Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
30. 3 аднаго пункта акружнасці праведзены дзве ўзаемна перпендыкулярныя хорды, якія аддалены ад цэнтра на 6 см і 10 см. Знайдзіце іх даўжыні.
31. У прамавугольны трохвугольнік, кожны катэт якога роў-ны 6 см, упісаны прамавугольнік, які мае з трохвуголь-нікам агульны вугал (рыс. 141). Знайдзіце перыметр прамавугольніка.
32. У раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік упісаны прамавугольнік так, што дзве яго вяршыні знаходзяцца на гіпатэнузе, а дзве другія — на катэтах (рыс. 142). Чаму роў-
§ 6. Чатырохвугольнікі
99
ны стораны прамавугольніка, калі вядома, што яны адно-сяцца як 5:2, а гіпатэнуза трохвугольніка роўна 45 см? 33. Дакажыце, што калі ў паралелаграма дыяганалі перпен-дыкулярныя, то ён з’яўляецца ромбам.
34. Дакажыце, што калі дыяганаль паралелаграма з’яўляецца бісектрысай яго вуглоў, то ён з’яўляецца ромбам.
35. Вуглы, утвараемыя дыяганалямі ромба з адной з яго ста-рон, адносяцца як 4:5. Знайдзіце вуглы ромба.
36. Дакажыце, што чатырохвугольнік, у якога ўсе стораны роўныя, з’яўляецца ромбам.
37. У ромбе адна з дыяганалей роўна старане. Знайдзіце вуг-лы ромба.
38. Пабудуйце ромб: 1) па вуглу і дыяганалі, якая зыходзіць з вяршыні гэтага вугла; 2) па дыяганалі і процілегламу вуглу.
39. Пабудуйце ромб: 1) па старане і дыяганалі; 2) па дзвюх дыяганалях.
40. Дакажыце, што калі дыяганалі прамавугольніка перася-каюцца пад прамым вуглом, то ён ёсць квадрат.
41. У раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік, кожны ка-тэт якога 2 м, упісаны квадрат, які мае з ім агульны вугал. Знайдзіце перыметр квадрата.
42. Дадзены квадрат ABCD. На кожнай з яго старон адкла-дзены роўныя адрэзкі: АА\ —ВВ\ = СС\ =DD\. Дакажыце, што чатырохвугольнік A\BiC\Di ёсць квадрат (рыс. 143).
43. Дыяганаль квадрата роўна 4 м. Старана яго роўна дыяга-налі другога квадрата. Знайдзіце старану апошняга.
44. Дадзены квадрат, старана якога 1 м, дыяганаль яго роў-на старане другога квадрата. Знайдзіце дыяганаль апош-няга.
45. У квадрат (рыс. 144) упісаны прамавугольнік так, што на кожнай старане квадрата знаходзіцца адна вяршыня пра-мавугольніка і стораны прамавугольніка паралельныя дыя-
Рыс. 143
Рыс. 144
100
8 клас
ганалям квадрата. Знайдзіце стораны прамавугольніка, ведаючы, што адна з іх удвая большая за другую і што дыяганаль квадрата роўна 12 м.
46. У раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік упісаны квадрат так, што дзве яго вяршыні знаходзяцца на гіпа-тэнузе, а другія дзве — на катэтах. Знайдзіце старану квадрата, калі вядома, што гіпатэнуза роўна 3 м.
47. 3 дадзенага пункта праведзены да акружнасці дзве ўза-емна перпендыкулярныя датычныя, радыус акружнасці 10 см. Знайдзіце даўжыні датычных (адлегласць ад да-дзенага пункта да пункта дотыку).
48. Падзяліце дадзены адрэзак АВ на п роўных частак.
49. Падзяліце дадзены адрэзак на дадзены лік роўных частак: 1) 3; 2) 5; 3) 6.
50. Стораны трохвугольніка роўны 8 см, 10 см, 12 см. Знай-дзіце стораны трохвугольніка, вяршынямі якога з’яўля-юцца сярэдзіны старон дадзенага трохвугольніка.
51. Перыметр трохвугольніка роўны 12 см; сярэдзіны старон злучаны адрэзкамі. Знайдзіце перыметр атрыманага трох-вугольніка.
52. Сярэдняя лінія раўнабедранага трохвугольніка, пара-лельная аснове, роўна 3 см. Знайдзіце стораны трохвуголь-ніка, калі яго перыметр роўны 16 см.
53. Як пабудаваць трохвугольнік, калі зададзены сярэдзіны яго старон?
54. Дакажыце, што вяршыні трохвугольніка роўнааддалены ад прамой, якая праходзіць праз сярэдзіны дзвюх яго старон.
55. Дакажыце, што сярэдзіны старон чатырохвугольніка з’яў-ляюцца вяршынямі паралелаграма.
56. Знайдзіце стораны паралелаграма з папярэдняй задачы, калі вядома, што дыяганалі чатырохвугольніка роўны 10 м і 12 м.
57. У чатырохвугольніка дыяганалі роўны а і Ь. Знайдзіце перыметр чатырохвугольніка, вяршынямі якога з’яўля-юцца сярэдзіны старон дадзенага чатырохвугольніка.
58. Дакажыце, што сярэдзіны старон прамавугольніка з’яўля-юцца вяршынямі ромба. I наадварот, сярэдзіны старон ромба з’яўляюцца вяршынямі прамавугольніка.
59. Бакавая старана трапецыі падзелена на тры роўныя част-кі, з пунктаў дзялення праведзены да другой стараны ад-рэзкі, паралельныя асновам. Знайдзіце даўжыні гэтых адрэзкаў, калі асновы трапецыі роўны 2 м і 5 м.
60. Дакажыце, што ў раўнабокай трапецыі вуглы пры аснове роўныя.
61. Чаму роўны вуглы раўнабокай трапецыі, калі вядома, што рознасць процілеглых вуглоў роўна 40°?
§ 6. Чатырохвугольнікі 101
62. У раўнабокай трапецыі большая аснова роўна 2,7 м, бака-вая старана роўна 1 м, вугал паміж імі 60°. Знайдзіце меншую аснову.
63. У раўнабокай трапецыі вышыня праведзеная з вяршыні тупога вугла, дзеліць большую аснову на адрэзкі 6 см і 30 см. Знайдзіце асновы трапецыі.
64*. Меншая аснова раўнабокай трапецыі роўна бакавой ста-ране, а дыяганаль перпендыкулярная бакавой старане (рыс. 145). Знайдзіце вуглы трапецыі.
65. Па адзін бок ад прамой а дадзены два пункты А і В на адлегласцях 10 м і 20 м ад яе. Знайдзіце адлегласць ад сярэдзіны адрэзка АВ да прамой а.
66. Па розныя бакі ад прамой а дадзены два пункты A і В на адлегласцях 10 см і 4 см ад яе. Знайдзіце адлег-ласць ад сярэдзіны адрэзка АВ да прамой а.
67. Асновы трапецыі адносяцца як 2:3, а сярэдняя лінія роў-на 5 м. Знайдзіце асновы.
68. Канцы дыяметра аддалены ад датычнай да акружнасці на 1,6 м і 0,6 м. Знайдзіце даўжыню дыяметра.
69. Сярэдняя лінія трапецыі роўна 7 см, а адна з яе асноў боль-шая за другую на 4 см. Знайдзіце асновы трапецыі.
70. Вышыня, праведзеная з вяршыні тупога вугла раўнабокай трапецыі, дзеліць большую аснову на часткі, якія маюць даўжыні а і Ь(а > Ь\ Знайдзіце сярэднюю лінію трапецыі.
71*. Пабудуйце трапецыю па асновах і бакавых старанах.
72*. Пабудуйце трапецыю па асновах і дыяганалях.
73*. Дадзены адрэзкі a, b, с, d, е. Пабудуйце адрэзак х = ^-.
74*. 1) У трохвугольніку ABC праведзены медыяны ААі і BBit якія перасякаюцца ў пункце М (рыс. 146). У трохвугольніку АМВ праведзена сярэдняя лінія PQ. Дакажыце, што
Рыс. 145
Рыс. 146
102
8 клас
чатырохвугольнік A^BiPQ — паралелаграм.
2) Дакажыце, што любыя дзве медыяны трохвугольніка ў пункце перасячэння дзеляцца ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
3) Дакажыце, што ўсе тры медыяны трохвугольніка пера-сякаюцца ў адным пункце.
§ 7. ТЭАРЭМА ПІФАГОРА
62. КОСІНУС ВУГЛА
Косінусам вострага вугла прамавугольнага трохвугольніка называецца адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы.
Косінус вугла а абазначаецца так: cos a. На рысунку 147 паказаны прамавугольны трохвугольнік ABC з вуглом А, роў-ным а. Косінус вугла a роўны адносіне катэта AC, прылеглага да гэтага вугла, да гіпатэнузы АВ, г. зн.
Тэарэма 7.1. Косінус вугла залежыць толькі ад градуснай меры вугла і не залежыць ад размяшчэння і размераў трохву-гольніка.
Гэта азначае, што ў двух прамавугольных трохвуголь-нікаў з адным і тым жа вострым вуглом косінусы гэтага вугла роўныя.
Доказ. Няхай ABC і А'В'С' — два прамавугольныя трох-вугольнікі з адным і тым жа вуглом пры вяршынях А і А', роўным a (рыс. 148). Трэба даказаць, што
А'С' _ AC
А'В' — АВ '
Рыс. 147
Рыс. 148
§ 7. Тэарэма Піфагора
103
Пабудуем трохвугольнік АВ\С\, роўны трохвугольніку А'В'С', як паказана на рысунку 148. Паколькі прамыя ВС і В\С\ перпендыкулярныя прамой AC, то яны паралельныя. Па тэарэме аб прапарцыянальных адрэзках
AC, _ AC AB, — AB ‘
Паколькі па пабудаванню АС\ =А'С', АВ\ =А'В', то
А'С' _ AC А'В' АВ *
Тэарэма даказана.
63. ТЭАРЭМА ПІФАГОРА
Тэарэма 7.2 (тэарэма Піфагора). У прамавугольным трохвугольніку квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэтаў.
Д о к а з. Няхай ABC — дадзены прамавугольны трохву-гольнік з прамым вуглом С. Правядзём вышыню CD з вяршыні прамога вугл С (рыс. 149).
л AD AC А
Па азначэнню косінуса вугла cos^ ~ = Адсюль
АВ • AD = AC2. Аналагічна cos В = -^-=-^. Адсюль AB X X BD = ВС2. Складаючы атрыманыя роўнасці пачленна і заў-важаючы, што AD -\- DB = АВ, атрымаем:
AC2 + ВС2 = AB(AD + DB) = АВ2.
Тэарэма даказана.
104
8 клас
3 тэарэмы Піфагора вынікае, што ў прамавугольным трох-вугольніку любы з катэтаў меншы за гіпатэнузу. Адсюль, у сваю чаргу, вынікае, што cos a < 1 для любога вострага вугла a.
Задача (11). Знайдзіце медыяну раўнабедранага трохвугольніка з асновай а і бакавой стараной Ь, пра-ведзеную да асновы.
Р а ш э н н е. Няхай ABC — раўнабедраны трохвуголь-нік з асновай AB і CD — яго медыяна, праведзеная да асновы (рыс. 150). Як мы ведаем, медыяна раўнабедра-
нага трохвугольніка, праведзеная да асновы, з’яўляецца вышынёй. Таму трохвугольнік ACD прамаву-гольны з прамым вуглом D. Па тэарэме Піфагора
AD2 + CD2 = AC2, ^у + CD2 = b2.
Адсюль
64. ЕГІПЕЦКІ ТРОХВУГОЛЬНІК
Задача (17). Дакажыце, што калі трохвугольнік мае стораны а, b, с і a2 А Ь2 = с2, то ў яго вугал, процілеглы старане с, прамы.
Р а ш э н н е. Няхай ABC дадзены трохвугольнік, у якога AB = с, AC — a, ВС = b (рыс. 151). Пабудуем прамавуголь-ны трохвугольнік А\В\С\ з катэтамі АіСі = а і В\С\ = Ь.
Рыс. 151
§ 7. Тэарэма Піфагора
105
Па тэарэме Піфагора ў яго гіпатэну-за АіВ\ =д/а2-\-Ь2 = с. Такім чынам, трохвугольнікі ABC і АіВіСі роў-ныя па трэцяму прызнаку. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што вугал трохвугольніка ABC пры вяршыні С прамы.
Землямеры Старажытнага Егіпта для пабудавання прамога вугла карысталіся наступным прыёмам. Вяроўку вузламі дзялілі на 12 роўных частак і канцы звязвалі. Затым вяроўку расцягвалі на зямлі так, каб атрымліваўся трох-вугольнік са старанамі 3, 4 і 5 дзялен-няў. Вугал трохвугольніка, процілеглы нямі, быў прамы (З2 + 42 = 52).
Шфагор — старажыт-нагрэчаскі вучоны (VI ст. да н. э.)
старане з 5 дзялен-
У сувязі з дадзеным спосабам пабудавання прамога вугла трохвугольнік са старанамі 3, 4 і 5 адз. часам называюць егіпецкім.
65. ПЕРПЕНДЫКУЛЯР I НАХІЛЕНАЯ
Няхай ВА — перпендыкуляр, апушчаны з пункта В на пра-
мую a, і С — любы пункт прамой а, адрозны ад А. Адрэзак ВС называецца нахіленай, праведзенай з пункта В да прамой а (рыс. 152). Пункт С называецца асновай нахіленай. Адрэзак AC называецца праекцыяй нахіленай.
3 тэарэмы Піфагора вынікае,
што калі да прамой з аднаго пункта праведзены перпендыкуляр і нахі-леная, то любая нахіленая боль-шая за перпендыкуляр, роўныя на-хіленыя маюць роўныя праекцыі, з дзвюх нахіленых большая тая, у якой праекцыя большая.
КНІГІ ОНЛАЙН
