Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
41. Ці можа прамая, якая перасякае адну з дзвюх паралельных прамых, не перасякаць другую? Растлумачце адказ.
42. Дадзены дзве прамыя, якія перасякаюцца. Ці можна пра-весці трэцюю прамую, паралельную кожнай з дзвюх да-дзеных?
43. Ці можа прамая, якая не праходзіць ні праз адну з вяр-шынь трохвугольніка, перасякаць кожную яго старану? Чаму?
44*'. Дадзены чатыры пункты: А,В,Сі D. Вядома, што пункты A, В, С ляжаць на адной прамой і пункты В, С, D таксама ляжаць на адной прамой. Дакажыце, што ўсе чатыры пункты ляжаць на адной прамой.
45*. Дадзены чатыры прамыя: a, b, с і d. Вядома, што прамыя
а, Ь, с перасякаюцца ў адным пункце і прамыя b, с, d так-сама перасякаюцца ў адным пункце. Дакажыце, што ўсе чатыры дадзеныя прамыя праходзяць праз адзін пункт.
46*. Пункты A, В, С, D не ляжаць на адной прамой. Вядома, што прамая АВ перасякае адрэзак CD, а прамая CD перася-кае адрэзак АВ. Дакажыце, што адрэзкі AB і CD пера-сякаюцца.
47*. Дадзены трохвугольнік ABC. На старане AC узяты пункт Bt, а на старане ВС — пункт А|. Дакажыце, што адрэзкі АА\ і ВВі перасякаюцца (рыс. 28).
48*. Адрэзкі AB і CD, якія не ляжаць на адной прамой, перасякаюцца ў пункце Е. Дакажыце, што адрэзак AC не перасякае прамую BD (рыс. 29).
49*. Дакажыце, што калі прамень, які зыходзіць з вяршыні вугла, перасякае адрэзак АВ з канцамі на старанах вугла, то ён перасякае: 1) адрэзак AC з канцамі на старанах
Зорачкай (*) адзначаны задачы павышанай цяжкасці.
24
7 клас
вугла; 2) любы адрэзак CD з канцамі на старанах вугла (рыс. 30).
50 . Дакажыце, што дзве прамыя або паралельныя, або перася-каюцца ў адным пункце.
51*. Пункты АіС належаць прамой а. На паўпрамой СА адкла-дзены адрэзак СВ, большы за адрэзак СА. 1) Які з трох пунктаў A, В, С ляжыць паміж двума другімі? Растлу-мачце адказ. 2) Дакажыце, што пункт А разбівае прамую a на дзве паўпрамыя: AB і AC.
§ 2. ОМЕЖНЫЯ I ВЕРТЫКАЛЬНЫЯ ВУГЛЫ
14. СУМЕЖНЫЙ ВУГЛЫ
Азначэнне. Два вуглы называюцца сумежнымі, калі ў іх адна старана агульная, а другія стораны гэтых вуглоў з’яў-ляюцца дадатковымі паўпрамымі.
На рысунку 31 вуглы (atb) і {а2Ь) сумежныя. У іх старана b агульная, а стораны а, і а2 з’яўляюцца дадатковымі паўпра-мымі.
Няхай С — пункт на прамой АВ, які ляжыць паміж пункта-мі А іВ, a D — пункт, які не ляжыць на прамой АВ (рыс. 32). Тады вуглы BCD і ACD сумежныя. У іх старана CD агульная. Стораны СА і СВ з’яўляюцца дадатковымі паўпрамымі прамой АВ, паколькі пункты A і В гэтых паўпрамых падзяляюцца пачатковым пунктам С.
Тэарэма 2.1. Сума сумежных вуглоў роўна 180°.
Доказ. Няхай A(aib) і A (а2Ь) — дадзеныя сумежныя вуглы (гл. рыс. 31). Прамень b праходзіць паміж старанамі аі ій2 разгорнутага вугла. Таму сума вуглоў (а\Ь) і (а2Ь) роўна разгорнутаму вуглу, г. зн. 180°. Тэарэма даказана.
§ 2. Сумежныя і вертыкальныя вуглы
25
3 тэарэмы 2.1 вынікае, што калі два вуглы роўныя, то сумех. ныя з імі вуглы роўныя.
3 тэарэмы 2.1 вынікае таксама, што калі вугал не разгорну-ты, то яго градусная мера меншая за 180°.
3 а д а ч a (3). Знайдзіце сумежныя вуглы, калі адзін з іх у два разы большы за другі.
Р а ш э н н е. Абазначым градусную меру меншага з
вуглоў праз х. Тады градусная мера большага вугла бу-дзе 2х. Сума вуглоў роўна 180°. Такім чынам,
х 4* 2х = 180, Зх = 180.
Адсюль х — 60. Значыць, нашы сумежныя вуглы роўны 60° і 120°.
Вугал, роўны 90°, называецца прамым вуглом.
3 тэарэмы аб суме сумежных вуглоў вынікае, што вугал, сумежны з прамым вуглом, ёсць прамы вугал.
Вугал, меншы за 90°, называецца вострым вуглом. Вугал, большы за 90° і меншы за 180°, называецца тупым.
Прамы бугал
Паколькі сума сумежных вуглоў роўна 180°, то вугал, су-межны з вострым, тупы, а вугал, сумежны з тупым, востры. На рысунку 33 паказаны тры віды вуглоў.
15. ВЕРТЫКДЛЬНЫЯ ВУГЛЫ
Азначэнне. Два вуглы называюцца вертыкальнымі, калі стораны аднаго вугла з’яўляюцца дадаткрвымі паўпрамымі старон другога.
26
7 клас
На рысунку 34 вуглы (oibi) і (а2Ь2) вертыкальныя. Стораны а2 і Ь2 другога вугла з’яўляюцца дадатковымі паўпрамымі старон Оі і &і першага вугла.
Тэарэма 2.2. Вертыкальныя вуглы роўныя.
Доказ. Няхай (оі&і) і (а2Ь2)— дадзеныя вертыкальныя вуглы (гл. рыс. 34). Вугал (аі&2) з’яўляецца сумежным з вуглом (а^і) і з вуглом (а2Ь2). Адсюль па тэарэме аб суме сумежных вуглоў заключаем, што кожны з вуглоў (аі&і) і (а2Ь2) дапаўняе вугал (оі&2) да 180°, г. зн. вуглы (aib|) і (а2Ь2) роўныя. Тэарэма даказана.
3 а д а ч a (9). Сума двух вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх прамых, роўна 50°. Знайдзіце гэ-тыя вуглы.
Р а ш э н н е. Два вуглы, якія атрымліваюцца пры пера-сячэнні дзвюх прамых, або сумежныя, або вертыкальныя (рыс. 35). Дадзеныя вуглы не могуць быць сумежнымі, паколькі іх сума роўна 50°, а сума сумежных вуглоў роўна 180°. Значыць, яны вертыкальныя. Паколькі вертыкаль-ныя вуглы роўныя і па ўмове іх сума 50°, то кожны з вуглоў роўны 25°.
16. ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНЫЯ
ПРАМЫЯ
Няхай a і b прамыя, што перася-каюцца ў пункце А (рыс. 36). Кож-ная з гэтых прамых пунктам A дзеліцца на дзве паўпрамыя. Паў-прамыя адной прамой утвараюць з паўпрамымі другой прамой чатыры вуглы. Няхай a — адзін з гэтых
Рыс. 36
§ 2. Сумежныя і вертыкальныя вуглы
27
вуглоў. Тады любы з астатніх трох вуглоў будзе або сумежным з вуглом а, або вертыкальным з вуглом а. Адсюль вынікае, што калі адзін з вуглоў прамы, то астатнія вуглы таксама прамыя. У гэтым выпадку мы гаворым, што прамыя пера-сякаюцца пад прамым вуглом.
Азначэнне. Дзве прамыя называюцца перпендыкуляр-нымі, калі яны ііерасякаюцца пад прамым вуглом (рыс. 37).
Перпендыкулярнасць прамых абазначаецца значком ±. Same a _Lb чытаецца: ♦Прамая а перпендыкулярная прамой Ь*.
Тэарэма 2.3. Праз кожны пункт прамой можна правесці перпендыкулярную ёй прамую, і толькі адну.
Д о к а з. Няхай a — дадзеная прамая і A — дадзены пункт на ёй. Абазначым праз at адну з паўпрамых прамой а з пачат-ковым пунктам А (рыс. 38). Адкладзём ад паўпрамой а\ вугал (аі&і), роўны 90°. Тады прамая, якая змяшчае прамень Ь\, будзе перпендыкулярная прамой а.
Дапусцім, што існуе другая прамая, якая таксама прахо-дзіць праз пункт А і перпендыкулярная прамой а. Абазначым праз С| паўпрамую гэтай прамой, якая ляжыць у адной паў-плоскасці з праменем bt.
Вуглы (a^bt) і (аіСі), роўныя кожны 90°, адкладзены ў адну паўплоскасць ад паўпрамой О|. Але ад паўпрамой Я| ў дадзеную паўплоскасць можна адкласці толькі адзін вугал, роўны 90°. Таму не можа быць другой прамой, якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная прамой а. Тэарэма даказана.
Азначэнне. Перпендыкулярам да дадзенай прамой назы-ваецца адрэзак прамой, перпендыкулярнай дадзенай, які мае адным са сваіх канцоў іх пункт перасячэння. Гэты канец адрэз-ка называецца асновай перпендыкуляра.
Рыс. 37
Рыс. 38
28
7 клас
На рысунку 39 перпендыкуляр АВ праведзены з пункта A да прамой а. Пункт В — аснова перпендыкуляра. Для пабуда-вання перпендыкуляра карыстаюцца чарцёжным вугольнікам (рыс. 40).
17. ДОКАЗ АД АДВАРОТНАГА
Спосаб доказу, які мы прымянілі ў тэарэме 2.3, называец-ца доказам ад адваротнага. Гэты спосаб доказу заключаецца ў тым, што мы спачатку робім дапушчэнне, адваротнае таму, што сцвярджаецца тэарэмай. Затым шляхам разважанняў, абапіраючыся на аксіёмы і даказаныя тэарэмы, прыходзім да вываду, які супярэчыць або ўмове тэарэмы, або адной з аксіём, або даказанай раней тэарэме. На гэтай аснове заключаем, што наша дапушчэнне было няправільным, а значыць, правільнае сцверджанне тэарэмы.
Расглумачым гэта на прыкладзе доказу тэарэмы 2.3. Тэарэ-май сцвярджаецца, што праз кожны пункт прамой можна правесці толькі адну перпендыкулярную ёй прамую. Дапус-ціўшы, што такіх прамых можна правесці дзве, мы прыйшлі да вываду, што ад дадзенай паўпрамой у дадзеную паўплос-касць можна адкласці два вуглы з адной і той жа градус-най мерай (90°). А гэта супярэчыць аксіёме адкладвання вуглоў.
Згодна з гэтай аксіёмай ад дадзенай паўпрамой у дадзеную паўплоскасць можна адкласці толькі адзін вугал з дадзенай градуснай мерай.
§ 2. Сумежныя і верты.кальныя вуглы
2!)
18. БІСЕКТРЫСА ВУГЛА
Азначэнне1. Бісектрысай вуг-ла называецца прамень, які выхо-дзіць з яго вяршыні, праходзіць паміж яго старанамі і дзеліць вугал папалам.
На рысунку 41 вы бачыце вугал (ab). Прамень с выходзіць з вяршы-ні вугла, праходзіць паміж яго ста-ранамі і дзеліць вугал папалам:
А(ас)= А(Ьс) = ^1.
Задача (17). Дакажыце, што бісектрыса вугла ўтва-рае з яго старанамі вуглы не большыя за 90°.
Р а ш э н н е. Як мы ведаем, градусная мера любога вугла не большая за 180°. Таму палавіна яе не большая за 90°.
19. ШТО ТРЭБА РАБІЦЬ, КАБ ДОБРА ПАСПЯВАЦЬ ПА ГЕАМЕТРЫІ
Пры вывучэнні геаметрыі няведанне чаго-небудзь з пройдзе-нага матэрыялу можа быць прычынай неразумення новага матэрыялу. Прывядзём прыклад.
Дапусцім, на ўроку настаўнік даказвае тэарэму аб роўнасці вертыкальных вуглоў. Як вы ведаеце, у гэтым доказе выка-рыстоўваецца азначэнне сумежных вуглоў і тэарэма аб суме су-межных вуглоў. Калі вы не ведаеце, якія вуглы называюцца сумежнымі, не ведаеце тэарэмы аб суме сумежных вуглоў, то вы гэты доказ не зразумееце. У выніку гэты ўрок будзе для вас пустой стратай часу. I да вашага няведання сумежных вуглоў дабавіцца няведанне тэарэмы аб роўнасці вертыкальных вуглоў.
Таму, каб добра паспяваць па геаметрыі, трэба ведаць асноўныя вынікі вывучанага матэрыялу. А для гэтага трэба паўтараць пройдзены матэрыял па кантрольных пытаннях.
Паўтараць пройдзены матэрыял па кантрольных пытаннях можна так. Прачытайце пытанне. Усведаміце яго сабе. Калі
1 У далейшым слова «азначэнне» пісаць не будзем, а вызначаемае
паняцце будзем вылучаць курсівам.
30
7 клас
патрабуецца даць азначэнне якой-небудзь фігуры, мысленна дайце такое азначэнне. Карысна зрабіць ад рукі чарцёж вызна-чаемай фігуры. Калі ў пытанні гутарка ідзе аб тэарэме, сфармулюйце яе, усведаміце сабе, у чым умова і заключэнне гэтай тэарэмы. Зрабіце ад рукі чарцёж, які ілюструе змест тэарэмы. Доказ тэарэмы пры кожным паўтарэнні даваць не-абавязкова.
Паўтарайце пройдзены матэрыял кожны раз, калі пры вы-вучэнні новага матэрыялу вы выяўляеце няведанне чаго-не-будзь.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
КНІГІ ОНЛАЙН
