Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Р а ш э н н е. Прамая AC разбівае плоскасць на дзве паў-плоскасці (рыс. 75). Пункт В ляжыць у адной з іх. Адкладзём ад паўпрамой СА ў другую паўплоскасць вугал ACD, роўны вуглу САВ. Тады прамыя AB і CD будуць
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка
53
паралельныя. На самай справе, для гэтых прамых і ся-кучай AC вуглы ВАС і DCA ўнутраныя накрыж ляжа-чыя. А паколькі яны роўныя, то прамыя AB і CD пара-лельныя.
Супастаўляючы сцверджанне задачы 8 і аксіёмы IX (асноў-най уласцівасці паралельных прамых), прыходзім да важнага вываду: праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці паралельную ёй прамую, і толькі адну.
32. УЛАСЦІВАСЦЬ ВУГЛОЎ, УТВОРАНЫХ ПРЫ ПЕРАСЯЧЭННІ ПАРАЛЕЛЬНЫХ ПРАМЫХ СЯКУЧАН
Тэарэма 4.3. (адваротная тэарэме 4.2). Калі дзве пара-
лельныя прамыя перасечаны трэцяй прамой, то ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя, а сума ўнутраных аднаста-
ронніх вуглоў роўна 180°.
Доказ. Няхай a і b — пара-лельныя прамыя і с — прамая, якая перасякае іх у пунктах A і В. Правядзём праз пункт А прамую а\ так, каб унутраныя накрыж ляжа-чыя вуглы, утвораныя сякучай с з прамымі а\ і Ь, былі роўныя (рыс. 76).
Па прызнаку паралельнасці прамых прамыя ati b паралельныя.
Рыс. 76
А паколькі праз пункт А прахо-
дзіць толькі адна прамая, паралельная прамой Ь, то прамая a
супадае з прамой Я|.
Значыць, унутраныя накрыж ляжачыя вуглы, утвораныя сякучай з паралельнымі прамымі а і Ь, роўныя. Тэарэма дака-
зана.
3 уласцівасці вуглоў, утвораных пры перасячэнні паралель-ных прамых сякучай, вынікае, што калі прамая перпендыку-лярная адной з паралельных прамых, то яна перпендыкуляр-ная і другой.
54 7 клас
3 а д а ч a (13). Прамыя AC і BD паралельныя, прычым пункты AID ляжаць па розныя бакі ад сякучай ВС (рыс. 77). Дакажыце, што: 1) вуглы DBC і АСВ унутра-ныя накрыж ляжачыя адносна сякучай ВС-, 2) прамень ВС праходзіць паміж старанамі вугла ABD; ' 3) вуглы CAB і DBA ўнутраныя аднастароннія адносна сяку-чай АВ.
Рашэнне. 1) Вуглы DBC і АСВ унутраныя накрыж ляжачыя таму, што пункты AID ляжаць па розныя бакі
ад сякучай ВС.
2) Прамень ВС праходзіць па-між старанамі вугла ABD таму, што ён перасякае адрэзак AD з кан-цамі на старанах вугла (задача 4).
3) Вуглы CAB і DBA ўнутраныя аднастароннія таму, што пункты С і D ляжаць па адзін бок ад сякучай AB, а менавіта ў паўплоскасці, дзе ляжыць пункт X перасячэння ад-рэзкаў ВС і AD.
33. СУМА ВУГЛОЎ ТРОХВУГОЛЬНІКА
Т э а р э м a 4.4. Сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°.
Д о к а з. Няхай ABC — дадзены трохвугольнік.
Правядзём праз вяршыню В прамую, паралельную
прамой AC. Адзначым на ёй пункт D так, каб пункты A і D ляжалі па розныя бакі ад прамой ВС (рыс. 78).
Вуглы DBC і АСВ роўныя як унутраныя накрыж ляжачыя, утво-раныя сякучай ВС з паралельнымі прамымі AC і BD.
Таму сума вуглоў трохвуголь-ніка пры вяршынях В і С роўная вуглу ABD.
Рыс. 78
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка
55
А сума ўсіх трох вуглоў трохвугольніка роўная суме вуглоў ABD і ВАС. Паколькі гэтыя вуглы ўнутраныя адна-староннія для паралельных AC і BD і сякучай АВ, то іх сума роўна 180°. Тэарэма даказана.
3 тэарэмы 4.4 вынікае, што ў любога трохвугольніка хаця б два вуглы вострыя.
Сапраўды, дапусцім, што ў трохвугольніка толькі адзін вост-ры вугал або наогул няма вострых вуглоў. Тады ў гэтага трох-вугольніка ёсць два вуглы, кожны з якіх не меншы за 90°. Сума гэтых двух вуглоў ужо не меншая за 180°. А гэта немаг-чыма, паколькі сума ўсіх трох вуглоў трохвугольніка роў-на 180°. Што і трэба было даказаць.
3 а д а ч a (30). Чаму роўны вуглы роўнастаронняга трохвугольніка?
Рашэнне. У роўнастаронняга трохвугольніка, як мы ведаем, усе вуглы роўныя. Паколькі яны ў суме даюць 180°, то кожны з іх роўны 60°.
34. ЗНЕШНІЯ ВУГЛЫ ТРОХВУГОЛЬНІКА
Знешнім вуглом трохвугольніка пры дадзенай вяршыні называецца вугал, сумежны з вуглом трохвугольніка пры гэтай вяршыні (рыс. 79).
Каб не блытаць вугал трохвугольніка пры дадзенай вяршыні са знешнім вуглом пры гэтай жа вяршыні, яго часам называюць унутраным вуглом.
Рыс. 79
56
7 клас
Рыс. 80
Рыс. 81
Т э а р э м a 4.5. Знешні вугал трохвугольніка роўны суме двух унутраных вуглоў, не сумежных з ім.
Д ока з. Няхай ABC — дадзены трохвугольнік (рыс. 80). Па тэарэме аб суме вуглоў трохвугольніка
АА+ АВ + AC = 180°.
Адсюль вынікае, што
АА + ZB = 180°- AC.
У правай частцы гэтай роўнасці стаіць градусная мера знешняга вугла трохвугольніка пры вяршыні С. Тэарэма даказана.
3 тэарэмы 4.5 вынікае, што знешні вугал трохвугольніка большы за любы ўнутраны вугал, не сумежны з ім.
' Задача (35). У трохвугольніку ABC праведзена вы-шыня CD. Які з трох пунктаў A, В, D ляжыць паміж двума другімі, калі вуглы A і В трохвугольніка вострыя?
Р а ш э н н е. Пункт В не можа ляжаць паміж пунктамі A і D. Калі б ён ляжаў паміж пунктамі A і D (рыс. 81), то востры вугал ABC як знешні вугал трохвугольніка CBD быў бы большы за прамы вугал CDB. Гэтак жа даказваецца, што і пункт А не можа ляжаць паміж пунк-тамі В і D. Значыць, пункт D ляжыць паміж пунктамі A і В.
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка 57
35. ПРАМАВУГОЛЬНЫ ТРОХВУГОЛЬНІК
Трохвугольнік называецца прамавугольным, калі ў яго ёсць прамы вугал.
Паколькі сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°, то ў пра-мавугольнага трохвугольніка толькі адзін прамы вугал. Два другія вуглы прамавугольнага трохвугольніка вострыя. Сума вострых вуглоў прамавугольнага трохвугольніка роўна 180° — 90° =90°.
Старана прамавугольнага трохвугольніка, процілеглая прамому вуглу, называецца гіпатэнузай, дзве другія стараны называюцца катэтамі (рыс. 82).
Адзначым наступны прызнак роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў па гіпатэнузе і катэту.
Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвуголь-ніка адпаведна роуныя гіпатэнузе і катэту другога трохвуголь-ніка, то такія трохвугольнікі роўныя (рыс. 83).
Доказ гэтага прызнака дадзены ў выглядзе рашэння задачы 29 да § 3.
\ Задача (43). Дакажыце, што ў прамавугольным х ° ) трохвугольніку з вуглом 30° катэт, процілеглы гэтаму ■—' вуглу, роўны палавіне гіпатэнузы.
Р а ш э н н е. Няхай ABC — прамавугольны трохвуголь-нік з прамым вуглом С і вуглом В, роўным 30° (рыс. 84). Пабудуем трохвугольнік DBC, роўны трохвугольніку ABC, як паказана на рысунку 84.
58
7 клас
У трохвугольніка ABD усе вуглы роўныя (60°), таму ён роўнастаронні. Паколькі AC = ~AD, a AD = AB, to AC = ^ АВ. Што i трэба было даказаць.
36. ІСНАВАННЕ I АДЗІНАСЦЬ ПЕРПЕНДЫКУЛЯРА ДА ПРАМОЙ
Т э а р э м a 4.6. 3 любога пункта, які не ляжыць на да-дзенай прамой, можна апусціць на гэту прамую перпенды-куляр, і толькі адзін.
Д о к а з. Няхай a — дадзеная прамая і A — пункт, які не ляжыць на ёй (рыс. 85). Правядзём праз які-небудзь пункт прамой а перпендыкулярную прамую. А цяпер правядзём праз пункт А паралельную ёй прамую Ь. Яна будзе перпенды-кулярная прамой а, паколькі прамая а, будучы перпендыкуляр-най адной з паралельных прамых, перпендыкулярная і другой. Адрэзак АВ прамой b ёсць перпендыкуляр, праведзены з пункта А да прамой а.
Дакажам адзінасць перпендыкуляра АВ. Дапусцім, існуе
Рыс. 85
Рыс. 86
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка
59
другі перпендыкуляр AC. Тады ў трохвугольніка ABC будуць два прамыя вуглы. А гэта, як мы ведаем, немагчыма. Тэарэма даказана.
Даўжыня перпендыкуляра, апушчанага з дадзенага пункта на прамую, называецца адлегласцю ад пункта да прамой.
Задача (50). Дакажыце, што адлегласці ад любых С ° двух пунктаў прамой да паралельнай прамой роўныя.
Р а ш э н н е. Няхай a і Ь — паралельныя прамыя і А, Аі — любыя пункты на прамой а (рыс. 86). Апусцім з пункта A, перпендыкуляр АцВі на прамую Ь. Адкладзём з пункта В| на прамой b адрэзак В\В, роўны адрэзку ААі так, каб пункты A, і В былі па розныя бакі прамой АВ\.
Тады трохвугольнікі АВІАІ і В\АВ роўныя па першаму прызнаку. У іх старана АВ^ агульная, АА\=ВВ\ па пабудаванню, а вуглы В\АА \ і АВ\В роўныя як унутраныя накрыж ляжачыя паралельных прамых a і b з сякучай ABh
3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што АВ ёсць пер-пендыкуляр да прамой b і АВ = А\В\, што і трэба было да-казаць.
Як бачым, адлегласці ад усіх пунктаў прамой да паралель-най прамой роўныя.
Адлегласцю паміж паралельнымі прамымі называецца ад-легласць ад якога-небудзь пункта адной прамой да другой прамой.
37. 3 ГІСТОРЫІ ЎЗНІКНЕННЯ
ГЕАМЕТРЫІ
Першапачатковыя звесткі аб уласцівасцях геаметрычных фігур людзі знайшлі, назіраючы за навакольным светам, і ў выніку практычнай дзейнасці. 3 часам вучоныя заўважылі, што некаторыя ўласцівасці геаметрычных фігур можна вывесці з іншых уласцівасцей шляхам разважання. Так узніклі тэарэмы і доказы.
З’явілася натуральнае жаданне па магчымасці скараціць колькасць тых уласцівасцей геаметрычных фігур, якія бяруцца непасрэдна з вопыту. Сцверджанні ўласцівасцей, якія засталіся
60
7 клас
М. I. Лабачэўскі — рускі матэматык (1792 — 1856)
без доказу, сталі аксіёмамі. Такім чы-нам, аксіёмы маюць вопытнае па-ходжанне.
Геаметрыя ў ранні перыяд свайго раз-віцця дасягнула асабліва высокага ўз-роўню ў Егіпце. У першым тысячагоддзі да нашай эры геаметрычныя звесткі ад егіпцян перайшлі да грэкаў. За перыяд з VII па III стагоддзе да нашай эры грэчаскія геометры не толькі ўзбагацілі геаметрыю шматлікімі новымі тэарэма-мі, але зрабілі таксама сур’ёзныя крокі да дакладнага яе абгрунтавання. Шмат-вяковая работа грэчаскіх геометраў за гэты перыяд была падсумавана Еўклі-
дам (330—275 гг. да н. э.) у яго славутай працы «Пачаткі».
Выкладанне геаметрыі ў «Пачатках» Еўкліда пабудавана на сістэме аксіём. Гэта сістэма аксіём адрозніваецца ад сістэмы аксіём, прынятай у дадзеным падручніку. Але ў ёй ёсць таксама аксіёма паралельных.
Аксіёма паралельных у адрозненне ад іншых аксіём не падмацоўваецца нагляднымі меркаваннямі. Можа быць, таму з часоў Еўкліда матэматыкі многіх краін спрабавалі даказаць яе як тэарэму. Але гэта нікому не ўдавалася. Нарэшце, у XIX ст. было даказана, што гэта немагчыма зрабіць. Першым, хто абгрунтавана выказаў гэта сцверджанне, быў вялікі рускі матэматык Мікалай Іванавіч Лабачэўскі.
/• КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1. Дакажыце, што дзве прамыя, паралельныя трэцяй, пара-лельныя.
2. Растлумачце, якія вуглы называюцца ўнутранымі адна-староннімі. Якія вуглы называюцца ўнутранымі накрыж ляжачымі?
КНІГІ ОНЛАЙН
