Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
1. Якія вуглы называюцца сумежнымі?
2. Дакажыце, што сума сумежных вуглоў роўна 180°.
3. Дакажыце, што калі два вуглы роўныя, то сумежныя з імі вуглы таксама роўныя.
4. Які вугал называецца прамым (вострым, тупым)?
5. Дакажыце, што вугал, сумежны з прамым, ёсць прамы вугал.
6. Якія вуглы называюцца вертыкальнымі?
7. Дакажыце, што вертыкальныя вуглы роўныя.
8. Дакажыце, што калі пры перасячэнні дзвюх прамых адзін з вуглоў прамы, то астатнія тры вуглы таксама прамыя.
9. Якія прамыя называюцца перпендыкулярнымі? Які значок выкарыстоўваецца для абазначэння перпендыкулярнасці прамых?
10. Дакажыце, што праз любы пункт прамой можна правесці перпендыкулярную да яе прамую, і толькі адну.
11. Што такое перпендыкуляр да прамой?
12. Растлумачце, у чым заключаецца доказ ад адваротнага.
13. Што называецца бісектрысай вугла?
ЗАДАЧЫ
1. Знайдзіце вуглы, сумежныя з вугламі: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.
2. Ці могуць два сумежныя вуглы быць абодва: 1) вострымі;
2) тупымі; 3) прамымі? Абгрунтуйце адказ.
3. Знайдзіце сумежныя вуглы, калі адзін з іх у два разы боль-шы за другі.
4. Знайдзіце сумежныя вуглы, калі: 1) адзін з іх на 30° боль-шы за другі; 2) іх рознасць роўна 40°; 3) адзін з іх у 3 разы меншы за другі; 4) яны роўныя.
§ 2. Сумежныя і вертыкальныя вуглы
31
5. Які вугал утвараюць гадзінная і мінутная стрэлкі гадзін-ніка, калі яны паказваюць: 1) 6 г; 2) 3 г; 3) 4 г?
6. Знайдзіце сумежныя вуглы, калі іх градусныя меры адносяцца як: 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23.
7. Адзін з вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, роўны 30°. Чаму роўны астатнія вуглы?
8. Чаму роўны вугал/ калі два сумежныя з ім вуглы скла-даюць у суме 100°?
9. Сума двух вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, роўна 50°. Знайдзіце гэтыя вуглы.
10. Адзін з вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, у 4 разы большы за другі. Знайдзіце гэтыя вуглы.
11. Адзін з вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, на 50° меншы за другі. Знайдзіце гэтыя вуглы.
12. Знайдзіце вуглы, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, калі сума трох з гэтых вуглоў роўна 270°.
13. Дакажыце, што калі роўныя адзін аднаму тры з чатырох вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх пра-мых, то прамыя перпендыкулярныя.
14. Як з дапамогай лінейкі праверыць, ці з’яўляецца прамым вугал у чарцёжным вугольніку (рыс. 42)?
115. Чаму роўны вугал паміж бісектрысай і стараной дадзенага вугла, роўнага: 1) 30°; 2)'52°; 3) 172°?
'■ 16. Знайдзіце вугал, калі яго бісектрыса ўтварае са стараной вугал, роўны: 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°.
17. Дакажыце, што бісектрыса вугла ўтварае з яго старанамі вуглы не большыя за 90°.
18*. Дакажыце, што калі прамень зыходзіць з вяршыні вугла і ўтварае з яго старанамі роўныя вострыя вуглы, то ён з’яўляецца бісектрысай вугла.
19. Знайдзіце вугал паміж бісектрысамі сумежных вуглоў.
20. Дакажыце, што бісектрысы вертыкальных вуглоў ляжаць на адной прамой.
Рыс. 42
РыЛ 43
32
7 клас
21. Знайдзіце вугал паміж бісектрысай і прадаўжэннем адной са старон дадзенага вугла, роўнага: 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°.
22*. 3 вяршыні О суме’жных вуглоў АОВ і СОВ праведзены прамень OD у паўплоскасць, дзе праходзіць агульная стара-на вуглоў ОВ (рыс. 43). Дакажыце, што прамень OD перася-кае або адрэзак АВ, або адрэзак ВС. Які з адрэзкаў пера-сякае прамень OD, калі вугал AOD меншы (большы) за вугал АОВ7 Растлумачце адказ.
*23. 3 вяршыні разгорнутага вугла {aat) у адну паўплоскасць праведзены прамені b і с. Чаму роўны вугал {Ьс), калі: 1) A {ab) = 50°, А {ас) = 70°; 2) A{aib) = 50°, A {ас) = 70°; 3) A(ab) = 60°, Z(aic) = 30°?
24. 3 вяршыні разгорнутага вугла {аа\) праведзены прамені b і с у адну паўплоскасць. Вядома, што A {ab) = 60°, а А{ас) = 30°. Знайдзіце вуглы {a\b), {а\с) і {be}.
25. Ад паўпрамой АВ у розныя паўплоскасці адкладзены вуглы ВАС і BAD. Знайдзіце вугал CAD, калі: 1) ABAC = = 80°, ABAD = 170°; 2) ABAC = 87°, ABAD = 98°;
3) ABAC = 140°, ABAD = 30°; 4) ABAC = 00°, ABAD = = 70°.
26*. Дадзены тры прамені a, b, c з агульным пачатковым пунктам. Вядома, што A {ab) = A {ас) = A {be) = 120°. 1) Ці праходзіць які-небудзь з гэтых праменяў паміж старанамі вугла, які ўтвораны двума другімі праменямі? 2) Ці можа прамая перасякаць усе тры дадзеныя прамені? Растлумачце адказ.
§ 3. ПРЫЗНАКІ РОЎНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
20. ПЕРШЫ ПРЫЗНАК РОЎНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
Тэарэма 3.1 (прызнак роўнасці трохвугольнікаў па дзвюх старанах і вуглу паміж імі). Калі дзве стараны і вугал паміж імі аднаго трохвугольніка роўныя адпаведна дзвюм старанам
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў 33
і вуглу паміж імі другога трохвугольніка, то такія трохву-гольнікі роўныя.
Д ока з. Няхай у трохвугольніках ABC і А|В|С| АА = АА\, АВ = А\В[, AC — А\С\ (рыс. 44). Дакажам, што трохвугольнікі роўныя.
Няхай A \B2C2 — трохвугольнік, роўны трохвугольніку ABC, з вяршыняй В> на прамені А|В| і вяршыняй С? у той жа паў-плоскасці адносна прамой А\В\, дзе ляжыць вяршыня Сі (рыс. 45, а).
Паколькі А\В} = AtB2, то вяршыня В2 супадае з вяршыняй В\ (рыс. 45,6). Паколькі АВ\А\С\ — АВ2А\С2, то прамень А|С2 супадае з праменем А\С\ (рыс. 45, в). Паколькі А\С\ = = АіС2, to вяршыня С2 супадае з вяршыняй С, (рыс. 45, г).
Такім чынам, трохвугольнік AiBtC\ супадае з трохву-гольнікам А\В2С2, значыць, роўны трохвугольніку ABC. Тэарэма даказана.
2 Геаметрыя, 7 —11 кл.
Рыс. 45
34
7 клас
Задача (1). Адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О, які з’яўляецца сярэдзінай кожнага з іх. Чаму роўны адрэзак BD, калі адрэзак AC = 10 м?
Р а ш э н н е. Трохвугольнікі АОС і BOD роўныя па першаму прызнаку роўнасці трохвугольні-каў (рыс. 46). У іх вуглы АОС і BOD роўныя як вертыкальныя, a ОА = OB і ОС — OD таму, што пункт О з’яўляецца сярэдзінай ад-рэзкаў AB і CD. 3 роўнасці трохву-гольнікаў АОС і BOD вынікае роў-насць іх старон AC і BD. А паколь-кі па ўмове задачы AC = 10 м, то і BD = 10 м.
21. ВЫКАРЫСТАННЕ АКСІЕМ ПРЫ ДОКАЗЕ ТЭАРЭМ
Як мы ведаем, пры доказе тэарэм дазваляецца карыстацца аксіёмамі і даказанымі раней тэарэмамі. Звычайна ў доказе спасылаюцца не на нумар аксіёмы па спісу, а на яе змест. Менавіта такім чынам мы рабілі ў доказе першага пры-знака роўнасці трохвугольнікаў (тэарэма 3.1). Разбяром яшчэ раз гэты доказ, указваючы аксіёмы, якія ў ім выкарыстоў-ваюцца.
Доказ пачынаецца словамі: «Няхай А\В2С2— трохвуголь-нік, роўны трохвугольніку ABC, з вяршыняй В2 на прамені А\В\ і вяршыняй С2 у той жа паўплоскасці адносна прамой А\В], дзе ляжыць вяршыня С|». Такі трохвугольнік, як мы ве-даем, існуе па аксіёме VIII.
Далей сцвярджаецца супадзенне вяршынь Ві і В2 на той падставе, што А\В\= А\В2. Тут выкарыстоўваецца аксіёма адкладвання адрэзкаў (аксіёма VI).
Затым сцвярджаецца супадзенне праменяў А\С2 і АХС\ на той падставе, што АВ\А\С\ = АВ2А\С2. Тут выкарыстоўваецца аксіёма адкладвання вуглоў (аксіёма VII).
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў
35
Нарэшце, сцвярджаецца супадзенне вяршынь С, і С2, паколь-кі А|С| = А2С2. Тут зноў выкарыстоўваецца аксіёма VI.
Мы бачым, што дадзены доказ тэарэмы 3.1 абапіраецца толькі на аксіёмы.
22. ДРУГІ ПРЫЗНАК РОЎНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
Т э а р э м a 3.2 (прызнак роўнасці трохвугольнікаў па ста-ране і прылеглых да яе вуглах). Калі старана і прылеглыя да яе вуглы аднаго трохвугольніка роўны адпаведна старане і прылеглым да яе вуглам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Доказ. Няхай ABC і А\В\С\ — два трохвугольнікі, у якіх AB = А\В\, АА = AA] і АВ— АВ\ (рыс. 47). Дакажам, што трохвугольнікі роўныя.
Няхай A\В2С2 — трохвугольнік, роўны трохвугольніку ABC, з вяршыняй В2 на прамені А\В\ і з вяршыняй С2 у той жа паўплоскасці адносна прамой А\Ві, дзе ляжыць вяршы-ня С|.
Паколькі А\В2 = А\В\, то вяршыня В2 супадае з вяршыняй В\. Паколькі АВ}А\С2= АВ\А\С\ і АА\В\С2= АА\В\С\, то прамень А|С2 супадае з праменем А|С|,а прамень ВіС2 супадае з праменем В\С\. Адсюль вынікае, што вяршыня С2 супадае з вяршыняй С|.
Такім чынам, трохвугольнік А\В\С] супадае з трохвугольні-кам А[В2С2, а значыць, роўны трохвугольніку ABC. Тэарэма даказана.
Рыс. 47
36
7 клас
23. РАЎНАБЕДРАНЫ ТРОХВУГОЛЬНIK
Трохвугольнік называецца раўнабедраным, калі ў яго дзве стараны роўныя. Гэтыя роўныя стораны называюцца бака-вымі старанамі, а трэцяя старана называецца асновай трох-вугольніка.
На рысунку 48 паказаны раўнабедраны трохвугольнік ABC. У яго бакавыя стораны AC і ВС, а аснова АВ.
Тэарэма 3.3. (уласцівасць вуглоў раўнабедранага трох-вугольніка). У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры асно-ве роўныя.
Доказ. Няхай ABC — раўнабедраны трохвугольнік з асно-вай АВ (рыс. 48). Дакажам, што ў яго АА — АВ.
Трохвугольнік САВ роўны трохвугольніку СВА па першаму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў. Сапраўды, СА = СВ, СВ = СА, АС=АС. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што АА = АВ. Тэарэма даказана.
Трохвугольнік, у якога ўсе стораны роўныя, называецца роўнастароннім.
Задача (12). Дакажыце, што ў роўнастаронняга трохвугольніка ўсе вуглы роўныя.
Р а ш э н н е. Няхай ABC — дадзены трохвугольнік з роўнымі старанамі: АВ—ВС = СА (рыс. 49). Паколькі AB = ВС, то гэты трохвугольнік раўнабедраны з асновай AC. Па тэарэме 3.3 АС=АА. Паколькі ВС = СА, то трохвугольнік ABC раўнабедраны з асновай АВ. Па тэарэме 3.3 АА = АВ.
Такім чынам, AC = АА = АВ, г. зн. усе вуглы трох-вугольніка роўныя.
Рыс. 48
Рыс. 49
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў
37
24. АДВАРОТНАЯ ТЭАРЭМА
Тэарэма 3.4 (прызнак раўна-бедранага трохвугольніка). Калі ў трохвугольніку два вуглы роўныя, то ён раўнабедраны.
Д о к а з. Няхай ABC — трохву-гольнік, у якога A A = АВ (рыс. 50). Дакажам, што ён раўнабедраны з асновай АВ.
Трохвугольнік ABC роўны трохву-гольніку ВАС па другому прызнаку роўнасці трохвугольнікаў. Сапраўды,
АВ = ВА, АВ=АА, АА = АВ.
3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што АС = ВС.
Значыць, па азначэнню трохвугольніК' ABC — раўнабедра-
ны. Тэарэма даказана.
Тэарэма 3.4 называецца адваротнай тэарэме 3.3. Заключэнне тэарэмы 3.3 з’яўляецца ўмовай тэарэмы 3.4. А ўмова тэарэмы 3.3 з’яўляецца заключэннем тэарэмы 3.4. He ўсякая тэарэма мае адваротную, г. зн. калі дадзеная тэарэма гіравільная, то адва-ротная тэарэма можа быць няправільнай. Растлумачым гэта на прыкладзе тэарэмы аб вертыкальных вуглах. Гэту тэарэму можна сфармуляваць так: калі два вуглы вертыкальныя, то яны роўныя. Адваротная ёй тэарэма была б такой: калі два вуглы роўныя, то яны вертыкальныя. Але два роўныя вуглы зусім не абавязаны быць вертыкальнымі.
КНІГІ ОНЛАЙН
