунак 6. Вы бачыце прамую а і тры пункты A, В, С на гэтай прамой. Пункт В ляжыць паміж пунктамі A і С, ён падзяляе пункты A і С. Можна таксама сказаць, што пункты А і С’ ляжаць па розныя бакі ад пункта В. Пункты В і С ляжаць па адзін бок ад пункта А, яны не падзяляюцца пунктам А. Пункты A і В ляжаць па адзін бок ад пункта С.
Адрэзкам называецца частка прамой, што складаецца з усіх пунктаў гэтай прамой, якія ляжаць паміж двума дадзенымі яе пунктамі. Гэтыя пункты называюцца канцамі адрэзка. Ад-рэзак абазначаецца ўказаннем яго канцоў. Калі гавораць або пішуць: «адрэзак АВ», то падразумяваюць адрэзак з канцамі ў пунктах A і В.
На рысунку 7 вы бачыце адрэзак АВ. Ен з’яўляецца часткай прамой АВ. Гэта частка прамой вылучана тоўстай лініяй. Пункт X прамой ляжыць паміж пунктамі A і В, таму ён належыць адрэзку АВ. Пункт Y не ляжыць паміж пунктамі A і В. Таму ён не належыць адрэзку АВ.
1 Лік у дужках паказвае нумар задачы ў спісе задач, якія прыведзены ў канцы параграфа.
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур
7
Асноўнай уласцівасцю размяшчэння пунктаў на прамой мы будзем называць наступную ўласцівасць:
II. 3 трох пунктаў на прамой адзін і толькі адзін ляжыць паміж двума другімі.
4. ВЫМЯРЭННІ АДРЭЗКАЎ
Для вымярэння адрэзкаў прымяняюцца розныя вымяраль-ныя інструменты. Найпрасцейшым такім інструментам з’яўля-ецца лінейка з дзяленнямі на ёй. На рысунку 8 адрэзак АВ роўны 10 см, адрэзак AC роўны 6 см, а адрэзак ВС роўны 4 см. Даўжыня адрэзка АВ роўная суме даўжынь адрэзкаў AC і ВС.
Асноўнымі ўласцівасцямі вымярэнняў адрэзкаў мы будзем называць наступныя ўласцівасці:
III. Кожны адрэзак мае пэўную даўжыню, большую за нуль. Даўжыня адрэзка роўная суме даўжынь частак, на якія ён разбіваецца любым яго пунктам.
Гэта значыць, што калі на адрэзку АВ узяць любы пункт С, то даўжыня адрэзка АВ роўная суме даўжынь адрэзкаў AC і ВС. Даўжыню адрэзка АВ называюць таксама адлегласцю паміж пунктамі A і В.
А Задача (9). Тры пункты A, В, С ляжаць на адной ( ° ) прамой. Вядома, што АВ = 4,3 cm, AC = 7,5 см, ВС = '—' = 3,2 см. Ці можа пункт А ляжаць паміж пунктамі В і С?
Ці можа пункт С ляжаць паміж пунктамі A і В? Які з трох пунктаў A, В, С ляжыць паміж двума другімі?
Рашэнне. Калі пункт А ляжыць паміж пунктамі В і С, то па ўласцівасці вымярэння адрэзкаў павінна быць: AB + AC = ВС. Але 4,3 + 7,5 У= 3,2. Значыць, пункт А не ляжыць паміж пунктамі В і С.
Калі пункт С ляжыць паміж пунктамі A і В, то павінна
8
7 клас
быць: AC + ВС = АВ. Але 7,5 4- 3,2 #= 4,3. Значыць, пункт С не ляжыць паміж пунктамі A і В.
3 трох пунктаў на прамой A, В, С адзін пункт ляжыць паміж двума другімі. Значыць, гэтым пунктам з’яўляец-ца В.
5. ПАЎПЛОСКАСЦІ
Паглядзіце на рысунак 9. Прамая а разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. Гэта разбіўка валодае наступнай уласці-васцю. Калі канцы якога-небудзь адрэзка належаць адной паў-плоскасці, то адрэзак не перасякае прамую. Калі канцы адрэзка належаць розным паўплоскасцям, то адрэзак перася-кае прамую.
На рысунку 9 пункты A і В ляжаць у адной з паўплоскасцей, на якія прамая а разбівае плоскасць. Таму адрэзак АВ не перасякае прамую а. Пункты С і D ляжаць у розных паў-плоскасцях. Таму адрэзак CD перасякае прамую а.
Асноўнай уласцівасцю размяшчэння пунктаў ад-носна прамой на плоскасці мы будзем называць наступную ўласцівасць:
IV. Прамая разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці.
Задача (17). Дадзены прамая і тры пункты A, В, С, якія не ляжаць на гэтай прамой. Вядома, што адрэзак АВ перасякае прамую, а адрэзак AC не перасякае яе. Ці
перасякае прамую адрэзак ВС? Растлумачце адказ.
Рашэнне. Прамая разбівае плоскасць на дзве паў-плоскасці (рыс. 10). Пункт А належыць адной з іх. Адрэ-зак AC не перасякае прамую. Значыць, пункт С ляжыць у той жа паўплоскасці, што і пункт А.
Адрэзак АВ перасякае прамую. Значыць, пункт В ля-
жыць у другой паўплоскасці.
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур 9
Такім чынам, пункты В і С ляжаць у розных паўплоскасцях. А гэта значыць, што адрэзак ВС перасякае нашу прамую.
6. ПАЎПРАМАЯ
. Задача (20). Дадзены прамая \ 7 а і пункты A, X, Y, Z на гэтай прамой (рыс. 11). Вядома, што пункты X і Y ляжаць па адзін бок ад пункта А, пункты X і Z таксама ляжаць па адзін бок ад пункта А. Як размешчаны пункты Y і Z ад-носна пункта A: па адзін бок ці па розныя бакі? Растлумачце адказ.
Р а ш э н н е. Правядзём праз
пункт А якую-небудзь прамую Ь, адрозную ад а. Яна
разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. Адной з іх нале-
жыць пункт X. У той жа паўплоскасці ляжаць пункты Y і Z, таму што адрэзкі XY і XZ не перасякаюць прамую Ь.
Паколькі пункты Y і Z ляжаць у адной паўплоскасці, то адрэзак YZ не перасякае прамую b, а значыць, не змяшчае пункт А. Гэта значыць пункты Y і Z ляжаць па
адзін бок ад пункта А.
Паўпрамой або праменем называецца частка прамой, якая складаецца з усіх пунктаў гэтай прамой, што ляжаць па адзін бок ад дадзенага яе пункта. Гэты пункт называецца пачатко-вым пунктам паўпрамой. Розныя паўпрамыя адной і той жа прамой з агульным пачатковым пу'нктам называюцца дадат-ковымі.
Паўпрамыя, таксама як і прамыя, абазначаюцца малымі лацінскімі літарамі. Можна абазначаць паўпрамую двума пунктамі: пачатковым і яшчэ якім-небудзь пунктам, што належыць паўпрамой. Пры гэтым пачатковы пункт ставіцца на першым месцы. Напрыклад, паўпрамую, якая вылучана тлустай лініяй на рысунку 12, можна абазначыць АВ.
0/1 В
----• •
Рыс. 12
10
7 клас
Лк Задача (22). На адрэзку АВ узяты пункт С. Сярод t ) паўпрамых AB, AC, СА і СВ назавіце пары супадаючых •—' паўпрамых, дадатковых паўпрамых. Растлумачце адказ.
Рашэнне (рыс. 13). Дадзеныя паўпрамыя маюць пачатковым пунктам або пункт А, або пункт С.
Разгледзім спачатку паўпрамыя з пачатковым пунктам А (паўпрамыя AB і AC). Пункт С ляжыць паміж пунктамі A і В, паколькі па ўмове задачы ён належыць адрэзку АВ. Значыць, пункт А не ляжыць паміж пунктамі В і С, г. зн. пункты В іС ляжаць па адзін бок ад пункта А. Таму паў-прамыя AB і AC супадаючыя.
КНІГІ ОНЛАЙН
