Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Доказ. Няхай ABC — дадзены трохвугольнік і О — цэнтр апісанай каля яго акружнасці (рыс. 93). Трохвугольнік АОС — раўнабедраны: у яго стораны ОА і ОС роўныя як радыусы.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні 67
Медыяна OD гэтага трохвугольніка адначасова з’яўляецца яго вышынёй. Таму цэнтр акружнасці ляжыць на прамой, якая перпендыкулярная старане AC і праходзіць праз яе сярэдзіну. Гэтак жа даказваецца, што цэнтр акружнасці ляжыць на пер-пендыкулярах да дзвюх другіх старон трохвугольніка. Тэарэма даказана.
3 а ў в а г а. Прамую, якая праходзіць праз сярэдзіну адрэз-ка перпендыкулярна да яго, часта называюць пасярэднім пер-пендыкулярам. У сувязі з гэтым часам гавораць, што цэнтр акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, ляжыць на пера-сячэнні пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка.
ДЗадача (6). Дакажыце, што пасярэднія перпенды-куляры да дзвюх старон трохвугольніка перасяка-юцца.
Р а ш э н н е. Няхай АВС'— трохвугольнік і a, b — пася-рэднія перпендыкуляры да яго старон AC і ВС (рыс. 94). Дапусцім, прамыя аі b не перасякаюцца, а значыць, пара-лельныя. Прамая AC перпендыкулярная прамой а. Пра-мая ВС перпендыкулярная прамой b, а значыць, і прамой а, паколькі прамыя a і b паралельныя. Такім чынам, абедзве прамыя AC і ВС перпендыкулярныя прамой а, а значыць, паралельныя. Але гэта няправільна. Прамыя AC і ВС перасякаюцца ў пункце С. Мы прыйшлі да супя-рэчнасці. Сцверджанне даказана.
68
7 клас
40. ДАТЫЧНАЯ ДА АКРУЖНАСЦІ
Прамая, якая праходзіць праз пункт акружнасці перпен-дыкулярна да радыуса, праведзенага ў гэты пункт, называец-ца датычнай. Пры гэтым дадзены пункт акружнасці называец-ца пунктам дотыку.
На рысунку 95 прамая а праведзена праз пункт акружнасці А перпендыкулярна да радыуса ОА. Прамая а з’яўляецца да-тычнай да акружнасці. Пункт А з’яўляецца пунктам дотыку. Можна сказаць таксама, што акружнасць датыкаецца да пра-мой а ў пункце А.
Рыс. 95 Рыс. 96
3 а д а ч a (8). Дакажыце, што датычная да акружнасці не мае з ёй другіх агульных пунктаў, апрача пункта дотыку.
Р а ш э н н е. Няхай a — датычная да акружнасці ў
пункце А (рыс. 96).
Дапусцім, датычная і акружнасць маюць, апрача пункта А, агульны пункт В, адрозны ад А. Трохвуголь-нік АОВ раўнабедраны з асновай АВ. У яго бакавыя стораны ОА і ОВ — радыусы акружнасці.
Паколькі ў раўнабедранага трохвугольніка вуглы пры аснове роўныя, а вугал пры вяршыні А прамы, то ў гэтага трохвугольніка два прамыя вуглы. А гэта немагчыма. Мы прыйшлі да супярэчнасці. Сцверджанне даказана.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні
69
Гавораць, што дзве акружнасці, якія маюць агульны пункт, датыкаюцца ў гэтым пункце, калі яны маюць у гэтым пункце агульную датычную (рыс. 97). Дотык акружнасцей называец-ца ўнутраным, калі цэнтры акружнасцей ляжаць па адзін бок ад іх агульнай датычнай (рыс. 97, а). Дотык акружнасцей на-зываецца знешнім, калі цэнтры акружнасцей ляжаць па розныя бакі ад іх агульнай датычнай (рыс. 97, б).
41. АКРУЖНАСЦЬ, УПІСАНАЯ Ў ТРОХВУГОЛЬНІК
Акружнасць называецца ўпісанай у трохвугольнік, калі яна датыкаецца да ўсіх яго старон.
Тэарэма 5.2. Цэнтр акружнасці, упісанай у трохвуголь-нік, з'яўляецца пунктам перасячэння яго бісектрыс.
Д о к а з. Няхай ABC — дадзены трохвугольнік, О — цэнтр упісанай у яго акружнасці, D, Е і F — пункты дотыку акруж-насці са старанамі (рыс. 98). Прамавугольныя трохвугольнікі
AOD і АОЕ роўны па гіпатэнузе і катэту. У іх гіпатэнуза АО
агульная, а катэты OD і ОЕ роўныя як радыусы. 3 роўнасці трохвуголь-нікаў вынікае роўнасць вуглоў OAD і ОАЕ. А гэта значыць, што пункт О ляжыць на бісектрысе трохвугольніка, праведзенай з вяр-шыні А. Гэтак жа даказваецца, што пункт О ляжыць на дзвюх другіх бі-сектрысах трохвугольніка. Тэарэма даказана.
70
7 клас
42. ШТО ТАКОЕ ЗАДАЧЫ НА ПАБУДАВАННЕ
У задачах на пабудаванне ідзе гаворка пра пабудаванне геаметрычнай фігуры з дапамогай дадзеных чарцёжных інстру-ментаў. Такімі інструментамі часцей за ўсё з’яўляюцца лінейка і цыркуль. Рашэнне задачы заключаецца не столькі ў пабуда-ванні фігуры, колькі ў рашэнні пытання аб тым, як гэта зрабіць, і адпаведным доказе. Задача лічыцца рэшанай, калі дадзены спосаб пабудавання фігуры і даказана, што ў выніку выканання дадзеных пабудаванняў сапраўды атрымліваецца фігура з па-трабуемымі ўласцівасцямі.
3 дапамогай лінейкі як інструмента геаметрычных пабуда-ванняў можна правесці адвольную прамую; адвольную пра-мую, якая праходзіць праз дадзены пункт; прамую, якая праходзіць праз два дадзеныя пункты. Ніякіх іншых апе-рацый выконваць лінейкай нельга. У прыватнасці, нельга адкладваць лінейкай адрэзкі, нават калі на ёй ёсць дзя-ленні.
Цыркуль як інструмент геаметрычных пабудаванняў дазва-ляе апісаць з дадзенага цэнтра акружнасць дадзенага радыу-са. У прыватнасці, цыркулем можна адкласці дадзены адрэзак на дадзенай прамой ад дадзенага пункта.
Разгледзім найпрасцейшыя задачы на пабудаванне.
43. ПАБУДАВАННЕ ТРОХВУГОЛЬНІКА 3 ДАДЗЕНЫМІ СТАРАНАМІ
Задача 5.1. Пабудаваць трохвугольнік з дадзенымі ста-ранамі а, Ь, с (рыс. 99, а).
Рашэнне. 3 дапамогай лінейкі праводзім адвольную пра-
Рыс. 99
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні 71
мую і адзначаем на ёй адвольны пункт В (рыс. 99, б). Ростулам цыркуля, роўным а, апісваем акружнасць з цэнтрам В і радыусам а. Няхай С — пункт яе перасячэння з прамой. Цяпер ростулам цыркуля, роўным с, апісваем акружнасць з цэнтра В, а ростулам цыркуля, роўным Ь, апісваем акружнасць з цэнтра С. Няхай A — пункт перасячэння гэтых акружнасцей. Правядзём адрэзкі AB і AC. Трохвугольнік ABC мае стораны, роўныя а, Ь, с.
44. ПАБУДАВАННЕ ВУГЛА, РОЎНАГА ДАДЗЕНАМУ
Задача 5.2. Адкласці ад дадзенай паўпрамой у дадзеную паўплоскасць вугал, роўны дадзенаму вуглу.
Р а ш э н н е. Правядзём адвольную акружнасць з цэнтрам у вяршыні А дадзенага вугла (рыс. 100, а). Няхай В і С — пункты перасячэння акружнасці са старанамі вугла. Радыусам АВ правядзём акружнасць з цэнтрам у пункце О — пачатко-вым пункце дадзенай паўпрамой (рыс. 100, б). Пункт перася-чэння гэтай акружнасці з дадзенай паўпрамой абазначым Ві. Апішам акружнасць з цэнтрам В\ і радыусам ВС. Пункт С, перасячэння пабудаваных акружнасцей у дадзенай паўплоска-сці ляжыць на старане шукаемага вугла.
Для доказу дастаткова заўважыць, што трохвугольнікі ABC і ОВ\С\ роўныя як трохвугольнікі з адпаведна роўнымі стара-намі. Вуглы A і О з’яўляюцца адпаведнымі вугламі гэтых трохвугольнікаў.
72
7 клас
45. ПАБУДАВАННЕ БІСЕКТРЫСЫ ВУГЛА
Задача 5.3. Пабудаваць бісектрысу дадзенага вугла.
Рашэнне. 3 вяршыні А дадзенага вугла, як з цэнтра, апісваем акружнасць адвольнага радыуса (рыс. 101). Няхай В і С — пункты яе перасячэння са старанамі вугла. 3 пунктаў В і С тым жа радыусам апісваем акружнасці. Няхай D — пункт іх перасячэння, адрозны ад А. Право-дзім паўпрамую AD.
Прамень AD з’яўляецца бі-сектрысай, паколькі дзеліць вугал ВАС папалам. Гэта вынікае з роў-насці трохвугольнікаў ABD і ACD, у якіх вуглы DAB і DAC з’яўляюц-ца адпаведнымі.
46. ДЗЯЛЕННЕ АДРЭЗКА ПАПАЛАМ
3 а д а ч a 5.4. Падзяліць адрэзак папалам.
Рашэнне. Няхай АВ — дадзены адрэзак (рыс. 102).
3 пунктаў A і В радыусам АВ апісваем акружнасці. Няхай
С і С| — пункты перасячэння гэтых акружнасцей. Яны ляжаць
у розных паўплоскасцях адносна прамой АВ. Адрэзак СС\ перасякае прамую АВ у некаторым пункце О. Гэты пункт і ёсць сярэдзіна адрэз-ка АВ.
Сапраўды, трохвугольнікі САС^ і СВС\ роўныя па трэцяму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў. Адсюль вынікае роўнасць вуглоў АСО і ВСО. Трохвугольнікі ACO і ВСО роўныя па першаму прызнаку роў-насці трохвугольнікаў. Сторайы АО і ВО гэтых трохвугольнікаў з’яў-ляюцца адпаведнымі, а таму яны роўныя. Такім чынам, О — сярэ-дзіна адрэзка АВ.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні
73
47. ПАБУДАВАННЕ ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНАЙ ПРАМОЙ
Задача 5.5. Праз дадзены пункт О правесці прамую, перпендыкулярную дадзенай прамой а.
Рашэнне. Магчымы два выпадкі:
1 ) пункт 0 ляжыць на прамой а;
2 ) пункт О не ляжыць на прамой а.
Разгледзім першы выпадак (рыс. 103).
3 пункта О праводзім адвольным радыусам акружнасць. Яна перасякае прамую а ў двух пунктах: A і В. 3 пунктаў А і В праводзім акружнасці радыусам АВ. Няхай С — пункт іх перасячэння. Шукаемая прамая праходзіць праз пункты О і С.
Перпендыкулярнасць прамых ОС і АВ вынікае з роўнасці вуглоў пры вяршыні О трохвугольнікаў ACO і ВСО. Гэтыя трохвугольнікі роўныя па трэцяму прызнаку роўнасці трохву-гольнікаў.
Разгледзім другі выпадак (рыс. 104).
3 пункта О праводзім акружнасць, якая перасякае прамую а. Няхай A і В — пункты яе перасячэння з прамой а. 3 пунктаў A і В тым жа радыусам праводзім акружнасці. Няхай О\ — пункт іх перасячэння, які ляжыць у паўплоскасці, адрознай ад той, у якой ляжыць пункт О. Шукаемая прамая прахо-дзіць праз пункты Оі О|. Дакажам гэта.
Абазначым праз С пункт перасячэння прамых АВ і ОО\. Трохвугольнікі АОВ і АО{В роўныя па трэцяму прызнаку.
74
7 клас
Таму вугал ОАС роўны вуглу OtAC. А тады трохвугольнікі ОАС і О\АС роўныя па першаму прызнаку. Значыць, іх вуглы АСО і АСО\ роўныя. А паколькі яны сумежныя, то яны прамыя. Такім чынам, ОС — перпендыкуляр, апушчаны з пункта О на прамую а.
48. ГЕАМЕТРЫЧНАЕ МЕСЦА ПУНКТАЎ
Адным з метадаў рашэння задач на пабудаванне з’яўляецца
метад геаметрычных месц.
Геаметрычным месцам пункгаў называецца фігура, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, што валодаюць пэўнай уласцівасцю.
Напрыклад, акружнасць можна вызначыць як геаметрыч-нае месца пунктаў, роўнааддаленых ад дадзенага пункта.
Важнае геаметрычнае месца пунктаў дае наступная тэа-
рэма.
Тэарэма 5.6. Геаметрычнае месца пунктаў, роўнаадда-леных ад двух дадзеных пунктаў, ёсць прамая, якая перпен-дыкулярная да адрэзка, што злучае гэтыя пункты, і прахо-дзіць праз яго сярэдзіну.
Д о к а з. Няхай A і В — дадзеныя пункты, a — прамая, што праходзіць праз сярэдзіну О адрэзка АВ перпендыкулярна да яго (рыс. 105). Мы павінны даказаць, што:
1) кожны пункт прамой а роўнааддалены ад пунктаў A і В;
2) кожны пункт D плоскасці, роў-
нааддалены ад пунктаў АіВ, ляжыць на прамой а.
Тое, што кожны пункт С прамой a знаходзіцца на аднолькавай адлегла-сці ад пунктаў A і В, вынікае з роўнасці трохвугольнікаў АОС і ВОС. У гэтых трохвугольнікаў вуглы пры вяршыні О прамыя, старана ОС агуль-ная, a AO = ОВ, паколькі О — сярэдзі-на адрэзка АВ.
КНІГІ ОНЛАЙН
