Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Рыс. 13
Разгледзім цяпер паўпрамыя з пачатковым пунктам С (паўпрамыя СА і СВ). Пункт С падзяляе пункты A і В. Таму пункты A і В не могуць належаць адной паўпрамой, а значыць, паўпрамыя СА і СВ дадатковыя.
7. ВУГАЛ
Вуглом называецца фігура, што складаецца з пункта — вяр-шыні вугла — і дзвюх розных паўпрамых, выходзячых з гэтага пункта,— старон вугла.
На рысунку 14 вы бачыце вугал з вяршыняй О і старанамі а, Ь. Вугал абазначаецца або ўказаннем яго вяршыні, або ўказаннем яго старон, або ўказаннем трох пунктаў: вяршы-ні і двух пунктаў на старанах вугла. Слова «вугал» часам замяняюць значком А. Вугал на рысунку 14 можна аба-значыць трыма спосабамі: AO, A (ab), ААОВ. У трэцім спосабе абазначэння вугла літара, якая абазначае вяршыню, ставіцца пасярэдзіне.
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур
11
Калі стораны вугла з’яўляюцца дадатковымі паўпрамымі адной прамой, то вугал называецца разгорнутым. На рысунку 15 вы бачыце разгорнуты вугал з вяршыняй О і старанамі ОА і ОВ.
Мы будзем гаварыць, што прамень праходзіць паміж ста-ранамі дадзенага вугла, калі ён выходзіць з яго вяршыні і перасякае які-небудзь адрэзак з канцамі на старанах вугла. На рысунку 16 прамень с праходзіць паміж старанамі вугла (ab), таму што ён выходзіць з вяршыні вугла (ab) і перасякае адрэзак АВ з канцамі на яго старанах.
У выпадку разгорнутага вугла мы лічым, што любы пра-мень, які выходзіць з яго вяршыні і адрозны ад яго старон, праходзіць паміж старанамі вугла.
Вуглы вымяраюцца ў градусах пры дапамозе транспарціра. На рысунку 17 вугал (ab) роўны 120°. Паўпрамая с праходзіць паміж старанамі вугла (ab). Вугал (ас) роўны 90°, а вугал (Ьс) роўны 30°. Вугал (ab) роўны суме вуглоў (ас) і (be).
Рыс. 17
12
7 клас
Асноўнымі ўласцівасцямі вымярэння вуглоў мы будзем называць наступныя ўласцівасці:
V. Кожны вугал мае пэўную градусную меру, большую за нуль. Разгорнуты вугал роўны 180°. Градусная мера вугла роўна суме градусных мер вуглоў, на якія ён разбіваецца любым праменем, што праходзіць паміж яго старанамі.
Гэта значыць, што калі прамень с праходзіць паміж ста-ранамі вугла (ab), то вугал (ab) роўны суме вуглоў (ас) і (be).
Задача (25). Ці можа прамень с праходзіць паміж старанамі вугла (ab), калі А (ас) = 30°, A (cb) = 80°, ■ A (ab) =50°?
Р а ш э н н е. Калі прамёнь с праходзіць паміж старана-мі вугла (ab), то па ўласцівасці вымярэння вуглоў павінна быць:
А (ас) + A (bc)= A (ab).
Але 30° + 80° ^ 50°.
Значыць, прамень с не можа праходзіць паміж стара-намі вугла (ab).
8, АДКЛАДВАННЕ АДРЭЗКАЎ I ВУГЛОЎ
На рысунку 18 паказана, як з дапамогай лінейкі на паў-прамой а з пачатковым пунктам А можна адкласці адрэзак дадзенай даўжыні (3 см).
Паглядзіце на рысунак 19. Паўпрамая а, калі яе пра-доўжыць за пачатковы пункт А, разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. На рысунку паказана, як з дапамогай транс-парціра адкласці ад паўпрамой а ў верхнюю паўплоскасць вугал з дадзенай градуснай мерай (60°).
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур
13
Рыс. 19
Асноўнымі ўласцівасцямі адкладвання адрэзкаў і вуглоў мы будзем называць наступныя ўласцівасці:
VI. На любой паўпрамой ад яе пачатковага пункта можна адкласці адрэзак зададзенай даўжыні, і толькі адзін.
VII. Ад любой паўпрамой у зададзеную паўплоскасць мож-на адкласці вугал з зададзенай градуснай мерай, меншай за 180°, і толькі адзін.
3 а д а ч a (30). На прамені АВ адкладзены адрэзак AC, \ ' меншы за адрэзак АВ. Які з трох пунктаў A, В, С ляжыць ; паміж двума другімі? Растлумачце адказ.
Р а ш э н н е (рыс. 20). Паколькі пункты В іС ляжаць на адной паўпрамой з пачатковым пунктам А, то яны не падзяляюцца пунктам А, г. зн. пункт А не ляжыць паміж пунктамі В і С.
Ці можа пункт В ляжаць паміж пунктамі A іС? Калі б ён ляжаў паміж пунктамі A і С, то было б
АВ + ВС = АС.
Але гэта немагчыма, паколькі па ўмове адрэзак AC меншы за адрэ-зак АВ. Значыць, пункт В не ля-жыць паміж пунктамі A і С.
3 трох пунктаў A, В, С адзін ля-жыць паміж двума другімі. Таму пункт С ляжыць паміж пунктамі A і В.
14
7 клас
9. ТРОХВУГОЛЬНІК
Трохвугольнікам называецца фігура, якая складаецца з трох пунктаў, што не ляжаць на адной прамой, і трох ад-рэзкаў, якія парамі злучаюць гэтыя пункты. Пункты назы-ваюцца вяршынямі трохвугольніка, а адрэзкі — старанамі.
На рысунку 21 вы бачыце трохвугольнік з вяршыняміА, В, С і старанамі AB, ВС, AC. Трохвугольнік абазначаецца ўка-заннем яго вяршынь. Замест слова «трохвугольнік» часам ужываюць значок △. Напрыклад, трохвугольнік на рысунку 21 абазначаецца так: ДАВС.
Вуглом трохвугольніка ABC пры вяршыні А называецца вугал, утвораны паўпрамымі AB і AC. Гэтак жа вызначаюцца вуглы трохвугольніка пры вяршынях В і С.
Два адрэзкі называюцца роўнымі, калі яны маюць адноль-кавую даўжыню. Два вуглы называюцца роўнымі, калі яны маюць аднолькавую вуглавую меру ў градусах.
Трохвугольнікі называюцца роўнымі, калі ў іх адпаведныя стораны роўныя і адпаведныя вуглы роўныя. Пры гэтым адпа-ведныя вуглы павінны ляжаць супраць адпаведных старон.
В
Рыс. 21 Рыс. 22
На рысунку 22 вы бачыце два роўныя трохвугольнікі ABC і AtBtCi. У іх
AB = A{Bi, АС = А,Сі, BC = BtCt, AA=AAh AB=Z_B„ AC=AC{.
Ha чарцяжы роўныя адрэзкі звычайна адзначаюць адной, дзвюма або трыма рысачкамі, а роўныя вуглы — адной, дзвюма або трыма дужкамі.
Для абазначэння роўнасці трохвугольнікаў выкарыстоў-ваецца звычайны знак роўнасці: =. Запіс ДАВС = ДАіВіС,
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур 15 чытаецца так: «Трохвугольнік ABC роўны трохвугольніку АіВіСі». Пры гэтым мае значэнне парадак, у якім запісваюцца вяршыні трохвугольніка. Роўнасць &АВС = АА\В\С\ азначае, што AA=AAh АВ= АВ\, ... . А роўнасць ААВС = = ДВ|А|С| азначае зусім іншае: ZA = АВ\, AB = ААі, ....
Д Задача (38). Трохвугольнікі ABC і PQR роўныя. Вя-I ° ) дома, што старана АВ роўна 10 м, а вугал С роўны 90°. Ча-’— му роўна старана PQ і вугал Р? Растлумачце адказ.
Р а ш э н н е. Паколькі трохвугольнікі ABC і PQR роў-ныя, то ў іх AB = PQ, AC— AR. Значыць, PQ = 10 м, ZP = 90°.
10. ІСНАВАННЕ ТРОХВУГОЛЬНІКА, РОЎНАГА ДАДЗЕНАМУ
Няхай мы маем трохвугольнік ABC і прамень а (рыс. 23, а). Перамесцім трохвугольнік ABC так, каб яго вяршыня А су-мясцілася з пачаткам праменя а, вяршыня В трапіла на прамень a, а вяршыня С аказалася ў зададзенай паўплоскасці адносна праменя а і яго прадаўжэння. Вяршыні нашага трох-вугольніка ў гэтым новым становішчы абазначым А\В\С\ (рыс. 23, б).
Трохвугольнік A\BtC\ роўны трохвугольніку ABC.
Існаванне трохвугольніка А\В\С\, роўнага трохвугольніку ABC і размешчанага ўказаным спосабам адносна зададзенага праменя а, мы адносім да ліку асноўных уласцівасцей найпрасцейшых фігур. Гэту ўласцівасць мы будзем фармуля-
ваць так:
VIII. Які б ні быў трохвугольнік, існуе роўны яму трох-вугольнік у зададзеным размяшчэнні адносна дадзенай паў-
А
б)
Рыс. 23
16
7 клас
11. ПАРАЛЕЛЬНЫЯ ПРАМЫЯ
Дзве прамыя называюцца паралельнымі, калі яны не пера-сякаюцца.
На рысунку 24 паказана, як з дапамогай вугольніка і лінейкі правесці праз дадзены пункт В прамую Ь, паралельную дадзенай прамой а.
Для абазначэння паралельнасці прамых выкарыстоўваецца значок ||. Запіс а\\Ь чытаецца: «Прамая а паралельная пра-мой Ь».
Асноўная ўласцівасць паралельных прамых заклю-чаецца ў наступным:
IX. Праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці на плоскасці не больш за адну прамую, паралельную дадзенай.
A 3 а д а ч a (41). Ці можа прамая, якая перасякае адну з . u ' дзвюх паралельных прамых, не перасякаць другую? Рас-тлуійачце адказ.
Р а ш э н н е. Няхай a і b — паралельныя прамыя і ня-хай прамая с перасякае прамую а ў пункце А (рыс. 25). Калі б прамая с не перасякала прамую Ь, то праз пункт A праходзілі б дзве прамыя, якія не перасякаюць прамую Ь: прамая а і прамая с. Але па ўласцівасці паралельных прамых гэта немагчыма. Значыць, прамая с, перасякаючы прамую а, павінна перасякаць і паралельную ёй прамую Ь.
Рыс. 24
Рыс. 25
§ 1. Асноўныя ўласцівасці найпрасцейшых геаметрычных фігур
17
12. ТЭАРЭМЫ I ДОКАЗЫ
Правільнасць сцверджання аб уласцівасці той ці іншай геа-метрычнай фігуры ўстанаўліваецца шляхам разважання. Гэта разважанне называецца доказам. А само сцверджанне, якое даказваецца, называецца тэарэмай. Прывядзём прыклад.
Тэарэма 1.1. Калі прамая, якая не праходзіць ні праз адну з вяршынь трохвугольніка, перасякае адну з яго старон, то яна перасякае толькі адну з дзвюх другіх старон.
Д о к а з. Няхай прамая а не праходзіць ні праз адну з вяр-шынь трохвугольніка ABC і перасякае яго старану АВ (рыс. 26). Прамая а разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. Пункты A і В ляжаць у розных паўплоскасцях, таму што адрэзак АВ перасякаецца з прамой а. Пункт С ляжыць у адной з гэтых паўплоскасцей.
Калі пункт С ляжыць у адной паўплоскасці з пунктам А, то адрэзак AC не перасякае прамую a, а адрэзак ВС перасякае гэту прамую (рыс. 26, а). Калі пункт С ляжыць у адной паў-плоскасці з пунктам В, то адрэзак AC перасякае прамую а, а адрэзак ВС не перасякае (рыс. 26, б).
У абодвух выпадках прамая а перасякае толькі адзін з адрэзкаў AC або ВС. Вось і ўвесь доказ.
Фармулёўка ^арэмы звычайна складаецца з дзвюх частак. У адной частцы гаворыцца nja тое, што дадзена. Гэта частка называецца ўмовай тэарэмьі. У другой частцы гаворыцца аб тым, што павінна быць даказана. Гэта частка называецца заключэннем тэарэмы.
Умова тэарэмы 1.1 заключаецца ў тым, што прамая не
18
7 клас
праходзіць ні праз адну з вяршынь трохвугольніка і перасякае адну з яго старон. Заключэнне тэарэмы — у тым, што гэта прамая перасякае толькі адну з дзвюх другіх старон трох-вугольніка.
13. АКСІЁМЫ
Сцверджанні, якія змяшчаюцца ў фармулёўках асноўных уласцівасцей найпрасцейшых фігур, не даказваюцца і назы-ваюцца аксіёмамі. Слова «аксіёма» паходзіць ад грэчаскага аксіос і азначае сцверджанне, якое не выклікае сумненняў.
Пры доказе тэарэм дазваляецца карыстацца асноўнымі ўласцівасцямі найпрасцейшых фігур, г. зн. аксіёмамі, а таксама ўласцівасцямі, ужо даказанымі, г. зн. даказанымі тэарэмамі. Ніякімі іншымі ўласцівасцямі фігур, нават калі яны нам здаюцца відавочнымі, карыстацца нельга.
КНІГІ ОНЛАЙН
