Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
3. Дакажыце, што калі ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы адной пары роўныя, то ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы другой пары таксама роўныя, а сума ўнутраных адна-старонніх вуглоў кожнай пары роўна 180°.
§ 4. Сума вуглоў грохвугольніка
61
4. Дакажыце прызнак паралельнасці прамых.
5. Растлумачце, якія вуглы называюцца адпаведнымі. Дака-жыце, што калі ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роў-ныя, то адпаведныя вуглы таксама роўныя, і наадварот.
6. Дакажыце, што праз пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці паралельную ёй прамую. Колькі прамых, паралельных дадзенай, можна правесці праз пункт, які не ляжыць на гэтай прамой?
7. Дакажыце, што калі дзве паралельныя прамыя перася-каюцца трэцяй прамой, то ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя, а сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў роўна 180°.
8. Дакажыце, што дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя. Калі прамая перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных прамых, то яна перпендыкулярная і другой.
9. Дакажыце, што сума вуглоў трохвугольніка роўна 180°.
10. Дакажыце, што ў любога трохвугольніка прынамсі два вуглы вострыя.
11. Што такое знешні вугал трохвугольніка?
12. Дакажыце, што знешні вугал трохвугольніка роўны суме двух унутраных вуглоў, не сумежных з ім.
13. Дакажыце, што знешні вугал трохвугольніка большы за любы ўнутраны вугал, не сумежны з ім.
14. Які трохвугольнік называецца прамавугольным?
15. Чаму роўна сума вострых вуглоў прамавугольнага трох-вугольніка?
16. Якая старана прамавугольнага трохвугольніка называецца гіпатэнузай? Якія стораны называюцца катэтамі?
17. Сфармулюйце прызнак роўнасці прамавугольных трохву-гольнікаў па гіпатэнузе і катэту.
18. Дакажыце, што з любога пункта, які не ляжыць на дадзе-най прамой, можна апусціць на гэту прамую перпенды-куляр, і толькі адзін.
19. Што называецца адлегласцю ад пункта да прамой?
20. Растлумачце, што такое адлегласць паміж паралельнымі прамымі.
^ ЗАДАЧЫ
1. Дакажыце, што калі некаторая прамая перасякае адну з дзвюх паралельных прамых, то яна перасякае і другую.
2. Дакажыце, што калі дзве прамыя перасякаюцца, то лю-бая трэцяя прамая перасякае прынамсі адну з гэтых прамых.
3. Дадзена: a || & ||с || d. Дакажыце, што a || d.
62
7 клас
4. Прамыя AB і CD паралельныя. Дакажыце, што калі адрэзак ВС перасякае прамую AD, то пункт перасячэння належыць адрэзку AD (гл. рыс. 70).
5. Дадзены трохвугольнік ABC. На старане АВ адзначаны пункт В\, а на старане AC — пункт Ct (рыс. 87). Назавіце ўнутраныя аднастароннія і ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы пры прамых AB, AC і сякучай В\С\.
6. Назавіце ўнутраныя накрыж ляжачыя і ўнутраныя адна-староннія вуглы на рысунку 72.
7. Адрэзкі AD і ВС перасякаюцца. Для прамых AC і BD і сякучай ВС назавіце пару ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў. Для тых жа прамых і сякучай АВ назавіце пару ўнутраных аднастаронніх вуглоў. Растлумачце адказ.
8. Дадзены прамая АВ і пункт С, які не ляжыць на гэтай пра-мой. Дакажыце, што праз пункт С можна правесці прамую, паралельную прамой АВ.
9. Дакажыце, што бісектрысы ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў, утвораных паралельнымі і сякучай, паралельныя, г. зн. ляжаць на паралельных прамых.
10. Адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце Е і дзеляцца гэтым пунктам папалам. Дакажыце, што прамыя AC і BD паралельныя.
11. Трохвугольнікі ABC і BAD роўныя. Пункты С і D ляжаць па розныя бакі ад прамой АВ. Дакажыце, што прамыя AC і BD паралельныя.
12. Вугал ABC роўны 80°, а вугал BCD роўны 120°. Ці мо-гуць прамыя AB і CD быць паралельнымі? Абгрунтуйце адказ.
13. Прамыя AC і BD паралельныя, прычым пункты A і D ля-жаць па розныя бакі ад сякучай ВС (рыс. 77). Дакажыце, што: 1) вуглы DBC і АСВ унутраныя накрыж ляжачыя адносна сякучай ВС; 2) прамень ВС праходзіць паміж старанамі вугла ABD; 3) вуглы CAB і DBA ўнутраныя аднастароннія адносна сякучай АВ.
14. 1) Рознасць двух унутраных аднастаронніх вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай роўна 30°. Знайдзіце гэтыя вуглы.
2) Сума двух унутраных накрыж ляжачых вуглоў пры дзвюх паралельных прамых і сякучай роўна 150°. Чаму роўны гэтыя вуглы?
15. Адзін з вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх паралельных прамых сякучай, роўны 72°. Знайдзі-це астатнія сем вуглоў.
16. Адзін з вуглоў, якія атрымліваюцца пры перасячэнні дзвюх паралельных прамых сякучай, роўны 30°. Ці можа адзін з астатніх сямі вуглоў быць роўным 70° ? Растлу-
мачце адказ.
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка
63
17. Дакажыце, што дзве прамыя, паралельныя перпендыкуляр-ным прамым, самі перйендыкулярныя.
18. Знайдзіце невядомы вугал трохвугольніка, калі ў яго два вуглы роўны: 1) 50° і 30°; 2) 40° і 75°; 3) 65° і 80°; 4) 25° і 120°.
19. Знайдзіце вуглы трохвугольніка, калі яны прапарцыя-нальныя лікам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7.
20. Ці можа ў трохвугольніку быць: 1) два тупыя вуглы; 2) тупы і прамы вуглы; 3) два прамыя вуглы?
21. Ці можа быць тупым вугал пры аснове раўнабедранага трохвугольніка?
22. Знайдзіце вугал паміж бакавымі старанамі раўнабедранага трохвугольніка, калі вугал пры аснове ў яго роўны: 1) 40°; 2) 55°; 3) 72°.
23. Знайдзіце вугал пры аснове раўнабедранага трохвуголь-ніка, калі вугал паміж бакавымі старанамі роўны: 1) 80°; 2) 120°; 3) 30°.
24. Адзін з вуглоў раўнабедранага трохвугольніка роўны 100°. Знайдзіце астатнія вуглы.
25. Адзін з вуглоў раўнабедранага трохвугольніка роўны 70°. Знайдзіце астатнія вуглы. Колькі рашэнняў мае задача?
26. Дакажыце, што калі адзін з вуглоў раўнабедранага трох-вугольніка роўны 60°, то гэты трохвугольнік — роўнаста-ронні.
37. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC праве-дзена бісектрыса CD. Знайдзіце вуглы трохвугольніка ABC, калі вугал ADC роўны: 1) 60°; 2) 75°; 3) а.
28. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC і вуг-лом пры вяршыні В, роўным 36°, праведзена бісектры-са AD. Дакажыце, што трохвугольнікі CDA і ADB раўна-бедраныя (рыс. 88).
Рыс. 87
Рыс. 88
61
7 кіас
^9. У трохвугольніку A BC праведзены бісектрысы з вяршынь A і В. Пункт іх перасячэння абазначаны D. Знайдзіце вугал ADB, калі: 1) ZA = 50°, ZB = 100°; 2) АА=а, ZB = p; 3) ZC=130°; 4) АС = у.
30. Чаму роўныя вуглы роўнастаронняга трохвугольніка?
31. ІІад якім вуглом перасякаюцца бісектрысы двух унутраных аднастаронніх вуглоў пры паралельных прамых?
32. Адзін са знешніх вуглоў раўнабедранага трохвугольніка роўны 70. Знайдзіце вуглы трохвугольніка.
>. Знайдзіце вуглы трохвугольніка, ведаючы, што знешнія вуглы пры дзвюх яго вяршынях роўны 120° і 150°.
Два знешнія вуглы трохвугольніка роўны 100° і 150°. Знай-дзіце трэці знешні вугал.
35. У трохвугольніку ABC нраведзена вышыня CD. Які з трох пунктаў A, В, D ляжыць паміж двума другімі, калг вуглы A і В трохвугольніка вострыя?
36. У трохвугольніку ABC праведзена вышыня CD. Які з трох пунктаў A, В, D ляжыць паміж двума іншымі, калі вугал А тупы? Абгрунтуйце адказ.
37. Дакажыце, што бісектрыса знешняга вугла пры вяршыні раўнабедранага трохвугольніка паралеліная аснове.
Сума знешніх вуглоў трохвугольніка ABC пры вяршы-нях A і В, узятых па аднаму для кожнай вяршыні, роўна 240°. Чаму роўны вугал С трохвугольніка?
39. Дадзены трохвугольнік ABC. На прадаўжэнні стараны AC адкладзены адрэзкі AD — AB і СЕ = СВ (рыс. 89). Як знай-сці вуглы трохвугольніка DBE, ведаючы вуглы трохву-гольніка ABC/!
40 У трохвугольніка адзін з унутраных вуглоў роўны 30°, a адзін са знешніх 40°. Знайдзіце астатнія ўнутраныя вуглы трохвугольніка.
41. 3 вяршыні прамога вугла трохвугольніка ABC нраведзена вышыня BD. Знайдзіце вугал CBD, ведаючы, што: 1) A A = = 20°; 2) АА=65°; 3) Z A = tz.
§ 5. Геаметрычныя пабудаванні 65
42. 3 вяршыні тупога вугла В трохвугольніка ABC праведзе-на вышыня BD. Знайдзіце вуглы трохвугольнікаў ABD і CBD, ведаючы, што АА=а, АВ = $.
43. Дакажыце, што ў прамавугольным трохвугольніку з вуг-лом 30° катэт, процілеглы гэтаму вуглу, роўны палавіне гіпатэнузы.
44. Знайдзіце вуглы прамавугольнага раўнабедранага трох-вугольніка.
45. У роўнастароннім трохвугольніку ABC праведзена медыя-на AD. Знайдзіце вуглы трохвугольніка ABD.
46. Вышыні трохвугольніка ABC, праведзеныя з вяршынь А ІС, перасякаюцца ў пункце М. Знайдзіце ААМС, калі АА — = 70°, ZC = 80°.
47 *. У трохвугольніку ABC медыяна BD роўна палавіне ста-раны AC. Знайдзіце вугал В трохвугольніка.
48. Прамая а перасякае адрэзак ВС у яго сярэдзіне. Дакажы-це, што пункты В і С знаходзяцца на аднолькавай адлег-ласці ад прамой а.
49. Адрэзак ВС перасякае прамую а ў пункце О. Адлегласці ад пунктаў В і С да прамой а роўныя. Дакажыце, што пункт О з’яўляецца сярэдзінай адрэзка ВС.
50. Дакажыце, што адлегласці ад любых двух пунктаў прамой да паралельнай прамой роўныя.
51. Дакажыце, што адлегласці ад вяршынь роўнастаронняга трохвугольніка да прамых, якія змяшчаюць процілеглыя ім стораны, роўныя.
§ 5. ГЕАМЕТРЫЧНЫЯ ПАБУДАВАННІ
38. АКРУЖНАСЦЬ
Акружнасцю называецца фігура, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад дадзе-нага пункта. Гэты пункт называецца цэнтрам акружнасці.
Адлегласць ад пунктаў акружна-сці да яе цэнтра называецца радыусам акружнасці. Радыусам называецца таксама любы адрэзак, які злучае пункт акружнасці з яе цэнтрам (рыс. 90).
3 Геаметрыя, 7—11 кл.
66
7 клас
Адрэзак, які злучае два пункты акружнасці, называецца хордай. Хорда, якая праходзіць праз цэнтр, называецца дыя-метрам. На рысунку 91 ВС — хорда, AD — дыяметр.
Л
Рыс. 91
Рыс. 92
Задача (3). Дакажыце, што дыяметр акружнасці, якая праходзіць праз сярэдзіну хорды, перпендыкулярны ёй.
Р а ш э н н е. Няхай АВ — хорда акружнасці і С — яе сярэдзіна (рыс. 92). Трохвугольнік АОВ раўнабедраны з асновай АВ. У яго стораны ОА і ОВ роўныя як радыусы акружнасці. Па ўласцівасці медыяны раўнабедранага трохвугольніка, праведзенай да асновы, адрэзак ОС з’яў-ляецца вышынёй. Таму дыяметр акружнасці, праведзены праз сярэдзіну хорды, перпендыкулярны хордзе.
39. АКРУЖНАСЦЬ, АПІСАНАЯ КАЛЯ ТРОХВУГОЛЬНІКА
Акружнасць называецца апісанай каля трохвугольніка, калі яна праходзіць праз усе яго вяршыні.
Тэарэма 5.1. Цэнтр акружнасці, апісанай каля трохву-гольніка, з’яўляецца пунктам перасячэння перпендыкуляраў да старон трохвугольніка, праведзеных праз сярэдзіны гэтых старон.
КНІГІ ОНЛАЙН
