Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
7*. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў па медыяне і вуглах, на якія медыяна разбівае вугал трохвугольніка.
8. Каб вымераць на мясцовасці адлегласць паміж двума пунктамі A і В, з якіх адзін (пункт А) недаступны, пра-тычкоўваюць напрамак адрэзка АВ (рыс. 61) і на яго пра-даўжэнні адмяраюць адвольны адрэзак BE. Выбіраюць на / мясцовасці пункт D, з якога відаць пункт А і можна / прайсці да пунктаў В і Е. Пратычкоўваюць прамыя BDQ і EDF і адмяраюць FD = DE і DQ = BD. Затым ідуць па пра-мой FQ, гледзячы на пункт А, пакуль не знойдуць пункт Н, які ляжыць на прамой AD. Тады HQ роўна шукаемай адлегласці. Дакажыце.
9. Перыметр (сума даўжынь старон) раўнабедранага трохву-гольніка роўны 1 м, а аснова роўна 0,4 м. Знайдзіце даўжы-ню бакавой стараны.
10. Перыметр раўнабедранага трохвугольніка роўны 7,5 м, а бакавая старана роўна 2 м. Знайдзіце аснову.
11. Перыметр раўнабедранага трохвугольніка роўны 15,6 м. Знайдзіце яго стораны, калі: 1) аснова меншая за бакавую старану на 3 м; 2) аснова большая за бакавую старану на 3 м.
12. Дакажыце, што ў роўнастаронняга трохвугольніка ўсе вуглы роўныя.
13. Ад вяршыні С раўнабедранага трохвугольніка ABC з асно-вай АВ адкладзены роўныя адрэзкі: СА, — на старане
Рыс. 61
Рыс. 62
46
7 клас
СА і СВ[ — на старане СВ. Дакажыце роўнасць трохву-гольнікаў: 1) САВ} і СВА\‘, 2) АВВ\ і ВАА\.
14. На аснове АВ раўнабедранага трохвугольніка ABC дадзе-ны пункты А| і В\. Вядома, што АВ\—ВА\. Дакажыце, што трохвугольнікі АВ^С і BAtC роўныя.
15. Трохвугольнікі АСС\ і ВСС\ роўныя. Іх вяршыні А іВ ля-жаць па розныя бакі ад прамой СС\. Дакажыце, што трохву-гольнікі ABC і АВС\ раўнабедраныя (рыс. 62).
16. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму, адваротную сцвер-джанню задачы 12.
17. На старанах AC і ВС трохвугольніка ABC узяты пункты Сі і С2. Дакажыце, што трохвугольнік ABC раўнабедраны, калі трохвугольнікі АВС\ і ВАС2 роўныя (рыс. 63).
18. 1) Дакажыце, што сярэдзіны старон раўнабедранага трох-вугольніка з’яўляюцца таксама вяршынямі раўнабедрана-га трохвугольніка.
2) Дакажыце, што сярэдзіны старон роўнастаронняга трох-вугольніка з’яўляюцца таксама вяршынямі роўнастароння-га трохвугольніка.
19. 1) Начарціце трохвугольнік з вострымі вугламі. 3 дапа-могай чарцёжнага вугольніка і лінейкі правядзіце ў ім вы-шыні. Паўтарыце практыкаванне для трохвугольніка, у якога адзін вугал тупы.
2) Начарціце трохвугольнік. 3 дапамогай транспарціра і лінейкі правядзіце ў ім бісектрысы.
3) Начарціце трохвугольнік. 3 дапамогай лінейкі з дзялен-нямі правядзіце ў ім медыяны.
20. Дакажыце, што ў раўнабедранага трохвугольніка: 1) бі-сектрысы, праведзеныя з вяршынь пры аснове, роўныя; 2) медыяны, праведзеныя з тых жа вяршынь, таксама роўныя.
21. Дакажыце, што ў роўных трохвугольнікаў ABC і А\В\С\'.
1) медыяны, праь.дзеныя з вяршынь А і Аі, роўныя; 2) бі-сектрысы, праведзеныя з вяршынь А і Аь роўныя.
Рыс. 63
Рыс. 64
§ 3. Прызнакі роўнасці трохвугольнікаў 47
22. Пункты A, В, С, D ляжаць на адной прамой, прычым адрэзкі AB і CD маюць агульную сярэдзіну. Дакажыце, што калі трохвугольнік АВЕ раўнабедраны з асновай АВ, то трох-вугольнік CDE таксама раўнабедраны з асновай CD (рыс. 64).
23. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў па вуглу, бісектрысе гэтага вугла і старане, прылеглай да гэтага вугла.
24. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC пра-ведзена медыяна ВМ. На ёй узяты пункт D. Дакажы-це роўнасць трохвугольнікаў: 1) ABD і CBD; 2) AMD і CMD.
25. Дакажыце, што трохвугольнік ABC раўнабедраны, калі ў яго: 1) медыяна BD з’яўляецца вышынёй; 2) вышыня BD з’яўляецца бісектрысай; 3) бісектрыса BD з’яўляецца ме-дыянай.
26. Дадзены два раўнабедрапыя трохвугольнікі з агульнай асновай. Дакажыце, што іх медыяны, праведзеныя да асновы, ляжаць на адной прамой.
27. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC пра-ведзена медыяна BD. Знайдзіце яе даўжыню, калі перы-метр трохвугольніка ABC роўны 50 м, а трохвугольніка ABD 40 м.
28. Дакажыце, што бісектрыса раўнабедранага трохвугольні-ка, праведзеная з едшыні, процілеглай аснове, з’яўляец-ца медыянай д вышынёй.
29. У трохвугольнМсаў ABC і А\В\С\: AB = А\В\, AC = А\С\, AC — АС\ = 90°. Дакажыце, што /\АВС= /\A\B\C\.
30. Дакажыце, што ў раўнабедранага трохвугольніка вышы-ня, апушчаная на аснову, з’яўляецца медыянай і бісектрьг-сай.
31. Трохвугольнікі ABC і АВС\ раўнабедраныя з агульнай асновай АВ. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў АСС\ і BCCt. "
32* . Пункты A, В, С, D ляжаць на адной прамой. Дакажыце, што калі трохвугольнікі АВЕ[ і АВЕ> роўныя, то трохву-гольнікі CDE] і CDE2 таксама роўныя (рыс. 65).
33. Два адрэзкі AB і CD перасякаюцца ў пункце О, які з’яўля-ецца сярэдзінай кожнага з іх. Дакажыце роўнасць трохву-гольнікаў ACD і BDC.
34. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў па дзвюх старанах і медыяне, праведзенай да адной з іх.
35. Адрэзкі AB і CD перасякаюцца. Дакажыце, што калі ад-рэзкі AC, СВ, BD і AD роўныя, то прамень АВ з’яўляецца бісектрысай вугла CAD і прамень CD — бісектрысай вугла АСВ (рыс. 66).
36*. Дакажыце, што ў задачы 35 прамыя AB і CD перпендыку-
лярныя.
48
7 клас
37. Трохвугольнікі ABC і BAD роўныя, прычым пункты С і D ляжаць па розныя бакі ад прамой АВ (рыс. 67). Дакажыце, што: 1) трохвугольнікі CBD і DAC роўныя; 2) прамая CD дзеліць адрэзак АВ папалам.
38. Адрэзкі роўнай даўжыні AB і CD перасякаюцца ў пункце О так, што AO = OD. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў ABC і DCB.
Рыс. 67
39. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў па дзвюх старанах і медыяне, якія зыходзяць з адной вяршыні (рыс. 68).
40. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў па старане, медыяне, праведзенай да гэтай стараны, і вуглах, якія ўтварае з ёй медыяна.
§ 4. Сума вуглоў грохвугольніка
49
§ 4. СУМА ВУГЛОЎ ТРОХВУГОЛЬНІКА
29. ПАРАЛЕЛЬНАСЦЬ ПРАМЫХ
Тэарэма 4.1. Дзве прамыя, паралельныя трэцяй,— пара-лельныя.
Доказ. Няхай прамыя a і b паралельныя прамой с. Да-пусцім, што прамыя a і b не паралельныя (рыс. 69). Тады яны перасякаюцца ў некаторым пункце С. Значыць, праз пункт С праходзяць дзве прамыя, паралельныя прамой с. Але гэта не магчыма, паколькі праз пункт, які не ляжыць на дадзенай пра-мой, можна правесці не больш за адну прамую, паралельную дадзенай. Тэарэма даказана.
3 а д а ч a (4). Прамыя AB і CD паралельныя. Дакажы-це, што калі адрэзак ВС перасякае прамую AD, то пункт перасячэння належыць адрэзку AD (рыс. 70).
Р а ш э н н е. Няхай X — пункт перасячэння адрэзка ВС з прамой AD. Правядзём праз яе прамую х, паралельную прамой АВ. Яна будзе паралельная і прамой CD. Прамая х разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. ГІункты В і С ляжаць у розных паўплоскасцях, паколькі адрэзак ВС пе-расякае прамую х (у пункце X). Пункт А ляжыць у той жа паўплоскасці, што і 71, а пункт D — у той жа паў-
плоскасці, што і С. Таму адрэзак AD перасякае пра-мую х. А пунктам перасячэння з’яўляецца пункт X ад-рэзка ВС.
50
7 клас
30. ВУГЛЫ, УТВОРАНЫЯ ПРЫ ПЕРАСЯЧЭННІ
ДЗВЮХ ПРАМЫХ СЯКУЧАЙ
Няхай AB і CD — дзве прамыя і AC — трэцяя прамая, што перасякае прамыя AB і CD (рыс. 71). Прамая AC у адносінах да прамых AB і CD называецца сякучай.
Пары вуглоў, якія ўтвараюцца пры перасячэнні прамых AB і CD сякучай AC, маюць спецыяльныя назвы. Калі пункты BID ляжаць у адной паўплоскасці адносна прамой AC, то вуглы ВАС і DCA называюцца ўнутранымі аднастароннімі (рыс. 71, а).
Калі пункты В і D ляжаць у розных паўплоскасцях аднос-на прамой AC, то вуглы ВАС і DCA называюцца ўнутранымі накрыж ляжачымі (рыс. 71,6).
Сякучая AC утварае з прамымі AB і CD дзве пары ўнутра-ных аднастаронніх і дзве пары ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў. Унутраныя накрыж ляжачыя вуглы адной пары, на-прыклад Z1 і Z. 2, з’яўляюцца сумежнымі ўнутраным накрыж ляжачым вуглам другой пары: Z3 і Z4 (рыс. 72).
Таму калі ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы адной пары роўныя, то ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы другой пары таксама роўныя.
Пара ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў, напрыклад Zli Z.2, і пара ўнутраных аднастаронніх вуглоў, напрыклад
§ 4. Сума вуглоў трохвугольніка
51
Z2 і Z 3, маюць адзін вугал агуль-ны — Z2, а два другія вуглы су-межныя: Z1 і A3.
Таму калі ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя, то сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў роўна 180°. I наадварот: калі сума ўнутраных аднастаронніх вуглоў роўна 180°, то ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя.
31. ПРЫЗНАК ПАРАЛЕЛЬНАСЦІ ПРАМЫХ
Тэарэма 4.2. (прызнак паралельнасці прамых). Калі ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя або сума ўнутра-ных аднастаронніх вуглоў роўна 180°, то прамыя паралель-ныя.
Д ока з. Няхай прамыяаі b утвараюць з сякучай АВ роўныя ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы (рыс. 73, а). Дапусцім, прамыя а і & не паралельныя, а значыць, перасякаюцца ў некаторым пункце С (рыс. 73, б).
Сякучая АВ разбівае плоскасць на дзве паўплоскасці. У ад-ной з іх ляжыць пункт С. Пабудуем трохвугольнік ВАС\, роўны трохвугольніку ABC, з вяршыняй С| у другой паў-плоскасці. Па ўмове ўнутраныя накрыж ляжачыя вуглы пры паралельных a, b і сякучай АВ роўныя. Паколькі адпаведныя вуглы трохвугольнікаў ABC і ВАС з вяршынямі A і В роўныя, то яны супадаюць з унутранымі накрыж ляжачымі вугламі. Значыць, прамая АСі супадае з прамой a, а прамая ВС\ супадае
52 7 клас
з прамой Ь. Атрымліваецца, што праз пункты С і С| праходзяць дзве розныя прамыя а і 6. А гэта немагчыма. Значыць, прамыя a і b — паралельныя.
Калі ў прамых a і b і сякучай АВ сума ўнутраных аднаста-ронніх вуглоў роўна 180°, то, як мы ведаем, унутраныя накрыж ляжачыя вуглы роўныя. Значыць, па даказанаму вышэй, пра-мыя a і b паралельныя. Тэарэма даказана.
3 тэарэмы 4.2 вынікае, што дзве прамыя, перпендыкулярныя трэцяй, паралельныя.
Калі ў пары ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў адзін ву-гал замяніць вертыкальным яму, то атрымаецца пара вуглоў, якія называюцца адпаведнымі вугламі дадзеных прамых з ся-кучай.
Вуглы 1 і 2 на рысунку 74 унутраныя накрыж ляжачыя, а вуглы 1 і 3 адпаведныя.
3 роўнасці ўнутраных накрыж ляжачых вуглоў вынікае роўнасць адпаведных вуглоў, і наадварот. Адсюль атрымлі-ваецца прызнак паралельнасці прамых па адпаведных вуглах. Менавіта: прамыя паралельныя, калі адпаведныя вуглы роўныя.
3 а д а ч а (8). Дадзены прамая АВ і пункт С, які не ля-жыць на гэтай прамой. Дакажыце, што праз пункт С мож-на правесці прамую, паралельную прамой АВ.
КНІГІ ОНЛАЙН
