Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Задача (16). Сфармулюйце і дакажыце тэарэму, адваротную сцверджанню задачы 12.
Рашэнне. У задачы 12 умова заключаецца ў тым, што трохвугольнік роўнастаронні, а заключэнне — у тым, што ўсе вуглы трохвугольніка роўныя. Таму адваротная тэарэма павінна фармулявацца так. Калі ў трохвугольніка ўсе вуглы роўныя, то ён роўнастаронні.
Дакажам гэту тэарэму. Няхай ABC — трохвугольнік з роўнымі вугламі: АА = АВ = AC. Паколькі АА= АВ, то па тэарэме 3.4 АС = СВ. Паколькі АВ=АС, то па тэарэме 3.4 АС — АВ. Такім чынам, АВ = АС = СВ, г. зн. усе стораны трохвугольніка роўньія. Значыць, па азна-чэнню трохвугольнік ABC — роўнастаронні.
38
7 клас
25. ВЫШЫНЯ, МЕДЫЯНА I БІСЕКТРЫСА ТРОХВУГОЛЬНІКА
Вышынёй трохвугольніка, апушчанай з дадзенай вяршыні, называецца перпендыкуляр, праведзены з гэтай вяршыні да прамой, што змяшчае процілеглую старану трохвугольніка. На рысунку 51 вы бачыце два трохвугольнікі, у якіх праведзены вышыні з вяршынь В і В|. На рысунку 51, а аснова вышыні ляжыць на старане трохвугольніка, на рысунку 51, б — на прадаўжэнні стараны трохвугольніка.
Бісекгры.сай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршы-ні, называецца адрэзак бісектрысы вугла трохвугольніка, які злучае гэту вяршыню з пунктам на процілеглай старане (рыс. 52, а).
Медыянай трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, называецца адрэзак, які злучае гэту вяршыню з сярэдзінай процілеглай стараны трохвугольніка (рыс. 52, б).
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў 39
26. УЛАСЦІВАСЦЬ МЕДЫЯНЫ РАЎНАБЕДРАНАГА ТРОХВУГОЛЬНІКА
Тэарэма 3.5 (уласцівасць медыяны раўнабедранага трох-вугольніка). У раўнабедраным трохвугольніку медыяна, пра-ведзеная да.асновы, з'яўляецца бісектрысай і вышынёй.
Д о к а з. Няхай ABC — дадзены раўнабедраны трохвуголь-нік з асновай AB і CD — медыяна, праведзеная да асновы
(рыс. 53).
Трохвугольнікі CAD і CBD роўныя па першаму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў. (У іх стораны AC і ВС роўныя, таму што трохвугольнік ABC раўнабедраны. Вуглы CAD і CBD роўныя як вуглы пры аснове раўнабедранага трохвуголь-ніка. Стораны AD і BD роўныя, таму што D — сярэдзіна адрэзка АВ.) 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роўнасць вуглоў: AACD=ABCD, AADC= ABDC. Паколькі вуглы ACD і BCD роўныя, to CD — бісектрыса. Паколькі вуглы ADC і BDC сумежныя і роўныя, то яны прамыя, таму CD — вышыня трохвугольніка. Тэарэма даказана.
ФЗ а д а ч a (28). Дакажыце, што бісектрыса раўнабедра-нага трохвугольніка, праведзеная з вяршыні, процілеглай аснове, з’яўляецца медыянай і вышынёй.
Р а ш э н н е. Няхай ABC — раўнабедраны трохвуголь-нік з асновай AB і CD — яго бісектрыса (рыс. 54). Трохву-гольнікі ACD і BCD роўныя па першаму прызнаку. У іх старана CD агульная; стораны AC і ВС роўныя як бакавыя стораны раўнабедранага трохвугольніка, а вуглы пры вяр-шыні С роўныя таму, што CD — бісектрыса. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роўнасць іх старон AD і BD. Значыць, CD — медыяна трохвугольніка ABC. А па ўла-сцівасці медыяны раўнабедранага трохвугольніка яна з’яўляецца і вышынёй.
40
7 клас
27. ТРЭЦІ ПРЫЗНАК РОЎНАСЦІ
ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
Тэарэма 3.6 (прызнак роўнасці трохвугольнікаў па трох старанах). Калі тры стараны аднаго трохвугольніка роўныя адпаведна тром старанам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.
Доказ. Няхай ABC і А\В\С\ — два трохвугольнікі, у якіх АВ = А\В\, АС = А}С\, ВС = В\С\ (рыс. 55). Патрабуецца да-казаць, што трохвугольнікі роўныя.
Дапусцім, трохвугольнікі не роўныя. Тады ў іх АА =/= АА\, АВ^ Z_B\, AC ^= АС\. Інакш яны былі б роўныя па першаму прызнаку.
Няхай А\В\С2 — трохвугольнік, роўны трохвугольніку ABC, у якога вяршыня С2 ляжыць у адной паўплоскасці з вяршыняй Сі адносна прамой AtB\ (гл. рыс. 55).
Рыс. 55
Няхай D — сярэдзіна адрэзка С|С>. Трохвугольнікі А\С\С2 і В\С\С2 — раўнабедраныя з агульнай асновай С\С2. Таму іх ме-дыяны A|Di B\D з’яўляюцца вышынямі. Такім чынам, прамыя AiD і B\D перпендыкулярныя прамой С\С2. Прамыя АДі B\D не супадаюць, паколькі пункты Ai, В\, D не ляжаць на адной прамой. Але праз пункт D прамой С\С-2 можна правесці толькі адну перпендыкулярную ёй прамую. Мы прыйшлі да супя-рэчнасці. Тэарэма даказана.
Задача (29). У трохвугольнікаў ABC і А\В\С\
АВ=А\В\, АС — А}Сі, АС = АСі = 90°. Дакажыце, што ; &АВС= ДА'В^.
§ 3. Прызмакі роўнасці трохвугольніка
41
Рашэнне. Няхай ABC і А\В[Сі —дадзеныя трохву-гольнікі (рыс. 56). Пабудуем трохвугольнік CBD, роўны трохвугольніку СВА, і трохвугольнік C\D\B\, роўны трох-вугольніку С\А]В\.
Трохвугольнікі ABD і A}B]D\ роўныя па трэцяму прызнаку. У іх АВ = А\В\ па ўмове задачы; AD = A\D\, паколькі АС = А{С\; BD = B\D\, паколькі BD=AB, B\D\—A\B\. 3 роўнасці трохвугольнікаў ABD і AiBiDt вынікае роўнасць вуглоў: АА — АА\. Паколькі па ўмове AB = А\В\, AC — AtCi, a АА = АА\ па даказанаму, то трохвугольнікі ABC і А\В\С\ роўныя па першаму пры-знаку.
28. ЯК РЫХТАВАЦЦА ПА ПАДРУЧНІКУ САМАСТОЙНА
Дапусцім,па якой-небудзь прычыне, напрыклад па хваробе, вы не былі на ўроку. Тады матэрыял гэтага ўрока вам давя-дзецца вывучыць самастойна па падручніку. Тэкст падручніка трэба чытаць не спяшаючыся, па сказах, не пераходзячы да наступнага сказа, не зразумеўшы сэнсу папярэдняга. Разгле-дзім канкрэтны прыклад — доказ трэцяга прызнака роўнасці трохвугольнікаў. Такім чынам, чытаем тэкст падручніка:
«Калі тры стараны аднаго трохвугольніка роўныя адпа-ведна тром старанам другога трохвугольніка...»
Каб зразумець сэнс гэтага сказа, трэба ведаць: што такое трохвугольнік, яго стораны і роўнасць старон. Вы ўсё гэта ве-даеце, таму сэнс прачытанага сказа вам зразумелы. Чытаем далей: «...то такія трохвугольнікі роўныя».
Каб зразумець сэнс гэтага сказа, трэба ведаць, якія трох-
42
7 клас
вугольнікі называюцца роўнымі. Але вы і гэта ведаеце. Та-кім чынам, сэнс тэарэмы вам зразумелы. Чытаем доказ.
Д ока з. «Няхай ABC і A^B^C] — два трохвугольнікі, у якіх АВ — А\В\, АС — А\С\, ВС = В\С\ (гл. рыс. 55). Патрабуецца даказаць, што трохвугольнікі роўныя».
Тут усё зразумела. Абазначаюцца трохвугольнікі, якія зада-вальняюць умове тэарэмы і роўнасць якіх трэба даказаць.
«Дапусцім, трохвугольнікі не роўныя».
Вы бачыце, што робіцца меркаванне, процілеглае сцвер-джанню тэарэмы. Значыць, у ходзе далейшага разважан-ня мы павінны прыйсці да супярэчнасці (доказ ад адварот-нага).
«Тады ў ix,Z47tZA|, АВ=£АВ\, АС^АС\. Інакш яны былі б роўныя па першаму прызнаку».
Успомніце першы прызнак роўнасці трохвугольнікаў. Пера-канайцеся ў тым, што калі выканана хаця б адна з роўнас-цей АА^АА{, АВ=АВ\, АС—АС\, то трохвугольнікі ABC і А\В\С} роўныя, а гэта супярэчыць зробленаму мер-каванню.
«Няхай А\В\Сі — трохвугольнік, роўны трохвугольніку ABC, у якога вяршыня С2 ляжыць у адной паўплоскасці з вяршыняй С| адносна прамой А\В\ (гл. рыс. 55)».
Тут усё зразумела. Гэтай фразай пачынаўся доказ і першага і другога прызнакаў.
«Няхай D — сярэдзіна адрэзка С|С2.
Вы ведаеце, што такое сярэдзіна адрэзка.
«Трохвугольнікі А|С|С2 і В\С\С2 раўнабедраныя з агульнай асновай С|С2».
Каб зразумець сэнс гэтага сцверджання,трэба ведаць, які трохвугольнік называецца раўнабедраным і якая яго старана называецца асновай.
«Таму іх медыяны A\D і B\D з’яўляюцца вышынямі».
Сэнс гэтага сказа вам зразумелы. Вы ведаеце, што такое медыяна і вышыня. і ведаеце ўласцівасці медыяны раўна-бедранага трохвугольніка.
«Значыць, прамыя A]D і B,D перпендыкулярныя прамой С 10 2 » .
Зразумела. «Прамыя A\D і B\D не супадаюць, паколькі пункты AB^D не ляжаць на адной прамой».
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў
43
Зразумела. Калі б пункт D ляжаў на прамой АіВ|, то пункты Сі і С2 былі б у розных паўплоскасцях адносна прамой А|В].
«Але праз пункт D прамой СіС2 можна правесці толькі адну перпендыкулярную ёй прамую».
Зразумела. Вы ведаеце такую тэарэму.
«Мы прыйшлі да супярэчнасці».
Зразумела.
Тэарэма даказана».
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Дакажыце першы прызнак роўнасці трохвугольнікаў. Якія аксіёмы выкарыстоўваюцца пры доказе тэарэмы 3.1?
2. Сфармулюйце і дакажыце другі прызнак роўнасці трох-вугольнікаў.
3. Які трохвугольнік называецца раўнабедраным? Якія сто-раны раўнабедранага трохвугольніка называюцца бака-вымі старанамі? Якая старана называецца асновай?
4. Дакажыце, што ў раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя.
5. Які трохвугольнік называецца роўнастароннім?
6. Дакажыце, што калі ў трохвугольніку два вуглы роўныя, то ён раўнабедраны.
7. Растлумачце, што такое адваротная тэарэма. Прывядзі-це прыклад. Ці для кожнай тэарэмы правільная адва-ротная?
8. Што такое вышыня трохвугольніка?
9. Што такое бісектрыса трохвугольніка?
10. Што такое медыяна трохвугольніка?
11. Дакажыце, што ў раўнабедраным трохвугольніку медыя-на, праведзеная да асновы, з’яўляецца бісектрысай і вы-шынёй.
12. Дакажыце трэці прызнак роўнасці трохвугольнікаў.
^ ЗАДАЧЬІ
1. Адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О, які з’яўляецца сярэдзінай кожнага з іх. Чаму роўны адрэзак BD, калі ад-рэзак AC = 10 м?
2. Праз сярэдзіну О адрэзка АВ праведзена прамая, перпенды-
44
7 клас
кулярная прамой АВ (рыс. 57). Дакажыце, што кожны пункт X гэтай прамой аднолькава аддалены ад пунктаў A і В.
3. На старане АВ трохвугольніка ABC узяты пункт D, а на старане AiBt трохвугольніка А\В\Сі узяты пункт D\. Вя-дома, што трохвугольнікі ADC і A\D\C\ роўныя і адрэзкі DB і D\B\ роўныя. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў ABC і А\В\С\.
4. Каб вымераць на мясцовасці адлегласць паміж двума пунктамі A і В, паміж якімі нельга прайсці па прамой (рыс. 58), выбіраюць такі пункт С, з якога можна прайсці і да пункта А, і да пункта В і з якога відаць абодва гэтыя пункты. Пратычкоўваюць' адлегласці AC і ВС, прадаў-жаюць іх за пункт С і адмяраюць CD = AC і EC = СВ. Тады адрэзак ED роўньі шукаемай адлегласці. Растлумачце чаму.
Адзначаюць напрамак шастамі-тычкамі.
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў
45
5. Адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О (рыс. 59). Да-кажыце роўнасць трохвугольнікаў ACO і DBO, калі вядома, што вугал АСО роўны вуглу DBO і ВО = СО.
6. Адрэзкі AC і BD перасякаюцца ў пункце О (рыс. 60). Дака-жыце роўнасць трохвугольнікаў BAO і DCO, калі вядома, што вугал ВАО роўны вуглу DCO і AO = CO.
КНІГІ ОНЛАЙН
