Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Пакажам цяпер, што кожны пункт D плоскасці, роўнааддалены ад пунк-таў A і В, ляжыць на прамой а.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні 75
Разгледзім трохвугольнік ADB. Ен раўнабедраны, паколькі AD = BD. У ім DO — медыяна. Па ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка медыяна, праведзеная да асновы, з’яўляецца вышынёй. Значыць, пункт D ляжыць на прамой а. Тэарэма даказана.
49. МЕТАД ГЕАМЕТРЫЧНЫХ МЕСЦ
Сутнасць метаду геаметрычных месц, які выкарыстоўваец-ца пры рашэнні задач на пабудаванне, закйючаецца ў наступ-ным. Няхай, рашаючы задачу на пабудаванне, нам трэба знай-сці пункт X, які задавальняе дзвюм умовам. Геаметрычнае месца пунктаў, якія задавальняюць першай умове, ёсць нека-торая фігура Ft, а геаметрычнае месца пунктаў, якія зада-вальняюць другой умове, ёсць некаторая фігура F>. Шукаемы пункт X належыць Ft і F^, г. зн. з’яўляецца іх пунктам перасячэння. Калі гэтыя геаметрычныя месцы простыя (ска-жам, складаюцца з прамых і акружнасцей), то мы можам іх пабудаваць і знайсці пункт X, які нас цікавіць. Прывядзём прыклад.
3 а д а ч a (43). Дадзены тры пункты A, В, С. Пабудуйце пункт X, які аднолькава аддалены ад пунктаў 4 і В і знаходзіцца на дадзенай адлегласці ад пункта С.
Р а ш э н н е. Шукаемы пункт X задавальняе дзвюм умо-вам: 1) ён аднолькава аддалены ад пунктаў A і В; 2) ён знаходзіцца на дадзенай адлегласці ад пункта С. Геаметрычнае месца пунктаў, што задавальняюць першай умове, ёсць прамая, якая перпендыкулярная адрэзку АВ і праходзіць праз яго сярэдзіну (рыс. 106). Геаметрыч-
Рыс. 106
76
7 клас
нае месца пунктаў, якія задавальняюць другой умове, ёсць акружнасць дадзенага радыуса з цэнтрам у пункце С. Шукаемы пункт X ляжыць на перасячэнні гэтых геа-метрычных месц.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Што такое акружнасць, цэнтр акружнасці, радыус?
2. Што такое хорда акружнасці? Якая хорда называецца дыяметрам?
3. Якая акружнасць называецца апісанай каля трохвуголь-ніка?
4. Дакажыце, што цэнтр акружнасці, апісанай каля трох-вуголька, ляжыць на перасячэнні пасярэдніх перпен-дыкуляраў да старон трохвугольніка.
5. Якая прамая называецца датычнай да акружнасці?
6. Што значыць: акружнасці датыкаюцца ў дадзеным пунк-це?
7. Які дотык акружнасцей называецца знешнім, які — унут-раным?
8. Якая акружнасць называецца ўпісанай у трохвугольнік?
9. Дакажыце, што цэнтр акружнасці, упісанай у трохвуголь-нік, ляжыць на перасячэнні яго бісектрыс.
10. Растлумачце, як пабудаваць трохвугольнік па трох стара-нах.
11. Растлумачце, як адкласці ад дадзенай паўпрамой у дадзе-ную паўплоскасць вугал, роўны дадзенаму вуглу.
12. Растлумачце, як падзяліць дадзены вугал папалам.
13. Растлумачце, як падзяліць адрэзак папалам.
14. Растлумачце, як праз дадзены пункт правесці прамую, пер-пендыкулярную дадзенай прамрй.
15. Што ўяўляе сабой геаметрычнае месца пунктаў, роўнаад-даленых ад двух дадзеных пунктаў?
W ЗАДАЧЫ
1. Дакажыце, што любы прамень які зыходзіць з цэнтра акружнасці, перасякае акружнасць у адным пункце.
2. Дакажыце, што прамая, якая праходзіць праз цэнтр акруж-насці, перасякае акружнасць у двух пунктах.
3. Дакажыце, што дыяметр акружнасці, які праходзіць праз сярэдзіну хорды, перпендыкулярны ёй.
4. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму, адваротную сцверджан-
ню задачы 3.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні
77
5.
6.
7.
1) 3 пункта дадзенай акружнасці праведзены дыяметр і хорда, роўная радыусу. Знайдзіце вугал паміж імі (рыс. 107).
2) 3 пункта дадзенай акружнасці праведзены дзве хорды, роўныя ра-дыусу. Знайдзіце вугал паміж імі. Дакажыце, што пасярэднія перпен-дыкуляры да дзвюх старон трохву-гольніка перасякаюцца.
Ці можа акружнасць датыкацца да прамой у двух пунктах? Растлу-
мачце адказ. Рыс 107
8. Дакажыце, што датычная да акруж-
насці не мае з ёй другіх агульных пунктаў, акрамя пункта
дотыку.
9. Якія вуглы ўтварае хорда АВ, роўная радыусу акруж-насці, з датычнай у пункце А?
10. Знайдзіце вуглы, пад якімі перасякаюцца прамыя, якія датыкаюцца да акружнасці ў канцах хорды, роўнай ра-дыусу.
11. Акружнасці з радыусамі 30 ем і 40 см датыкаюцца. Знай-дзіце адлегласць паміж цэнтрамі акружнасцей у выпадках знешняга і ўнутранага дотыкаў.
12. Ці могуць датыкацца дзве акружнасці, калі іх радыусы роўны 25 см і 50 см, а адлегласць паміж цэнтрамі 60 см?
13*. 1) Пункты A, В, С ляжаць на прамой, а пункт О— па-за прамой. ЦІ могуць два трохвугольнікі АОВ і ВОС быць раўнабедранымі з асновамі AB і ВС? Абгрунтуйце адказ. 2) Ці могуць акружнасць і прамая перабякацца больш чым у двух пунктах?
14*. 1) Акружнасці з цэнтрамі О і О, перасякаюцца ў пунктах A і В. Дакажыце, што прамая АВ перпендыкулярная пра-мой ОО\.
2) Дакажыце, што дзве акружнасні не могуць перасякац-ца больш чым у двух пунктах.
15*. 1) Праз пункт А акружнасці з цэнтрам О праведзена пра-мая, якая не датыкаецца да акружнасці. ОВ — перпенды-куляр, апушчаны на прамую. На прадаўжэнні адрэзка АВ адкладзены адрэзак ВС = АВ. Дакажыце, што пункт С ля-жыць на акружнасці.
2) Дакажыце, што калі прамая мае з акружнасцю толькі адзін агульны пункт, то яна з’яўляецца датычнай да акруж-насці ў гэтым пункце.
3) Дакажыце, што калі дзве акружнасці маюць толькі адзін агульны пункт, то яны датыкаюцца ў гэтым пункце. 16*. 1) 3 аднаго пункта праведзены дзве датычныя да акруж-
78
7 клас
насці (рыс. 108). Дакажыце, што адрэзкі датычных MP і MQ роўныя.
2) Дакажыце, што праз адзін пункт не можа праходзіць больш за дзве датычныя да акружнасці.
17. Адна акружнасць апісана вакол роўнастаронняга трохву-гольніка, а другая ўпісана ў яго. Дакажыце, што цэнтры гэтых акружнасцей супадаюць.
18. Акружнасць, упісаная ў трохвугольнік ABC, даТыкаецца да яго старон у пунктах A,, Вь С, (рыс. 109). Дакажыце, . AB + AC - ВС
што AC] =----------------.
19. Пабудуйце трохвугольнік па трох старанах a, b і с: 1) a = — 2 cm, 6 = 3 cm, c = 4 cm; 2) a = 3 cm, 6 = 4 cm, c = 5 cm; 3) a = 4 cm, 6 = 5 cm, e = 6 cm.
20. Дадзены трохвугольнік ABC. Пабудуйце другі роўны яму трохвугольнік ABD.
21. Пабудуйце акружнасць дадзенага радыуса, якая прахо-дзіць праз два дадзеныя пункты.
22. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і радыусу апісанай акружнасці.
23. Пабудуйце трохвугольнік ABC па наступных даных:
1) па дзвюх старанах і вуглу паміж імі:
а) АВ = 5 cm, AC = 6 см, АА = 40°;
б) АВ = 3 cm, ВС = 5 cm, Z.B = 70°;
2) па старане і вуглу, які да яе прылягае:
а) АВ = 6 см, АА=30°, АВ = 50°;
б) АВ = 4 см, АА = 45°, АВ = 60°.
24. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і вуглу, про-цілегламу большай з іх:
1) a = 6 см, 6 = 4 cm, a = 70°;
2) a = 4 см, 6 = 6 cm, p = 100°.
25. Пабудуйце раўнабедраны трохвугольнік па бакавой старане і вуглу пры аснове.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні
79
26. Пабудуйце акружнасць, упісаную ў дадзены трохвугольнік. 2' ііадзяліце вугал на чатыры роўныя часткі.
-8. Пабудуйце вуглы 60° і 30°.
29. Дадзен трохвугольнік. Пабудуйце яго медыяны.
30. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і медыяне, праведзенай да адной з іх.
31. Пабудуйце трохвугольнік па старане, медыяне, праведзенай да гэтай стараны, і радыусу апісанай акружнасці.
32. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і медыяне, праведзенай да трэцяй стараны (рыс. 110).
Рыс. 110
33. Дадзены трохвугольнік. Пабудуйце яго вышыні.
34. Пабудуйце акружнасць, апісаную вакол дадзенага трохву-гольніка.
35. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па гіпатэнузе і катэту.
36. Пабудуйце раўнабедраны трохвугольнік па бакавой ста-ране і вышыні, апушчанай на аснову.
37. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і вышыні, апушчанай на трэцюю старану.
38. Пабудуйце трохвугольнік па дзвюх старанах і вышыні, апушчанай на адну з іх.
39. Пабудуйце трохвугольнік па старане і праведзеных да яе медыяне і вышыні.
40. Пабудуйце раўнабедраны трохвугольнік па аснове і ра-дыусу апісанай акружнасці.
41. Дакажыце, што геаметрычнае месца пунктаў, аддаленых ад дадзенай прамой. на адлегласць h, складаецца з дзвюх прамых, якія паралельныя дадзенай і знаходзяцца да яе на адлегласці h.
42. На дадзенай прамой знайдзіце пункт, які знаходзіцца на дадзенай адлегласці ад другой дадзенай прамой.
80
7 клас
43. Дадзены тры пункты: A, В, С. Пабудуйце пункт X, які аднолькава аддалены ад пунктаў A і В і знаходзіцца на дадзенай адлегласці ад пункта С.
44. На дадзенай прамой знайдзіце пункт, роўнааддалены ад двух дадзеных пунктаў.
45. Дадзены чатыры пункты A, В, С, D. Знайдзіце пункт X, які аднолькава аддалены ад пунктаў A і В і аднолькава аддалены ад пунктаў С і D.
46*. Пабудуйце трохвугольнік, калі зададзены старана, прылег-лы да яе вугал і сума дзвюх другіх старон (рыс. 111).
47*. Пабудуйце трохвугольнік, калі зададзены старана, прылег-лы да яе вугал і рознасць дзвюх другіх старон.
48*. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па катэту і суме другога катэта і гіпатэнузы.
49*. 1) 3 пункта А да акружнасці з цэнтрам О і радыусам R праведзена датычная (рыс. 112). Дакажыце, што пункт С дотыку ляжыць на аснове раўнабедранага трохвугольніка ОАВ, у якога ОА — AB, ОВ = 2R.
2) Правядзіце датычную да акружнасці, якая праходзіць праз дадзены пункт па-за акружнасцю.
50*. Правядзіце агульную датычную да дзвюх дадзеных акружнасцей (рыс. 113).
Рыс. 112
Рыс. 113
8 клас
§ 6. ЧАТЫРОХВУГОЛЬНІКІ
50. АЗНАЧЭННЕ ЧАТЫРОХВУГОЛЬНIКA
Чатырохвугольнікам называецца фігура, якая складаецца з чатырох пунктаў і чатырох адрэзкаў, што паслядоўна іх злу-чаюць. Пры гэтым ніякія тры з дадзеных пунктаў не павінны ляжаць на адной прамой, а адрэзкі, што іх злучаюць, не павін-ны перасякацца. Дадзеныя пункты называюцца вяршынямі чатырохвугольніка, а адрэзкі, якія іх злучаюць,—старанамі чатырохвугольніка.
Задача (1). На рысунках 114—116 дадзены тры фі-. 1 гуры, кожная з якіх складаецца з чатырох пунктаў і чаты-рох адрэзкаў, што паслядоўна іх злучаюць. Якая з гэтых фігур з'яўляецца чатырохвугольнікам?
Рыс. 114
Рыс. 115
82 8 клас
Р а ш э н н е. Чатырохвугольнікам з’яўляецца толькі фі-гура на рысунку 116, таму што ў фігуры на рысунку 114 пункты A, В, С ляжаць на адной прамой, а ў фігуры на рысунку 115 адрэзкі ВС і AD перасякаюцца.
Рыс. 116
Вяршыні чатырохвугольніка называюцца суседнімі, калі яны з’яўляюцца канцамі адной з яго старон. Вяршыні, якія не з’яўляюцца суседнімі, называюцца процілеглымі. Адрэзкі, якія злучаюць процілеглыя вяршыні чатырохвугольніка, на-зываюцца дыяганалямі.
КНІГІ ОНЛАЙН
